Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A ( $\widehat{A}$ < 90°). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh rằng ∆ BEC = ∆ CFB
b) Chứng minh rằng ∆ AHF = ∆ AHE
c) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm A, H, I thẳng hàng
Trả lời
a)∆ ABC cân tại A => $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ và AB = AC
=> $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$
BE và CF là hai đường cao của ∆ ABC
=> ∆ BEC và ∆ CFB là 2 tam giác vuông lần lượt tại E và F
Xét 2 tam giác vuông ∆ BEC và ∆ CFB có:
BC chung
$\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$
=> ∆ BEC = ∆ CFB
b) Có ∆ BEC = ∆ CFB
=> EC = FB
Có AF = AB - FB
AE= AC - EC
mà AB = AC, EC = FB
=> AF = AE
BE và CF là hai đường cao cắt nhau tại H
=> ∆ AFH và ∆ AEH là 2 tam giác vuông lần lượt tại F và E
Xét 2 tam giác vuông ∆ AFH và ∆ AEH có:
AH chung
AF = AE
=> ∆ AFH = ∆ AEH
c) H là giao điểm của 2 đường cao BE và CF trong tam giác ABC
=> H là trực tâm của ∆ ABC
=> AH ⊥ BC
Có I là trung điểm của BC
=> AI là đường trung tuyến của ∆ ABC
Xét ∆ ABI và ∆ ACI có:
AB = AC
AI chung
IB = IC ( I là trung điểm của BC)
=> ∆ ABI = ∆ ACI (c.c.C)
=> $\widehat{AIC}$ = $\widehat{AIB}$
Có $\widehat{AIC}$ + $\widehat{AIB}$ = 180°
=> 2 $\widehat{AIB}$ = 180°
=> $\widehat{AIB}$ = 90°
=> AI ⊥ BC
=> A, I, H thẳng hàng
Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Trên tia đối của tia HA lấy điểm M sao cho H là trung điểm của AM
a) Chứng minh tam giác ABM cân
b) Chứng minh rằng ∆ ABC = ∆ MBC
Trả lời
a) Có AH là đường cao của ∆ ABC
=> AH ⊥ BC hay AM ⊥ BH
Có H là trung điểm của AM
=> BH là trung tuyến của ∆ ABM
Mà AM ⊥ BH => BH là đường cao của ∆ ABM
=> ∆ BHA và ∆ AHM là 2 tam giác vuông tại H
Xét ∆ BHA và ∆ BHM có :
BH chung
AH = HM
=> ∆ BHA = ∆ BHM
=> BA = BM
=> ∆ ABM cân tại B
b) Theo a: ∆BHA = ∆BHM
=> $\widehat{ABH}$ = $\widehat{MBH}$
hay $\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$
Xét ∆ ABC và ∆ MBC có :
BC chung
AB = BM
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{MBC}$
=> ∆ ABC = ∆ MBC ( c.g.c)
Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB , AC), vẽ đường cao AH. Trên tia đối của HC lấy điểm D sao cho HD = DC
a) Chứng minh AC = AD
b) Chứng minh rằng $\widehat{ADB}$ = $\widehat{BAH}$
Trả lời
a)Ta có AH là đường cao của ∆ ABC
=> ∆ AHD và ∆ AHC là 2 tam giác vuông tại H
Xét ∆ AHD và ∆ AHC có :
AH chung
HD = HC
=> ∆ AHD và ∆ AHC
=> AC = AD
b) ∆ ABC vuông tại A
=> $\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACB}$= 90°
∆ ABH vuông tại H
=> $\widehat{ABH}$ + $\widehat{HAB}$= 90°
hay $\widehat{ABC}$ + $\widehat{HAB}$= 90°
=> $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$
Có AC = AD => ∆ ACD cân tại A
=> $\widehat{ACD}$ = $\widehat{ADC}$
hay $\widehat{ACB}$ = $\widehat{ADB}$
mà $\widehat{ACB}$ = $\widehat{HAB}$
=> $\widehat{ADB}$ = $\widehat{HAB}$
Câu 4. Cho tam giác vuông ABC vuông tại A ( AB < AC ). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho BA = BN. Kẻ BE ⊥ AN ( E thuộc AN)
a) Chứng minh rằng BE là tia phân giác của góc ABN
b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AH với BE. Chứng minh rằng NK // CA
c) Đường thẳng BK cắt AC tại F. Gọi G là giao điểm của đường thẳng AB và NF. Chứng minh rằng tam giác GBC cân
Trả lời
a) Xét ∆ABE và ∆NBE cùng vuông tại E có:
AB = BN
BE chung
=> ∆ABE = ∆NBE (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).
=> $\widehat{ABE}$ = $\widehat{NBE}$
=> BE là tia phân giác của góc ABN.
b) Xét tam giác ABN có: AH và BE là hai đường cao cắt nhau tại K
=> K là trực tâm tam giác ABN
=> NK ⊥ AB
mà AC ⊥ AB
=> NK // AC.
c) Xét ∆FBN và ∆ FBA có :
BN = BA
$\widehat{NBF}$ = $\widehat{ABF}$ (chứng minh trên)
BF chung
=> ∆FBN và ∆FBA (c.g.c)
mà ∆ FBA vuông tại A
=> ∆ FBN vuông tại N
=> BN ⊥ FN hay BN ⊥ GN
=> ∆ BNG vuông tại N
Xét 2 tam giác vuông ∆BNG và ∆BAC có
BN = BA
$\widehat{ABN$ chung
=> ∆BNG = ∆BAC (góc nhọn và một cạnh góc vuông)
=> BG = BC
=> ∆ BCG cân tại B.
Câu 5. Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC), vẽ đường cao AH . Đường trung trực của cạnh BC cắt AC tại M, cắt BC tại N
a) Chứng minh rằng $\widehat{BMN}$ = $\widehat{HAC}$
b) Kẻ MI ⊥ AH ( I thuộc AH), gọi K là giao điểm của AH với bM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK
Trả lời
a) M, N thuộc đường trung trực của BC
=> MB = MC, NB = NC
=> ∆ MBC cân tại M, N là trung điểm của BC
=> MN là đường trung tuyến của ∆ MBC cân tại M
Xét ∆ MBN và ∆ MCN có :
MB = MC
BN = NC
MN chung
=> ∆ MBN = ∆ MCN ( c.c.c)
=> $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$
∆ AHC vuông góc tại H
=> $\widehat{HAC}$ + $\widehat{HCA}$ = 90°
hay $\widehat{MCN}$ + $\widehat{HAC}$ = 90° (1)
∆ MNC vuông góc tại N ( MN là đường trung trực của BC )
=> $\widehat{MCN}$ + $\widehat{NMC}$ = 90°
mà $\widehat{BMN}$ = $\widehat{CMN}$
=> $\widehat{MCN}$ +$\widehat{HAC}$ = 90° (2)
Từ (1) và (2) ta có : $\widehat{HAC}$ = $\widehat{BMN}$
b) Kẻ MI ⊥ AH
AH ⊥ BC
=> IM // BC
=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{MBC}$ ( 2 góc so le trong )
$\widehat{AMI}$ = $\widehat{MCB}$ ( 2 góc đồng vị )
∆ MBC cân tại M
=> $\widehat{MBC}$ = $\widehat{MBC}$
=> $\widehat{IMB}$ = $\widehat{AMI}$
hay $\widehat{IMK}$ = $\widehat{AMI}$
MI ⊥ AH
=> ∆ MIK và ∆ MIA là 2 tam giác vuông tại I
Xét 2 tam giác vuông ∆ MIK và ∆ MIA có :
MI chung
$\widehat{IMK}$ = $\widehat{AMI}$
=> ∆ MIK = ∆ MIA
=> IK = IA
=> I là trung điểm của AK
Câu 6. Cho tam giác nhọn MNP. Các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia FN lấy điểm D sao cho FN = FD
a) Chứng minh rằng ∆ MFN = ∆ PFD
b) Trên đoạn thẳng FD lấy điểm H sao cho F là trung điểm của HG. Gọi K là trung điểm của PD. Chứng minh rằng 3 điểm M, H, K thẳng hàng
Trả lời
a) ME, NF là trung tuyến của ∆ MNP
=> E là trung điểm của PN, F là trung điểm của PM
Xét ∆ MFN và ∆ PFD có
FN = FD
FM = FP ( F là trung điểm của PM)
$\widehat{MFN}$ = $\widehat{PFD}$ ( 2 góc đối đỉnh)
=> ∆ MFN = ∆ PFD
b) Trong ∆ MNP các trung tuyến ME và NF cắt nhau tại G
=> G là trọng tâm của ∆ MNP
=> FG = $\frac{1}{3}$ FN
mà FG = FH ( F là trung điểm của HG)
FN = FD
=> FH = $\frac{1}{3}$ FD
mà H thuộc FD
FD là đường trung tuyến của ∆ PDM
=> H là trọng tâm của ∆ PDM (1)
K là trung điểm của PD
=> MK là đường trung tuyến của ∆ PDM (2)
Từ (1) và (2)
=> M, H, K thẳng hàng
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = $\frac{1}{2}$ AC, AD là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ ( D thuộc BC). Gọi E là trung điểm của AC
a) Chứng minh rằng DE = DB
b) AB cắt DE tại K. Chứng minh rằng tam giác DCK cân và B là trung điểm của đoạn thẳng AK
c) AD cắt CK tại H. Chứng minh rằng AH ⊥ CK
Trả lời
a) Xét ∆ ABD và ∆ AED có
AD chung
AB = AE
$\widehat{BAD}$ = $\widehat{EAD}$ ( AD là đường phân giác)
=> ∆ ABD = ∆ AED (c.g.c)
=> BD = ED
b)∆ ABD = ∆ AED
=> $\widehat{DBA}$ = $\widehat{DEA}$
hay $\widehat{CBA}$ = $\widehat{KEA}$
Ta có:
$\widehat{DBK}$ + $\widehat{DBA}$ = 180°
$\widehat{DEA}$ + $\widehat{DEC}$ = 180°
=> $\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$
Xét ∆ CDE và ∆ KDB có
DE = DB
$\widehat{KDB}$ = $\widehat{CDE}$ ( 2 góc đối đỉnh)
$\widehat{DBK}$ = $\widehat{DEC}$
=> ∆ CDE = ∆ KDB (g.c.g)
=> DC = DK
=>∆ DCK cân tại D
∆ CDE = ∆ KDB
=> EC = KB
mà E là trung điểm của AC
=> EC = $\frac{1}{2}$ AC
mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
=> EC = AB
=> KB = AB
mà K thuộc AB
=> B là trung điểm của AK
c) B là trung điểm của AK
=>AB = $\frac{1}{2}$ AK
mà AB = $\frac{1}{2}$ AC
=> AK = AC
Xét ∆ KAH và ∆ CAH có:
AK = AC
$\widehat{KAH}$ = $\widehat{CAH}$ ( AH là đường phân giác)
AH chung
=> ∆ KAH = ∆ CAH ( c.g.c)
=> $\widehat{AHK}$ = $\widehat{AHC}$
mà $\widehat{AHK}$ + $\widehat{AHC}$ = 180°
=> 2 $\widehat{AHC}$ = 180°
=> $\widehat{AHC}$ = 90°
=> AH ⊥ HC hay AH ⊥ CK
Câu 8: Ở hình 1, cho biết AE = AF và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$. Chứng minh rằng AH là đường trung trực của BC
Trả lời
$\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$
=> ∆ ABC cân tại A
=> AB = AC
=> A thuộc đường trung trực của BC (1)
Ta có: FC = AC - AF
EB = AB - AE
Mà AB = AC, AE= AF
=> FC = CB
Xét ∆ FCB và ∆ EBC có
BC chung
FC = CB
$\widehat{FCB}$ = $\widehat{EBC}$
=> ∆ FCB = ∆ ECB ( c.g.c)
=> $\widehat{FBC}$ = $\widehat{ECB}$
hay $\widehat{HBC}$ = $\widehat{HCB}$
=> ∆ HCB cân tại H
=> HC = HB
=> H thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ (1) và (2) => AH là đường trung trực của BC
Câu 9 . Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB tại M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM ( H thuộc CM ). Trên tia đối của HC lấy điểm E sao cho HE = HM
a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân
b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}$ = $\widehat{ACM}$
c) Chứng minh rằng EB ⊥ BC
Trả lời
a) BH ⊥ CM
=> ∆ BHM và ∆ BHE là 2 tam giác vuông tại H
Xét 2 tam giác vuông ∆ BHM và ∆ BHE có:
BH chung
HM = HE
=> ∆ BHM = ∆ BHE
=> MB = BE
=> ∆ MBE cân tại B
b) Có ∆ CAM vuông tại A
=> $\widehat{MCA}$ + $\widehat{CMA}$ = 90°
mà $\widehat{HMB}$ = $\widehat{CMA}$ ( 2 góc đối đỉnh )
=> $\widehat{MCA}$+ $\widehat{HMB}$ = 90°
Có ∆ BHE vuông tại H
=> $\widehat{HBE}$ + $\widehat{BEH}$ = 90°
mà $\widehat{HMB}$ = $\widehat{BEH}$ ( ∆ MBE cân tại B)
=> $\widehat{ACM}$ = $\widehat{HBE}$
c)∆ BHM = ∆ BHE
=> $\widehat{HBM}$ = $\widehat{HBE}$
Có $\widehat{HBM}$ + $\widehat{HBE}$ = $\widehat{MBE}$
=> 2$\widehat{HBM}$ = $\widehat{MBE}$
CM là đường phân giác của $\widehat{ACB}$
=> $\widehat{ACM}$ = $\widehat{MCB}$ = $\frac{1}{2}$ $\widehat{ACB}$
Có ∆ ABC vuông tại A
=> $\widehat{ACB}$ + $\widehat{ABC}$ = 90°
=> 2 $\widehat{ACM}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°
=> 2 $\widehat{HBE}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°
Mà 2$\widehat{HBM}$ = $\widehat{MBE}$
=> $\widehat{MBE}$ + $\widehat{MBC}$ = 90°
=> $\widehat{EBC}$ = 90°
=> EB ⊥ BC
Câu 10. Trên đường thẳng a lấy 3 điểm phân biệt I, J, K ( J ở giữa I và K). Kẻ đường thẳng b vuông góc với a tại J, trên b lấy điểm M khác điểm J. Đường thẳng qua I vuông góc với MK cắt b tại N. Chứng minh rằng KN vuông góc với MI.
Trả lời
Ta có đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a tại J
=> MJ ⊥ IK
=> MJ là đường cao của ∆ IMK
IN ⊥ MK => IN là đường cao của ∆ IMK
Trong ∆ IMK có:
MJ, IN là 2 đường cao giao nhau tại N
=> N là trực tâm của ∆ IMK
=> KN ⊥ MI