Câu 7. Có hai con tài A vfa B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki - lô - mét), sau khi xuất phát t (giờ) ($t\ge 0$), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ , vị trí của tàu B có tọa độ là (4-30t;3-40t)
a) Giả sử đường đi của tàu A là (d1) => (d1): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ ; đường đi của tàu A là (d2) => (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$
$\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}}=(-33;25);\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{2}}}}}=(-30;-40)$
$\cos (\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}},}\overrightarrow{{{u}_{{{d}_{1}}}}})=\frac{\left| -33.(-30)+25.(-40) \right|}{\sqrt{{{(-33)}^{2}}+{{25}^{2}}}.\sqrt{{{(-30)}^{2}}+{{(-40)}^{2}}}}=\frac{1990}{2070,024154}\approx 0,96$
b) Kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhất, khi hai tàu gặp nhau.
Có PTTS của (d1): $\left\{ \begin{align}& x=3-33t \\ & y=-4+25t \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow PTTQ\text{ }({{d}_{1}}):\text{ 25x+33y+57=0}$
PTTS của (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow PTTQ\text{ }({{d}_{2}}):\text{ 40x-30y-70=0}$
Xét phương trình tọa độ giao điểm của ${d}_{1}$ và ${d}_{2}$ có:
$\left\{ \begin{align}& \text{25x+33y+57=0} \\ & \text{40x-30y-70=0} \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{20}{69} \\ & y=\frac{-403}{207} \\\end{align} \right.$
Thay vào PTTS của (d1) ta được $\left\{ \begin{align}& \frac{20}{69}=3-33.t \\ & \frac{-403}{207}=-4+25t \\\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow t=\frac{17}{207}=\frac{340}{69}\approx 4,93$ (phút)
Vậy Hai tàu gần nhất sau khi xuất phát khoảng 4,93 phút.
c) Khi tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu => A(3;-4). Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa tàu A và tàu B = d(A; (d2))
Vì (d2): $\left\{ \begin{align}& x=4-30t \\ & y=3-40t \\\end{align} \right.$ => (d2) qua B(4; 3), nhận vecto pháp tuyến $\overrightarrow{{{n}_{{{d}_{2}}}}}=(40;-30)$ => Phương trình tổng quát của (d): 40(x-4) -30(y-3) = 0
hay (d): 40x-30y -70 = 0
$d(A;{{d}_{2}})=\frac{\left| 40.3-30.(-4)-70 \right|}{\sqrt{{{40}^{2}}+{{(-30)}^{2}}}}=\frac{170}{50}=3,4$
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 cm.