Giải toán 7 CTST bài 7 : Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

HĐKP1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D

Trả lời

Thực hành 1: Vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (hình 1)

Trả lời

Vận dụng 1: 

a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2)

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP ( Hình 3)

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó

Trả lời

a) 

b)

c) 

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

HĐKP2:

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện ( Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại. Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không 

Trả lời

Ta thấy : cả 3 đường trung tuyến đều cùng đi qua một điểm

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF  của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt  nhau tại G . Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết

• AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không
• Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$ , $\frac{CG}{CF}$ , $\frac{AG}{AD}$ bằng bao nhiêu ?

Trả lời

• AD chính là đường trung tuyến của tam giác ABC
• $\frac{BG}{BE}$ = $\frac{CG}{CF}$ = $\frac{AG}{AD}$ = $\frac{2}{3}$

Thực hành 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF và đường trung tuyến AM. Hãy tính các tỉ số 

a) $\frac{GM}{AM}$    b) $\frac{GM}{AG}$      c) $\frac{AG}{GM}$

Trả lời

G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến cuả tam giác ABC

=> $\frac{AG}{AM}$ = $\frac{2}{3}$

=> AG = $\frac{2}{3}$ AM

a) Ta có : AG + GM = AM

=> $\frac{2}{3}$ AM + GM = AM

=> GM = $\frac{1}{3}$ AM

=> $\frac{GM}{AM}$  = $\frac{1}{3}$

b) Ta có : AG + GM = AM

=> AG + GM = 3GM

=> AG = 2 GM

=> $\frac{GM}{AG}$  = $\frac{1}{2}$

c) $\frac{GM}{AG}$  = $\frac{1}{2}$

=> $\frac{AG}{GM}$  = 2

Vận dụng 2 

Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD

Trả lời

Vì I là trọng tâm của tam giác ABC, AO là đường trung tuyến của tam giác ABC

=> $\frac{IO}{OA}$  = $\frac{1}{2}$, $\frac{AI}{OA}$ = $\frac{2}{3}$.

Vì J là trọng tâm của tam giác DBC, DO là đường trung tuyến của DBC

=> $\frac{JO}{OD}$  = $\frac{1}{2}$ , $\frac{JD}{OD}$ = $\frac{2}{3}$.

Có OA = OD

=> AI = JD, IO = JO

=> O là trung điểm của IJ

Ta có : OA = AI + OI

=> OA = AI + $\frac{1}{2}$ IJ 

=> OA = $\frac{2}{3}$ OA + $\frac{1}{2}$ IJ 

=> $\frac{1}{3}$ OA = $\frac{1}{2}$ IJ 

=> IJ = $\frac{2}{3}$ OA

=> AI = IJ = JD.