Giải toán 7 CTST bài : Bài tập cuối chương 8 trang 84

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng ∆ BEC = ∆ CFB

b) Chứng minh rằng ∆ AHF = ∆ AHE

c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng

Trả lời

a)∆ ABC cân tại A => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC

=> $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC

=> ∆ BEC và  ∆ CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F

Xét 2 tam giác vuông ∆ BEC và  ∆ CFB có:

BC chung

$\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$

=> ∆ BEC = ∆ CFB

b) Có ∆ BEC = ∆ CFB

=> EC = FB 

Có AF = AB - FB

     AE= AC - EC

mà AB = AC, EC = FB

=> AF = AE

BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H

=> ∆ AFH và  ∆ AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E

Xét 2 tam giác vuông ∆ AFH và  ∆ AEH  có: 

 AH chung

  AF = AE

=> ∆ AFH = ∆ AEH

c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC

=> H là trực tâm của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC

Có I là trung điểm của BC

=> AI là đường trung tuyến của ∆ ABC

Xét  ∆ ABI và  ∆ ACI  có: 

AB = AC

AI chung 

IB = IC ( I là trung điểm của BC)

=> ∆ ABI =  ∆ ACI (c.c.C)

=> $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$

Có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°

=> 2  $\widehat{AIB}$ = 180°

=> $\widehat{AIB}$ = 90°

=> AI ⊥ BC

=> A, I, H thẳng hàng

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM

a) Chứng minh tam giác ABM cân

b) Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆ MBC

Trả lời

a) Có AH là đường cao của ∆ ABC

=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH

Có H là trung điểm của AM

=> BH là trung tuyến của ∆ ABM

Mà AM ⊥ BH => BH là đường cao của ∆ ABM

=> ∆ BHA và ∆ AHM là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ BHA và ∆ BHM có :

  BH chung

  AH = HM

=> ∆ BHA = ∆ BHM

=> BA = BM 

=> ∆ ABM cân tại B

b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM 

=> $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$

hay $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

Xét ∆ ABC và ∆ MBC có :

  BC chung

  AB = BM

  $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$

=> ∆ ABC = ∆ MBC ( c.g.c)

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC

a) Chứng minh AC = AD

b) Chứng minh rằng   $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$

Trả lời

a)Ta có AH  là đường cao của ∆ ABC

=>  ∆ AHD và ∆ AHC là 2 tam giác vuông tại H

Xét ∆ AHD và ∆ AHC có :

 AH chung

 HD = HC

=> ∆ AHD và ∆ AHC 

=> AC = AD

b) ∆ ABC vuông tại A

=> $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°

∆ ABH vuông tại H

=>  $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°

hay  $\widehat{ABC}$ + $\widehat{HAB}$= 90°

=> $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A

=>  $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$

hay $\widehat{ACB}$ = $\widehat{ADB}$

mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$

=> $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$

Câu 4. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB < AC ). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN ( E thuộc AN)

a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN

b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA

c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân

Trả lời 

a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:

  AB = BN 

  BE chung

=> ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

=> $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$ 

=> BE là tia phân giác của góc ABN.

b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K

=> K là trực tâm tam giác ABN

=> NK ⊥ AB

mà AC ⊥ AB

=> NK // AC.

c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có :

 BN = BA

 $\widehat{NBF}$ = $\widehat{ABF}$ (chứng minh trên)

 BF chung

=> ∆FBN và ∆FBA (c.g.c)

mà ∆ FBA vuông tại A

=> ∆ FBN vuông tại N

=> BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN

=> ∆ BNG vuông tại N

Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có

  BN = BA

  $\widehat{ABN$ chung

=> ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)

=> BG = BC

=> ∆ BCG cân tại B.

Câu 5. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH . Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N

a) Chứng minh rằng  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$

b) Kẻ MI ⊥ AH ( I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK

Trả lời

a) M, N thuộc đường trung trực của BC

=> MB = MC, NB = NC

=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC

=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M

Xét ∆ MBN  và ∆ MCN có :

MB = MC

BN = NC

MN chung

=> ∆ MBN  = ∆ MCN ( c.c.c)

=> $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

∆ AHC vuông góc tại H

=> $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90°

hay $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)

∆ MNC vuông góc tại N ( MN là đường trung trực của BC )

=>  $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90°

mà  $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$

=> $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$

b) Kẻ MI ⊥ AH

        AH ⊥ BC

=> IM // BC

=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ ( 2 góc so le trong )

      $\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ ( 2 góc đồng vị )

∆ MBC cân tại M

=>  $\widehat{MBC}$  =  $\widehat{MBC}$ 

=> $\widehat{IMB}$ =    $\widehat{AMI}$ 

hay $\widehat{IMK}$ =    $\widehat{AMI}$ 

 MI ⊥ AH

=> ∆ MIK và ∆ MIA là 2 tam giác vuông tại I

Xét 2 tam giác vuông ∆ MIK và ∆ MIA có :

MI chung

$\widehat{IMK}$ =    $\widehat{AMI}$ 

=> ∆ MIK = ∆ MIA

=> IK = IA

=> I là trung điểm của AK

Câu 6. Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD

a) Chứng minh rằng ∆ MFN = ∆ PFD

b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng

Trả lời

a) ME, NF là trung tuyến của ∆ MNP

=> E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM

Xét ∆ MFN và  ∆ PFD có

FN = FD

FM = FP ( F là trung điểm của PM)

$\widehat{MFN}$ =  $\widehat{PFD}$ ( 2 góc đối đỉnh)

=>  ∆ MFN = ∆ PFD

b) Trong ∆ MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của ∆ MNP

=> FG = $\frac{1}{3}$ FN

mà FG = FH ( F là trung điểm của HG)

    FN = FD

=> FH = $\frac{1}{3}$ FD

mà H thuộc FD

    FD là đường trung tuyến của  ∆ PDM

=> H là trọng tâm của ∆ PDM (1)

K là trung điểm của PD

=> MK là đường trung tuyến của ∆ PDM (2)

Từ (1) và (2)

=> M, H, K thẳng hàng

Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có  AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ ( D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC

a) Chứng minh rằng DE = DB

b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK

c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK

Trả lời

a) Xét ∆ ABD và  ∆ AED có

AD chung

AB = AE 

$\widehat{BAD}$ =    $\widehat{EAD}$ ( AD là đường phân giác)

=> ∆ ABD =  ∆ AED (c.g.c)

=> BD = ED

b)∆ ABD =  ∆ AED 

=> $\widehat{DBA}$ =    $\widehat{DEA}$ 

hay  $\widehat{CBA}$ =    $\widehat{KEA}$ 

Ta có:

$\widehat{DBK}$ + $\widehat{DBA}$ = 180°

$\widehat{DEA}$ + $\widehat{DEC}$ = 180°

=> $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$

Xét ∆ CDE và  ∆ KDB có

DE = DB

 $\widehat{KDB}$ =    $\widehat{CDE}$ ( 2 góc đối đỉnh)

$\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$

=>  ∆ CDE =  ∆ KDB (g.c.g)

=> DC = DK

=>∆ DCK cân tại D

∆ CDE =  ∆ KDB

=> EC = KB

mà E là trung điểm của AC

=> EC = $\frac{1}{2}$ AC

mà AB = $\frac{1}{2}$ AC

=> EC = AB

=> KB = AB

mà K thuộc AB

=> B là trung điểm của AK

c) B là trung điểm của AK

=>AB = $\frac{1}{2}$ AK

mà AB = $\frac{1}{2}$ AC

=> AK = AC

Xét ∆ KAH và  ∆ CAH có:

AK = AC

 $\widehat{KAH}$ = $\widehat{CAH}$ ( AH là đường phân giác)

AH chung

=> ∆ KAH =  ∆ CAH ( c.g.c)

=> $\widehat{AHK}$ = $\widehat{AHC}$ 

mà $\widehat{AHK}$ + $\widehat{AHC}$ = 180°

=> 2 $\widehat{AHC}$ =  180°

=> $\widehat{AHC}$ =  90°

=> AH ⊥ HC hay AH ⊥ CK

Câu 8: Ở hình 1, cho biết AE = AF và $\widehat{ABC}$ =  $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC

Trả lời

$\widehat{ABC}$ =  $\widehat{ACB}$

=> ∆ ABC cân tại A

=> AB = AC

=> A thuộc đường trung trực của BC (1)

Ta có: FC = AC - AF

           EB = AB -  AE

Mà AB = AC, AE= AF

=> FC = CB

Xét ∆ FCB và  ∆ EBC có

BC chung

FC = CB

$\widehat{FCB}$ =  $\widehat{EBC}$

=> ∆ FCB =  ∆ ECB ( c.g.c)

=> $\widehat{FBC}$ =  $\widehat{ECB}$

hay $\widehat{HBC}$ =  $\widehat{HCB}$

=> ∆ HCB cân tại H

=> HC = HB 

=> H thuộc đường trung trực của BC (2)

Từ (1) và (2) => AH là đường trung trực của BC

Câu 9 . Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM ( H thuộc CM ). Trên tia đối của HC lấy điểm E sao cho HE = HM

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân

b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}$ =  $\widehat{ACM}$

c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC

Trả lời

a) BH ⊥ CM

=> ∆ BHM và  ∆ BHE là 2 tam giác vuông tại H

Xét 2 tam giác vuông  ∆ BHM và  ∆ BHE có: 

BH chung

HM = HE

=> ∆ BHM =  ∆ BHE

=> MB = BE

=> ∆ MBE cân tại B

b)  Có ∆ CAM vuông tại A

=> $\widehat{MCA}$ + $\widehat{CMA}$ = 90°

mà $\widehat{HMB}$ =  $\widehat{CMA}$ ( 2 góc đối đỉnh )

=> $\widehat{MCA}$+ $\widehat{HMB}$ = 90°

Có ∆ BHE vuông tại H

=> $\widehat{HBE}$ + $\widehat{BEH}$ = 90°

mà $\widehat{HMB}$ = $\widehat{BEH}$ ( ∆ MBE cân tại B)

=> $\widehat{ACM}$ = $\widehat{HBE}$

c)∆ BHM =  ∆ BHE

=>  $\widehat{HBM}$ = $\widehat{HBE}$

Có  $\widehat{HBM}$ + $\widehat{HBE}$ = $\widehat{MBE}$

=> 2$\widehat{HBM}$ = $\widehat{MBE}$

CM là đường phân giác của $\widehat{ACB}$

=> $\widehat{ACM}$ = $\widehat{MCB}$ =  $\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$

Có ∆ ABC vuông tại A

=>  $\widehat{ACB}$ + $\widehat{ABC}$ = 90°

=> 2  $\widehat{ACM}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°

=> 2  $\widehat{HBE}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°

Mà 2$\widehat{HBM}$ = $\widehat{MBE}$

=> $\widehat{MBE}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°

=>  $\widehat{EBC}$ = 90°

=> EB ⊥ BC

Câu 10. Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K ( J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.

Trả lời

Ta có đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a tại J

=> MJ ⊥ IK

=> MJ là đường cao của ∆ IMK

IN ⊥ MK => IN là đường cao của ∆ IMK

Trong  ∆ IMK có: 

MJ, IN là 2 đường cao giao nhau tại N

=> N là trực tâm của ∆ IMK 

=> KN ⊥ MI