Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 2: Tứ giác

- Hai đỉnh đối nhau: Q và N, M và P

- Hai đường chéo: QN, MP

- Hai cạnh đối nhau: MN và QP, MQ và NP

Vận dụng 1: Tìm các đỉnh, cạnh và đường chéo của tứ giác Long Xuyên CHRL (Hình 6)

Hướng dẫn trả lời:

Các đỉnh: C, H, R, L

Các cạnh: CH, HR, RL, CL

Các đường chéo: CR, HL

2. Tổng các góc của một tứ giác

Thực hành 2: Tìm x trong mỗi tứ giác sau:

Hướng dẫn trả lời:

Do tổng số đo bốn góc của một tứ giác bằng $360^{o}$ nên ta có:

Trong tứ giác PSRQ: $x+2x+70^{o}+80^{o}=360^{o}$, suy ra $3x=210^{o}$, do đó $x=70^{o}$

Trong tứ giác ABCD: $x=360^{o}-(95^{o}+100^{o}+90^{o})$, suy ra $x=75^{o}$

Trong tứ giác EFGH: $x=360^{o}-(99^{o}+90^{o}+90^{o})$, suy ra $x=81^{o}$

Vận dụng 2: Phần thân của cái diều ở Hình 10a được vẽ lại như Hình 10b. Tìm số đo các góc chưa biết trong hình.

Hướng dẫn trả lời:

Xét tam giác ABC và ADC ta có:

AB = AD

BC = CD

AC chung

Suy ra ΔABC=ΔADC (c.c.c) $\Rightarrow  \widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

Tổng số đo bốn góc trong tam giác bằng $360^{o}$ nên $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=[360^{o}-(130^{o}+60^{o})]:2=85^{o}$

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác trong Hình 11

Hướng dẫn trả lời:

Tổng các góc trong tứ giác bằng $360^{o}$ nên ta có:

a) Trong tứ giác ABCD: $\hat{B}=360^{o}-(110^{o}+75^{o}+75^{o})=100^{o}$

b) Trong tứ giác MNPQ: $\hat{M}=360^{o}-(90^{o}+90^{o}+70^{o})=110^{o}$

c) Trong tứ giác STUV: $\hat{S}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

$\hat{V}=360^{o}-(120^{o}+65^{o}+115^{o})=60^{o}$

d) Trong tứ giác EFGH: $\hat{F}=360^{o}-(70^{o}+100^{o}+80^{o})=110^{o}$

Bài 2: Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác đó.

Hãy tính tổng số đo bốn góc ngoài $\hat{A_{1}},\hat{B_{1}},\hat{C_{1}},\hat{D_{1}}$ của tứ giác ABCD ở Hình 12.

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: 

$\hat{A_{1}}+\hat{A}=180^{o} \Rightarrow  \hat{A_{1}}=180^{o}-\hat{A}$

$\hat{B_{1}}+\hat{B}=180^{o} \Rightarrow  \hat{B_{1}}=180^{o}-\hat{B}$

$\hat{C_{1}}+\hat{C}=180^{o} \Rightarrow  \hat{C_{1}}=180^{o}-\hat{C}$

$\hat{D_{1}}+\hat{D}=180^{o} \Rightarrow  \hat{D_{1}}=180^{o}-\hat{D}$

$\Rightarrow  \hat{A_{1}}+\hat{B_{1}}+\hat{C_{1}}+\hat{D_{1}}$

$=180^{o}-\hat{A}+180^{o}-\hat{B}+180^{o}-\hat{C}+180^{o}-\hat{D}$

$=4.180^{o}-(\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D})$

Mà theo định lý tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360^{o}$ ta có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{o}$

$\Rightarrow \hat{A_{1}}+\hat{B_{1}}+\hat{C_{1}}+\hat{D_{1}} = 4.180^{o}-360^{o}=360^{o}$

Bài 3: Tứ giác ABCD có $\hat{A}=100^{o}$, góc ngoài tại đỉnh B bằng $110^{o}$, $\hat{C}=75^{o}$. Tính số đo góc D 

Ta có: $\hat{B}=180^{o}-110^{o}=70^{o}$

Do tổng các góc của một tứ giác bằng $360^{o}$ nên ta có: $\hat{D}=360^{o}-(100^{o}+70^{o}+75^{o})=115^{o}$

Bài 4: Tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh A bằng $65^{o}$, góc ngoài tại đỉnh B bằng $100^{o}$∘, góc ngoài tại đỉnh C bằng $60^{o}$. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Ta có: $\widehat{ABC}+\hat{B_{ngoài}}=180^{o}$ (hai góc kề bù)

Do đó: $\widehat{ABC}+100^{o}=180^{o} \Rightarrow  \widehat{ABC}=180^{o}-100^{o}=80^{o}$

Ta có: $\widehat{BCD}+\hat{C_{ngoài}}=180^{o}$ (hai góc kề bù)

Do đó: $\widehat{BCD}+60^{o}=180^{o} \Rightarrow  \widehat{BAD}=180^{o}-60^{o}=120^{o}$

Tứ giác ABCD có: $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}+\widehat{BCD}+\widehat{ADC}=360^{o}$

Do đó: $115^{o}+80^{o}+120^{o}+\widehat{ADC}=360^{o}$

$\Rightarrow  \widehat{ADC}=360^{o}-(115^{o}+80^{o}+120^{o})=45^{o}$

Ta có: $\hat{D_{ngoài}}+\widehat{ADC}=180^{o}$ (hai góc kề bù)

Do đó : $\hat{D_{ngoài}}=180^{o}-\widehat{ADC}=180^{o}-45^{o}=135^{o}$

Vậy góc ngoài tại đỉnh D bằng $135^{o}$

Bài 5: Tứ giác ABCD có số đo $\hat{A}=x,\hat{B}=2x,\hat{C}=3x,\hat{D}=4x$. Tính số đo các góc của tứ giác đó.

Hướng dẫn trả lời:

Tứ giác ABCD có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}=360^{o}$ hay $x+2x+3x+4x=360^{o}$

$\Rightarrow 10x = 360^{o}$

$\Rightarrow  x = 36^{o}$

Vậy $\hat{A}=x=36^{o},\hat{B}=2.36^{o}=72^{o},\hat{C}=3.36^{o}=108^{o},\hat{D}=4.36^{o}=144^{o}$

Bài 6: Ta có tứ giác ABCD với AB = AD, CB = CD (Hình 13) là hình "cái diều".

a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD

b) Cho biết $\hat{B}=95^{o},\hat{C}=35^{o}$. Tính $\hat{A}$ và $\hat{D}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: AB = AD (gt) nên A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt) nên C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

b)  Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AB = AD (gt)

CB = CD (gt)

AC chung

nên ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra $\hat{B}=\hat{D}=95^{o}$

Ta có: $\hat{A}=360^{o}-(95^{o}+95^{o}+35^{o})=135^{o}$

Bài 7: Trên bản đồ, tứ giác BDNQ với các đỉnh là các thành phố Buôn Ma Thuột, Đà Lạt, Nha Trang, Quy Nhơn.

a) Tìm các cạnh kề và cạnh đối của cạnh BD

b) Tìm các đường chéo của tứ giác

Hướng dẫn trả lời:

a) Cạnh kề cạnh BD: DN, BQ

Cạnh đối cạnh BD: NQ

b) Các đường chéo: BN, DQ