a) Xét d: 2x + y + 1 = 0 và k: 2x + 5y – 3 = 0 ta có:
a1 = 2, b1 = 1, c1 = 1
a2 = 2, b2 = 5, c2 = –3
Xét tỉ số:
$\frac{a1}{a2}=\frac{2}{2}=1;\frac{b1}{b2}=\frac{1}{5};\frac{c1}{c2}=\frac{1}{-3}=\frac{-1}{3}<=>\frac{a1}{a2}\neq \frac{b1}{b2}\neq \frac{c1}{c2}$
Do đó, d và k cắt nhau (điều cần phải chứng minh).
Giao điểm của hai đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}2x+y+1=0\\ 2x+5y=3\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}2x-y=-1\\ 2x+5y=3\end{matrix}\right.<=>\left\{\begin{matrix}x=-1\\ y=1\end{matrix}\right.$
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là (–1; 1).
b) Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.
Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{n_{d}}$=(2;1),$\overrightarrow{n_{k}}$=(2;5)
Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì:
$cosφ=|cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{k}})|=\frac{|\overrightarrow{n_{d}}\times \overrightarrow{n_{k}}|}{|\overrightarrow{n_{d}}||\overrightarrow{n_{k}}|}=\frac{2\times 2+1\times 5}{\sqrt{2^{2}+1}\times \sqrt{2^{2}+5^{2}}}=\frac{9}{\sqrt{145}}$
Vì φ là góc giữa hai đường thẳng nên 0° ≤ φ ≤ 90°, hơn nữa cosφ ≠ 0 và cosφ ≠ 1 nên ta có: 0° < φ < 90°, suy ra tanφ > 0.
Lại có: $1 + tan^{2}φ = \frac{1}{cos^{2}φ}$
Do đó, $tan^{2}φ=\frac{1}{cos^{2}φ}-1=\frac{145}{81}-1=\frac{64}{81}⇒tanφ=\frac{8}{9}.$