Giải toán 10 tập 2 cánh diều bài 4 Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

I. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Luyện tập 1. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

 ${{\Delta }_{1}}$: $\left\{ \begin{align}& x=1+{{t}_{1}} \\ & y=-2+{{t}_{1}} \\ \end{align} \right.$ và

${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}& x=2{{t}_{2}} \\ & y=-3+2{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$

Trả lời: 

Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 1;1 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 2;2 \right)$. 

=> $\overrightarrow{{{u}_{2}}}$ = 2 $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$.

Chọn t₁=0 ta có điểm $M\left( 1;-2 \right)\in {{\Delta }_{1}}$ . Thay tọa độ của  $M\left( 1;-2 \right)$ vào ${{\Delta }_{2}}$ ta được:

$\left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 1=2.{{t}_{2}} \\ & y=-2+{{t}_{2}}\\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & -2=-2+{{t}_{2}} \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{t}_{2}}=\frac{1}{2} \\ & {{t}_{2}}=0 \\ \end{align} \right.$ (vô lí)

=> $M\left( 1;-2 \right)\notin {{\Delta }_{2}}$.

 Vậy ${{\Delta }_{1}}$ //${{\Delta }_{2}}$.

Luyện tập 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d: x + 2y -2 = 0 với mỗi đường thẳng sau

 ${{\Delta }_{1}}$: 3x-2y + 6 =0

${{\Delta }_{2}}$: x + 2y + 2 = 0

${{\Delta }_{3}}$: 2x + 4y - 4 = 0

Trả lời:  

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{1}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 3x-2y+6=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 3x-2y+6=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& 4x=-4 \\& y=\frac{2-x}{2} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=-1 \\& y=\frac{3}{2} \\\end{align} \right.$

=> Hệ có nghiệm duy nhất x=-1 và $y=\frac{3}{2}$

Vậy d và ${{\Delta }_{1}}$ có 1 điểm chung, hay d  cắt ${{\Delta }_{1}}$ .

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{2}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & x+2y+2=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& x+2y+2=0 \\\end{align} \right.$ 

Có: $\frac{1}{1}=\frac{2}{2}\ne \frac{-2}{-4}$ => Hệ vô nghiệm.

Vậy d và ${{\Delta }_{2}}$ không có điểm chung, tức d // ${{\Delta }_{2}}$

• Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và ${{\Delta }_{3}}$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\ & 2x+4y-4=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ \begin{align}& x+2y-2=0 \\& 2x+4y-4=0 \\\end{align} \right.$ 

Có: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4} =\frac{-2}{-4}$ => Hệ có vô số nghiệm.

Vậy d và ${{\Delta }_{3}}$ có vô số điểm chung, tức d $\equiv$ ${{\Delta }_{3}}$.

II. Góc giữa hai đường thẳng

Luyện tập 3. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$ và ${{\Delta }_{2}}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${{\Delta }_{1}}$ : $\left\{ \begin{align}& x=-3+3\sqrt{3}t \\& y=2+3t \\\end{align} \right.$

và ${{\Delta }_{2}}$: y - 4 = 0.

b) ${{\Delta }_{1}}$: 2x - y = 0 và ${{\Delta }_{2}}$: -x+3y - 5 = 0.

Trả lời: 

a) Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto chỉ phương: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 3\sqrt{3};3 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;0 \right)$. 

$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 3\sqrt{3}.1+3.0 \right|}{\sqrt{{{(3\sqrt{3})}^{2}}+{{1}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{2}}+{{0}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}.3}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}\approx 70,{{9}^{o}}$

b) Đường thẳng  ${{\Delta }_{1}}$; ${{\Delta }_{2}}$ lần lượt có vecto pháp tuyến: $\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 2;-1 \right)$ ;  $\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( -1;3 \right)$. 

$\cos \left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)=\frac{\left| 2.(-1)+(-1).3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}.\sqrt{{{(-1)}^{2}}+{{3}^{2}}}}=\frac{5}{\sqrt{5}.\sqrt{5}}=1$

$\widehat{\left( {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}, \right)}$ = 90^o

III. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Luyện tập 4. 

a) Tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng ${{\Delta }$:

$\frac{x}{-4}+\frac{y}{2}=1$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song:

${{\Delta }_{1}}$: x -y + 1 =  0 và ${{\Delta }_{2}}$: x -y + 1$ 

Trả lời:

a) $\Delta :2x-4y+8=0$

$d\left( O;\Delta  \right)=\frac{\left| 2.0-4.0+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{(-4)}^{2}}}}=\frac{8}{2\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$

b) Có: $\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1}$

=> ${{\Delta }_{1}}$ // ${{\Delta }_{2}}$

Chọn M(0; 1) $\in {{\Delta }_{1}}$ 

$=>d({{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}})=d(M;{{\Delta }_{2}})(M\in {{\Delta }_{1}})$

 $d\left( M;{{\Delta }_{2}} \right)=\frac{\left| 0-1-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{(-1)}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$