Trước hết, ta sử dụng công thức khai triển của $(a + b)^{4}$ với $a = z^{2} + 1$ và b=$\frac{1}{z}$ .
Sau đó, ta sử dụng các công thức khai triển của $(a + b)^{4}, (a + b)^{3}, (a + b)^{2}$ với $a = z^{2}, b = 1$ để có:
$(z^{2}+1)^{4}=C_{4}^{0}(z^{2})^{4}+C_{4}^{1}(z^{2})^{3}1+C_{4}^{2}(z^{2})^{2}+1^{2}+C_{4}^{3}z^{2}1^{3}+C_{4}^{4}1^{4}$
$= z^{8} + 4z^{6} + 6z^{4} + 4z^{2} + 1$
$(z^{2}+1)^{3}=C_{3}^{0}(z^{2})^{3}+C_{3}^{1}(z^{2})^{2}1+C_{3}^{2}z^{2}1^{2}+C_{3}^{3}1^{3}$
$=z^{6} + 3z^{4} + 3z^{2} + 1$
$(z^{2} + 1)^{2} = z^{4} + 2z^{2} + 1$
Vậy ta có:
$(z^{2}+1+\frac{1}{z})^{4}=[(z^{2}+1)+\frac{1}{z}]^{4}$
$=C_{4}^{0}.(z^{2}+1)^{4}+C_{4}^{1}(z^{2}+1)^{3}\frac{1}{z}+C_{4}^{2}(z^{2}+1)^{2}\frac{1}{z^{2}}+C_{4}^{3}(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}}+C_{4}^{4}\frac{1}{z^{4}}$
$=(z^{2}+1)^{4}+4(z^{2}+1)^{3}\frac{1}{z}+6(z^{2}+1)^{2}\frac{1}{z^{2}}+4(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{z^{4}}$
$=(z^{8}+4z^{6}+6z^{4}+4z^{2}+1)+4(z^{6}+3z^{4}+3z^{2}+1)\frac{1}{z}+6(z^{4}+2z^{2}+1)\frac{1}{z^{2}}+4(z^{2}+1)\frac{1}{z^{3}}+\frac{1}{z^{4}}$
$=z^{8}+4z^{6}+4z^{5}+6z^{4}+12z^{3}+10z^{2}+12z+13+\frac{8}{z}+\frac{6}{z^{2}}+\frac{4}{z^{3}}+\frac{1}{z^{4}}$