a) Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:
$\overrightarrow{AB}$ = (2; 2) và $\overrightarrow{AC}$ = (1; -3)
Suy ra 2 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương
Suy ra ba điểm A, B, C không thẳng hàng nên tạo thành một tam giác
Gọi G(x; y) là tọa độ trọng tâm của tam giác ABC
$\Rightarrow$ 
Vậy G(2; $\frac{5}{3}$)
b) Gọi I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên IA = IB = IC
Với ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1) ta có:
$\overrightarrow{IA}$ = (1 - a; 2 - b)
$\Rightarrow |\overrightarrow{IA}| = \sqrt{(1 - a)^{2} + (2 - b)^{2}}$
$\overrightarrow{IB}$ = (3 - a; 4 - b)
$\Rightarrow |\overrightarrow{IB}| = \sqrt{(3 - a)^{2} + (4 - b)^{2}}$
$\overrightarrow{IA}$ = (2 - a; -1 - b)
$\Rightarrow |\overrightarrow{IC}| = \sqrt{(2 - a)^{2} + (-1 - b)^{2}}$
Có IA = IB = IC nên $IA^{2} = IB^{2} = IC^{2}$
$\Rightarrow (1 - a)^{2} + (2 - b)^{2} = (3 - a)^{2} + (4 - b)^{2} = (2 - a)^{2} + (-1 - b)^{2}$
Gọi H($x_{0}; y _{0}$) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC
Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{IM}$ với M là trung điểm BC
Với A(1; 2), B(3; 4), C(2; –1) và I($\frac{15}{4}; \frac{5}{4}$) ta có:
$\Rightarrow M(\frac{5}{2}; \frac{3}{2})$
$\Rightarrow \overrightarrow{IM} = (\frac{-5}{4}; \frac{1}{4}$)
$\Rightarrow 2\overrightarrow{IM} = (\frac{-5}{2}; \frac{1}{2}$)
Có $\overrightarrow{AH} = (x_{0} - 1; y _{0} - 2)$ ta có $\overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{IM}$
$\Leftrightarrow$
Vậy H($\frac{-3}{2}; \frac{5}{2}$)