Giải toán 10 tập 2 cánh diều bài 2 Biểu thức tọa độ của các phép toán véc tơ

I. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số đối với một vectơ

Luyện tập 1.

a) Cho $\overrightarrow{u}=(-2;0)$ ; $\overrightarrow{v}=(0;6)$ ; $\overrightarrow{w}=(-2;3)$. Tìm tọa độ của véc tơ

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{w}$

b) Cho  $\overrightarrow{u}=(-2;0)$; $\overrightarrow{u}=(\sqrt{3};0)$ ; $\overrightarrow{v}=(0;-\sqrt{7})$. Tìm tọa độ của véc tơ

$\overrightarrow{w}$ + $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{v}$

Trả lời:

a) Do $\overrightarrow{u}=(-2;0)$ ; $\overrightarrow{v}=(0;6)$ ; $\overrightarrow{w}=(-2;3)$ nên ta có:

$\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{w}$ = (-2+0+(-2); 0 +6+3). 

Vậy $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ + $\overrightarrow{w}$ = (-4; 9)

b) Do $\overrightarrow{u}=(-2;0)$; $\overrightarrow{u}=(\sqrt{3};0)$ ; $\overrightarrow{v}=(0;-\sqrt{7})$

Có: $\overrightarrow{w}$ + $\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{v}$ 

=> $\overrightarrow{w}$ = $\overrightarrow{v}$ - $\overrightarrow{u}$ = (0-$\sqrt{3}$; $-\sqrt{7}$ -0) 

Vậy  $\overrightarrow{w}$  =  ($-\sqrt{3}$; $-\sqrt{7}$ ) 

Luyện tập 2. Trong bài toán mở đầu, hãy tìm tọa độ của máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ.

Trả lời: 

Gọi C (x_C ; y_C) là vị trí máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ. 

  $\overrightarrow{AC}=\left( {{x}_{C}}-400;{{y}_{c}}-50 \right)$

 $\overrightarrow{AB}=\left( -300;400 \right)$

Vì thời gian bay quãng đường AB là 3 giờ

=> Tọa độ máy bay trực thăng tại thời điểm sau khi xuất phát 2 giờ là: 

$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{C}}-400;{{y}_{c}}-50 \right)=\frac{2}{3}.\left( -300;400 \right)$

$\left\{ \begin{align}& {{x}_{C}}-400=\frac{2}{3}.(-300) \\& {{y}_{c}}-50=\frac{2}{3}.400 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}_{C}}=200 \\&{{y}_{C}}=\frac{950}{3} \\\end{align} \right.$

II. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm tam giác

HĐ2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB (minh họa ở Hình 19).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai véc tơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

b) Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

Trả lời:

a) Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB => $\overrightarrow{OM}$ = $\frac{1}{2}$ . ($\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$) 

hay $\overrightarrow{OM}$ = $\frac{1}{2}$ .$\overrightarrow{OA}$ + $\frac{1}{2}$ .$\overrightarrow{OB}$

b) Ta có : $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A) ; $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B) ; $\overrightarrow{OM}$ = (x_M; y_M)

 $\overrightarrow{OM}$ = $\frac{1}{2}$ . ($\overrightarrow{OA}$ + $\overrightarrow{OB}$) 

=>  $\overrightarrow{OM}=\left(\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2} \right)$

Vậy $M\left( \frac{{{x}_{A}}}{2} ;\frac{{{x}_{B}}}{2} \right)$

Luyện tập 3. Cho hai điểm A (2; 4)  và M(5; 7).Tìm tọa độ điểm B sao cho M là trung điểm đoạn thẳng AB.

Trả lời:

M là trung điểm của AB 

=>${{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}}{2}=\frac{2+{{x}_{B}}}{2}=>{{x}_{B}}=2{{x}_{M}}-2=2.5-2=8$

${{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}}{2}=\frac{4+{{y}_{B}}}{2}=>{{y}_{B}}=2{{y}_{M}}-2=2.7-2=12$ 

Vậy B(8; 12)

 HĐ3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (minh họa ở Hình 20).

a) Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{OA}$; $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$.

b) Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

Trả lời:

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC => $\overrightarrow{OG}$=$\frac{1}{3}$. $(\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC})$

hay $\overrightarrow{OG}$ = $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}$+ $\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$ + $\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$

b) Ta có : $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A) ; $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B) ; $\overrightarrow{OC}$ = (x_C; y_C) ; $\overrightarrow{OG}$ = (x_G; y_G)$

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left({{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}};{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}} \right)$

hay $\overrightarrow{OG}$ = $\overrightarrow{OG}=\left(\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$.

Vậy $G\left(\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3} \right)$

Luyện tập 4. Cho ba điểm A(-1;1); B(1;5); G(1;2).

a) Chứng minh ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Trả lời:

Có: $\overrightarrow{AB}=\left( 2;4 \right);\overrightarrow{BG}=\left( 0;-3 \right)$

$\frac{0}{2}\ne \frac{-3}{4}$ => $\overrightarrow{BG} \ne k\overrightarrow{AB}$ 

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

${{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3}=\frac{-1+1+{{x}_{C}}}{3}=\frac{{{x}_{C}}}{3}\Rightarrow{{x}_{C}}=3{{x}_{G}}=3.1=3$

${{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3}=\frac{1+5+{{y}_{C}}}{3}=\frac{6+{{y}_{C}}}{3}\Rightarrow {{y}_{C}}=3{{y}_{G}}-6=0$