a) Thay toạ độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có:
$–2 – 2\times 2 + 1 = –5 ≠ 0$
Vậy điểm A không thuộc đường thẳng d (điều cần phải chứng minh).
b) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó ∆ nhận vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{d}}=(2;1)$ của đường thẳng d là một vectơ pháp tuyến nên phương trình ∆ là:
2(x + 2) + 1(y – 2) = 0
⇔ 2x + y + 4 – 2 = 0
⇔ 2x + y + 2 = 0
Hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d là giao điểm của đường thẳng d và ∆. Do đó, toạ độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy H(–1; 0).
c) Gọi A'(xA’; yA’) là điểm đối xứng với A qua d. Khi đó H là trung điểm của AA’.
Ta có:
$xH = (xA + xA’) : 2 ⇔ xA’ = 2xH – xA = 2\times (–1) – (–2) = 0$
$yH = (yA + yA’) : 2 ⇔ yA’ = 2yH – yA = 2\times 0 – 2 = –2$
Vậy A’(0; –2).