Giải toán 7 CTST bài 2: Tam giác bằng nhau

1. Hai tam giác bằng nhau

HĐKP1: Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A'B'C'.

Trả lời:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'

$\widehat{A} = \widehat{A'}$

$\widehat{B} = \widehat{B'}$

$\widehat{C} = \widehat{C'}$

Thực hành 1: Quan sát hình 4. Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Trả lời:

AB = MP; AC = MN; BC = PN

$\widehat{A} = \widehat{M}$

$\widehat{B} = \widehat{P}$

$\widehat{C} = \widehat{N}$

Vận dụng 1: Trong Hình 5, cho biết $ \triangle  GHI= \triangle MNP$. Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

Trả lời:

+) Xét tam giác GHI có: $\widehat{G}=180^{o}-62^{o}-43^{o}=75^{o}$.

+) Vì $ \triangle  GHI= \triangle MNP$, nên

$\widehat{G}= \widehat{M}=45^{o}$.

GI = MP = 5 cm.

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

HĐKP2: Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C' = CB

- Vẽ cung tròn tâm B' có bán kính bằng BA, vẽ cung tròn tâm C' có bán kính bằng CA

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại A'

- Vẽ các đoạn thẳng B'A', C'A', ta được tam giác A'B'C'(Hình 6b).

Em hãy cắt rời tam giác A"B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không. Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Trả lời: Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

HĐKP3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ $\widehat{xB'y} = \widehat{ABC}$

- Trên tia B'x lấy đoạn B'A' = BA

- Trên tia B'y lấy đoạn B'C' = BC

- Vẽ đoạn A'C', ta được tam giác A'B'C' (Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không? 

Trả lời: Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

HĐKP3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C"' = BC

- Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B'C' vẽ $\widehat{C'B'x} = \widehat{CBA}$ và vẽ $\widehat{B'C'y} = \widehat{BCA}$

- Vẽ giao điểm A' của hai tia B'x và C'y ta được tam giác A'B'C' Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Trả lời: Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Thực hành 2: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Trả lời:

a. Tam giác NMQ bằng tam giác PQM (c.c.c)

b. Tam giác IGK bằng tam giác HKG (c.g.c)

c. Tam giác ADB bằng tam giác AEC (g.c.g)

Thực hành 3: Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a, b) có bằng nhau không? Vì sao?

Trả lời:

a. Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ECD$ có

AC = EC

$\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$

BC = CD

=> $\Delta ACB = \Delta ECD$ (c.g.c)

b. Hai tam giác trong mỗi hình 14b không bằng nhau vì các cạnh tương ứng của tam giác không bằng nhau.

Vận dụng 2: Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a, b) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Trả lời:

a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

+ Trường hợp 1: $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$

+ Trường hợp 2: AD = CD.

b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố: KN = MN.

Vận dụng 3: Cho $\widehat{xOy}$. Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong $\widehat{xOy}$. Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng $\Delta OMP = \Delta ONP$, từ đó suy ra OP là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Trả lời:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét $\Delta OMP$ và $\Delta ONP$ có:

OM = ON

MP = NP

OP chung

Suy ra $\Delta OMP $ = $\Delta ONP$ (c.c.c).

Suy ra: $\widehat{MOP} = \widehat{NOP}$, từ đó OP là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

HĐKP5: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau cho mỗi cặp tam giác trong Hình 17.

Trả lời:

$\Delta ABC $ = $\Delta DEF$ (c.g.c).

$\Delta ABC $ = $\Delta PQR$ (g.c.g).

$\Delta ABC $ = $\Delta HGK$ (g.c.g).

Thực hành 4: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19)

Trả lời:

a) Xét $\Delta NMP$ vuông tại N và $\Delta PQN$ vuông tại P có:

NP chung

NM = PQ

Suy ra $\Delta NMP$ = $\Delta PQN$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

b) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta KBH$ cùng vuông tại H có:

BH chung

$\widehat{ABH} = \widehat{KBH}$

Suy ra $\Delta ABH$ = $\Delta KBH$ theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy.

HĐKP6: Cho tam giác ABC vuông tại A trong Hình 20a. Vẽ lên tờ giấy tam giác vuông A'B'C' có cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác ABC như sau:

- Vẽ góc vuông xA'y, trên cạnh A'y vẽ đoạn A'C' = AC

- Vẽ cung tròn tâm C' bán kính bằng BC cắt A'x tại B' Cắt rời tam giác A'B'C'.

Em hãy cho biết có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia hay không? 

Trả lời:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

Thực hành 5: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Trả lời:

+) Xét $\Delta ABD$ vuông tại B và  $\Delta ACD$ vuông tại C có cạnh huyền AD chung và $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

Suy ra $\Delta ABD = \Delta ACD$ (cạnh huyền và một góc nhọn).

+) Xét $\Delta ACE$ vuông tại C và $ \Delta ABH$ vuông tại B có: 

AB = AC (vì $\Delta ABD = \Delta ACD$)

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

Suy ra $\Delta ACE = \Delta ABH$ (một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy).

+) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ADH$ có:

AE = AH (vì $\Delta ACE = \Delta ABH$)

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$

AD chung

Suy ra  $\Delta ADE$ = $\Delta ADH$ (c.g.c).

+) Xét $\Delta BDE$ vuông tại B và $\Delta CDH$ vuông tại C có:

BD = DC

DE = DH

Suy ra $\Delta BDE$ = $\Delta CDH$ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).