HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

Bước 1: GV chuyển giao nhiệm vụ học tập

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Hai đường thẳng vuông góc” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

Bước 2: Học sinh thực hiện nhiệm vụ học tập

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

Bước 3: Báo cáo kết quả hoạt động, thảo luận

Đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

Bước 4: Đánh giá kết quả thực hiện nhiệm vụ học tập

GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu (a, b) hoặc

* Nhận xét:

- Góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Thông thường, khi tìm góc giữa đường thẳng a, b, ta chọn O thuộc a hoặc O thuộc b.

- Góc giữa đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng b, a tức là (a, b) = (b, a).

- Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

- Nếu a//b thì (a, c) = (b, c) với mọi đường thẳng c trong không gian.

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhay nếu góc giữa chúng bằng .

* Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường còn lại.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Để tính góc giữa hai đường thẳng  trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách:

Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng  bằng cách chọn một điểm  thích hợp (  thường nằm trên một trong hai đường thẳng).

Từ  dựng các đường thẳng lần lượt song song ( có thể tròng nếu  nằm trên một trong hai đường thẳng) với  và . Góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai đường thẳng.

Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác

.

Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng

Khi đó góc giữa hai đường thẳng  xác định bởi .

Lưu ý 2: Để tính  ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dài và góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ  qua các vec tơ  rồi thực hiện các tính toán.

Bài 1. Cho tứ diện  có ,  (,  lần lượt là trung điểm của  và ). Số đo góc giữa hai đường thẳng  và  là?

Bài 2. Cho hình hộp . Giả sử tam giác  và  đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng  và  là góc nào?

Bài 3. Cho tứ diện đều  (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng  và  bằng?

Bài 4. Cho tứ diện đều ,  là trung điểm của cạnh . Khi đó  bằng?

Bài 5. Cho hình chóp  có đáy là hình vuông  cạnh bằng  và các cạnh bên đều bằng . Gọi  và  lần lượt là trung điểm của  và . Số đo của góc  bằng?

Bài 6. Cho hình chóp  có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi  và  lần lượt là trung điểm của  và . Số đo của góc  bằng?

Bài 7. Cho tứ diện  có . Gọi , , ,  lần lượt là trung điểm của , , , . Góc giữa  bằng?

DẠNG 1:

Bài 1.

Gọi ,  lần lượt là trung điểm , .

Ta có:

 là hình thoi.

Gọi  là giao điểm của  và .

Ta có: .

Xét  vuông tại , ta có:

.

Mà: .

Bài 2.

Ta có:  (tính chất của hình hộp)

 (do giả thiết cho  nhọn).

Bài 3.

Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm   (do  đều).

Do .

Ta có: .

Bài 4.                                       

Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện  có cạnh bằng .

Gọi  là tâm đường tròn ngoại tiếp .

Gọi  là trung điểm  

Ta có: .

Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của : , .

Xét , ta có: .

Từ đó: .

Bài 5:

Gọi  là tâm của hình vuông   là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông  (1).

Ta có:  nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông  (2).

Từ (1) và (2) .

Từ giả thiết ta có:  (do  là đường trung bình của ).

.

Xét , ta có:  vuông tại  .

.

Bài 6.

Gọi  là tâm của hình vuông   là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông  (1).

Ta có:  nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông  (2).

Từ (1) và (2) .

Từ giả thiết ta có:  (do  là đường trung bình của ).

.

Bài 7.

Từ giả thiết ta có:  (tính chất đường trung bình trong tam giác)

Từ đó suy ra tứ giác  là hình bình hành.

Mặt khác:  là hình thoi

 (tính chất hai đường chéo của hình thoi)

.

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và các bài toán liên quan

Phương pháp giải:

Để chứng minh  ta có trong phần này ta có thể thực hiện theo các cách sau:

+ Chứng minh  ta chứng minh  trong đó  lần lượt là các vec tơ chỉ phương của  và .

+ Sử dụng tính chất .

+ Sử dụng định lí Pitago hoặc xác định góc giữa  và tính trực tiếp góc đó.

+ Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác

+ Tính tích vô hướng…

Bài 1. Cho tứ diện . Chứng minh rằng nếu  thì

 , , . Điều ngược lại đúng không?

Bài 2. Cho tứ diện  có  vuông góc với . Mặt phẳng  song song với  và  lần lượt cắt  tại . Tứ giác  là hình gì?

Bài 3. Cho tứ diện đều  có cạnh bằng . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

a) Chứng minh

b) Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?

Bài 4. Trong không gian cho hai tam giác đều  và  có chung cạnh  và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi  lần lượt là trung điểm của các cạnh  và . Tứ giác  là hình gì?

Bài 5. Cho hình chóp  có đáy là hình bình hành với .

Tam giác  vuông can tại ,  là một điểm trên cạnh  (  khác  và ). Mặt phẳng  đi qua  và song sog với cắt  lần lượt tại .

a)  là hình gì?

b) Tính diện tích của  theo ?

Bài 6. Cho hình lập phương  cạnh . Trên các cạnh  và  lấy các điểm  và  sao cho . Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Chứng minh

b) Chứng minh