Bài tập 4.21 trang 60 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Trong mỗi hình dưới đây, hãy chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau và giả thích vì sao chúng bằng nhau.
Hướng dẫn trả lời:
*) Hình a:
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCB$ có:
AB = CD (giả thiết)
BC chung
$\widehat{ABC}=\widehat{DCB}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta DCB $(c . g . c).
*) Hình b:
Xét $\Delta EFH$ và $\Delta EGH$ có:
EF = EG (giả thiết)
EH chung
$\widehat{FEH}=\widehat{GEH}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta EFH = \Delta EGH$ (c . g . c)
*) Hình c:
Xét $\Delta MON$ và $\Delta POQ$ có:
MO = PO (giả thiết)
NO = QO (giả thiết)
$\widehat{MON}=\widehat{POQ}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\Delta MON = \Delta POQ$ (c . g . c).
Bài tập 4.22 trang 61 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho hai tam giác ABC và DEF bất kỳ, thỏa mãn AB = FE, BC = DF, $\widehat{ABC}=\widehat{DFE}$. Những câu nào dưới đây đúng?
a) $\Delta ABC = \Delta DFE.$
b) $\Delta BAC = \Delta EFD.$
c) $\Delta CAB = \Delta EFD.$
d) $\Delta ABC = \Delta EFD.$
Hướng dẫn trả lời:
Vì $\widehat{ABC}=\widehat{DFE}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh F;
Vì AB = FE mà đỉnh B ứng với đỉnh F thì đỉnh A ứng với đỉnh E.
Suy ra đỉnh C ứng với đỉnh D.
Xét tam giác ABC và tam giác EFD có:
AB = FE;
BC = DF;
$\widehat{ABC}=\widehat{DFE}$
Do đó, $\Delta ABC = \Delta EFD$ (c . g . c).
Vậy chỉ có đáp án d) đúng.
Bài tập 4.23 trang 61 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho hai tam giác ABC và MNP bất kì, thỏa mãn $\widehat{ABC}=\widehat{PNM},\widehat{ACB}=\widehat{NPM}$ và BC = PN. Những câu nào dưới đây đúng?
a) $\Delta ABC = \Delta PNM.$
b) $\Delta ABC = \Delta NPM.$
c) $\Delta ABC = \Delta MPN.$
d) $\Delta ABC = \Delta MNP.$
Hướng dẫn trả lời:
Vì $\widehat{ABC}=\widehat{PNM}$ nên đỉnh B tương ứng với đỉnh N;
Vì $\widehat{ACB}=\widehat{NPM}$ nên đỉnh C tương ứng với đỉnh P.
Suy ra đỉnh A tương ứng với đỉnh M.
Xét tam giác ABC và tam giác MNP có:
$\widehat{ABC}=\widehat{PNM}$
$\widehat{ACB}=\widehat{NPM}$
BC = PN
Do đó, $\Delta ABC = \Delta MNP$ (g . c . g).
Trong bốn đáp án chỉ có đáp án d chính xác.
Bài tập 4.24 trang 61 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.24, biết rằng AC = BD và $\widehat{DBA}=\widehat{CAB}$. Chứng minh rằng AD = BC.
Hướng dẫn trả lời:
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAD $có:
AC = BD (giả thiết)
AB chung
$\widehat{CAB}=\widehat{DBA}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta BAD$ (c . g . c)
Suy ra, BC = AD (hai cạnh tương ứng).
Bài tập 4.25 trang 61 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.25, biết rằng $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ và $\widehat{BCA}=\widehat{BDA}$.
Chứng minh rằng $\Delta ABC = \Delta ABD.$
Hướng dẫn trả lời:
Xét tam giác ABC có:
$\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{BCA}=180^{\circ}$
$\widehat{ABC}=180^{\circ}-\widehat{BAC}-\widehat{BCA}$ (1)
Xét tam giác ABD có:
$\widehat{ABD}+\widehat{BAD}+\widehat{BDA}=180^{\circ}$
$\widehat{ABD}=180^{\circ}-\widehat{BAD}-\widehat{BDA}$ (2)
Mà $\widehat{BAC}=\widehat{BAD};\widehat{BCA}=\widehat{BDA} $ (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ABD$ có:
$\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$ (chứng minh trên)
AB chung
$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta ABD$ (g . c . g).
Bài tập 4.26 trang 61 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D như Hình 4.26, biết rằng AB = CD, $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$. Chứng minh rằng:
a) E là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD.
b) $\Delta ACD=\Delta CAB$.
c) AD song song với BC
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét tam giác ABE có:
$\widehat{BAE}+\widehat{ABE}+\widehat{AEB}=180^{\circ}$
$\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{BAE}-\widehat{AEB}$ (1)
Xét tam giác CDE có:
$\widehat{DEC}+\widehat{DCE}+\widehat{EDC}=180^{\circ}$
$\widehat{EDC}=180^{\circ}-\widehat{DCE}-\widehat{DEC}$ (2)
Mà $\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$ (giả thiết); $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$.
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta CDE$ có:
$\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$(chứng minh trên)
AB = CD (giả thiết)
$\widehat{BAE}=\widehat{DCE}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABE = \Delta CDE$ (g . c . g).
Suy ra, AE = CE; BE = DE (các cặp cạnh tương ứng)
Vì AE = CE và E nằm giữa A và C nên E là trung điểm của AC;
Vì BE = DE và B nằm giữa D và B nên E là trung điểm của BD.
b) Xét $\Delta ACD$ và $\Delta CAB$ có:
CD = AB (giả thiết)
AC chung
$\widehat{BAC}=\widehat{DCA}$ (giả thiết)
Do đó, $\Delta ACD = \Delta CAB$ (c . g . c).
c) Vì $\Delta ACD = \Delta CAB$ nên $\widehat{DAC}=\widehat{BCA}$ (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD song song với BC.
Bài tập 4.27 trang 62 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.27, biết rằng AD = BC, $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$. Chứng minh rằng:
a) $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$.
b) $\Delta AEB=\Delta BEC$.
c) AB song song với DC.
Hướng dẫn trả lời:
a) Xét tam giác AED có:
$\widehat{ADE}+\widehat{DAE}+\widehat{AED}=180^{\circ}$
$\widehat{DAE}=180^{\circ}-\widehat{ADE}-\widehat{AED}$(1)
Xét tam giác BEC có:
$\widehat{BCE}+\widehat{EBC}+\widehat{BEC}=180^{\circ}$
$\widehat{EBC}=180^{\circ}-\widehat{BCE}-\widehat{BEC}$ (2)
Mà $\widehat{ADE}=\widehat{BCE};\widehat{AED}=\widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)
Từ (1); (2); (3) suy ra, $\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ hay $\widehat{DAC}=\widehat{CBD}$ (điều phải chứng minh)
b) Xét $\Delta AED$ và $\Delta BEC$ ta có:
$\widehat{DAE}=\widehat{EBC}$ (chứng minh trên)
$\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$ (giả thiết)
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta AED = \Delta BEC$ (g.c.g).
c) Vì $\Delta AED = \Delta BEC$ nên AE = BE; ED = EC.
Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED.
Do đó, AC = BD.
Xét $\Delta ABD$ và $\Delta BAC$ ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
AB chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABD = \Delta BAC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$ (hai góc tương ứng)
Xét tam giác AEB có: $\widehat{ABE}+\widehat{BAE}+\widehat{AEB}=180^{\circ}$
Do đó, $2\widehat{ABE}=180^{\circ}-\widehat{AEB}$ (vì $\widehat{ABE}=\widehat{BAE}$ do $\widehat{ABD}=\widehat{BAC}$)
Suy ra $\widehat{ABE}=\frac{180^{\circ}-\widehat{AEB}}{2}$ (4)
Xét $\Delta ACD$ và $\Delta BDC $ ta có:
AC = BD (chứng minh trên)
CD chung
AD = CB (giả thiết)
Do đó, $\Delta ACD = \Delta BDC$ (c.c.c)
Suy ra $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$ (hai góc tương ứng)
Xét tam giác DEC có: $\widehat{DCE}+\widehat{EDC}+\widehat{DEC}=180^{\circ}$
Do đó, $2\widehat{EDC}=180^{\circ}-\widehat{DEC}$ (vì $\widehat{EDC}=\widehat{DCE}$ do $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$)
Suy ra $\widehat{EDC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{DEC}}{2}$ (5)
Lại có, $\widehat{AEB},\widehat{DEC}$ là hai góc đối đỉnh nên $\widehat{AEB}=\widehat{DEC}$ (6)
Từ (4); (5); (6) suy ra $\widehat{ABE}=\widehat{EDC}$ hay $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$.
Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên AB // CD.
Bài tập 4.28 trang 62 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho tam giác ABC bằng tam giác DEF (H.4.28).
a) Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC và EF. Chứng minh rằng AM = DN.
b) Trên hai cạnh AC và DF lấy hai điểm P và Q sao cho BP, EQ lần lượt là phân giác của các góc ABC và DEF. Chứng minh rằng: BP = EQ.
Hướng dẫn trả lời:
a) Vì $\Delta ABC = \Delta DEF$ nên
$\left\{\begin{matrix}\widehat{ABC}=\widehat{DEF};\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\widehat{ACB}=\widehat{DFA}\\AB=DE;BC=EF;AC=DF \end{matrix}\right.$
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{1}{2}BC$.
Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{1}{2}EF$.
Mà BC = EF (chứng minh trên) nên BM = EN.
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DEN$ ta có:
BM = EN (chứng minh trên)
AB = DE (chứng minh trên)
$\widehat{ABM}=\widehat{DEN}$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ chứng minh trên)
Do đó, $\Delta ABM = \Delta DEN$ (c . g . c).
Suy ra, AM = DN (hai cạnh tương ứng).
b) Vì BP là tia phân giác của góc ABP nên $\widehat{ABP}=\widehat{PBC}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$
Vì EQ là tia phân giác của góc DEF nên $\widehat{DEQ}=\widehat{QEF}=\frac{\widehat{DEF}}{2}$
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ nên $\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$.
Xét $\Delta PB$ và $\Delta QEF$ ta có:
BC = EF (chứng minh trên)
$\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$ (chứng minh trên)
$\widehat{PBC}=\widehat{QEF}$ (do $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ chứng minh trên)
Do đó, $\Delta PBC =\Delta QEF$ (g.c.g)
Suy ra, BP = EQ (hai cạnh tương ứng)
Bài tập 4.29 trang 62 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng cạnh BC và EF của hai tam giác ABC và DEF. Giả sử rằng AB = DE, BC = EF, AM = DN (H.4.29). Chứng minh rằng $\Delta ABC = \Delta DEF.$
Hướng dẫn trả lời:
Vì M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{BC}{2}$
Vì N là trung điểm của EF nên EN = NF = $\frac{EF}{2}$
Mà BC = EF (giả thiết) nên BM = EN.
Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DEN$ ta có:
AB = DE (giả thiết)
BM = EN (chứng minh trên)
AM = DN (giả thiết)
Do đó, $\Delta ABM = \Delta DEN$ (c . c . c).
Suy ra, $\widehat{ABM}=\widehat{DEN}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$.
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ ta có:
AB = DE (giả thiết)
BC = EF (giả thiết)
$\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ (chứng minh trên)
Do đó, $\Delta ABC = \Delta DEF$ (c . g . c).
Bài tập 4.30 trang 62 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm O sao cho OA = OB = OC = OD như Hình 4.30. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Hướng dẫn trả lời:
Xét $\Delta OAB$ và $\Delta OCD$ ta có:
OA = OC (giả thiết)
$\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh)
OB = OD (giả thiết)
Do đó, $\Delta OAB = \Delta OCD$ (c . g . c).
Suy ra AB = DC và $\widehat{BAO}=\widehat{OCD}$ hay $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong, do đó AB // DC (1).
Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OCB$ ta có:
OA = OC (giả thiết)
$\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh)
OD = OB (giả thiết)
Do đó, $\Delta OAD = \Delta OCB$ (c . g . c).
Suy ra AD = BC và $\widehat{OAD}=\widehat{OCB}$ hay $\widehat{CAD}=\widehat{ACB}$.
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.
Ta có: OA = OC = OB = OD, AC = OA + OC, BD = OB + OD.
Do đó, AC = BD.
Xét tam giác ABD và tam giác DCA có:
AB = DC (chứng minh trên)
AD cạnh chung
BD = AC (chứng minh trên)
Do đó, $\Delta ABD = \Delta DCA$ (c . c . c).
Suy ra $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$
Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{CDA}=180^{\circ}$ (do AB // DC, hai góc ở vị trí trong cùng phía)
Do đó: $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}=180^{\circ} / 2 = 90^{\circ}$
Vậy hình bình hành ABCD có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.