Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

a) Giả sử E(0; $y _{E}$) với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\overrightarrow{EC} = (1; 6 - y _{E})$ và $\overrightarrow{ED} = (11; 2 - y _{E})$

$\Rightarrow \overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED} = (12; 8 - 2y _{E})$

$\Rightarrow |\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}| = \sqrt{(12^{2}) + (8 - 2y _{E})^{2}}$

Có $(8 - 2y _{E})^{2}$ \geq 0 \forall y _{E}$

Nên $12^{2} + (8 - 2y _{E})^{2}  \geq 12 \forall y _{E}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}| \geq 12 \forall y _{E}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $8 - 2y _{E} = 0$

$\Rightarrow y _{E} = 4$

Vậy với E(0; 4) thì vectơ $\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{ED}$ có độ dài ngắn nhất

b) Giả sử F(a; 0) thuộc trục hoành với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\overrightarrow{FC}$ = (1 - a; 6) $\Rightarrow 2\overrightarrow{FC}$ = (2 - 2a; 12)

$\overrightarrow{FD}$ = (11 - a; 2) $\Rightarrow 3\overrightarrow{FD}$ = (33 - 3a; 6)

$\Rightarrow 2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$ = (35 - 3a; 18)

$\Rightarrow |2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}| = \sqrt{(35 - 3a)^{2} + 18^{2}}$

Vì $(35 - 3a)^{2} \geq 0 \forall a$

Nên $(35 - 3a)^{2} + 18^{2} \geq 18 \forall a$

$\Rightarrow |2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}| \geq 18 \forall a$

Do đó |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất bằng 18

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $35 - 5a = 0$

$\Rightarrow a = 7$

Vậy với F(7; 0) thì vectơ |$2\overrightarrow{FC} + 3\overrightarrow{FD}$| đạt giá trị nhỏ nhất

c) Giả sử M(x ; y) là tọa độ điểm thỏa mãn |$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

$\overrightarrow{CD}$ = (10; -4)

$\Rightarrow CD = |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{10^{2} + 4^{2}} = 2\sqrt{29}$

Gọi I là trung điểm của CD, khi đó ta có: I (6; 4)

$\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MI}$

$\Rightarrow |\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = |2\overrightarrow{MI}| = 2.MI$

Có $\overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}$| = CD \Leftrightarrow 2.MI = CD$

$\Leftrightarrow IM = \frac{CD}{2} = \frac{2\sqrt{29}}{2} = \sqrt{29}$

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(6; 4) và bán kính R = $\sqrt{29}$