Giải SBT kết nối tri thức Toán 7 bài 15: Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

BÀI TẬP

Bài tập 4.31 trang 64 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Trong mỗi hình sau (H.4.33) có các cặp tam giác vuông nào bằng nhau? Vì sao?

Hướng dẫn trả lời:

• Hình a:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ ta có:  

AB  = AD (giả thiết)

$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^{\circ}$ (giả thiết)

BC = CD (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABC = \Delta ADC$ (hai cạnh góc vuông).

• Hình b

Xét $\Delta EFG$ và $\Delta KHG$ ta có:

GF = GH (giả thiết)

$\widehat{FEG}=\widehat{HKG}=90^{\circ}$ (giả thiết)

$\widehat{EGF}=\widehat{HGK}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, 4\Delta EFG =\Delta  KHG$ (góc nhọn – cạnh huyền)

• Hình c:

Tam giác OMN vuông tại M nên $\widehat{ONM}+\widehat{O}=90^{\circ} =>\widehat{ONM}=90^{\circ}-\widehat{O}$

Tam giác OQP vuông tại Q nên $\widehat{OPQ}+\widehat{O}=90^{\circ}=>\widehat{OPQ}=90^{\circ}-\widehat{O}$

Do đó, $\widehat{ONM}=\widehat{OPQ}$.

Xét $\Delta OMN$ và $\Delta OQP$ ta có:

MN = PQ (giả thiết)

$\widehat{OMN}=\widehat{OQP}=90^{\circ}$ (giả thiết)

$\widehat{ONM}=\widehat{OPQ}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta OMN = \Delta OQP$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

• Hình d:

Xét $\Delta XYZ$ và $\Delta STZ$ ta có:

YZ = TZ (giả thiết)

$\widehat{YXZ}=\widehat{TSZ}=90^{\circ}$ (giả thiết)

XZ = SZ (giả thiết)

Do đó, $\Delta XYZ = \Delta STZ$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Bài tập 4.32 trang 64 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.34. Biết rằng E là trung điểm của BC, chứng minh rằng $\Delta ABE$ = $\Delta DCE.$

Hướng dẫn trả lời:

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta DCE$ ta có:  

BE = CE (giả thiết)

$\widehat{ABE}=\widehat{ECD}=90^{\circ}$ (giả thiết)

$\widehat{AEB}=\widehat{CED}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta ABE = \Delta CDE$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

Bài tập 4.33 trang 65 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho các điểm A, B, C, D, E như Hình 4.35. Biết rằng AC vuông góc với BD, EA = EB và EC = ED.

Chứng minh rằng:

a) $\Delta AED=\Delta BEC$.

b) $\Delta ABC=\Delta BAD$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét $\Delta AED$ và $\Delta BEC$ ta có:  

AE = BE (giả thiết)

$\widehat{AED}=\widehat{BEC}=90^{\circ}$ (do AC và DB vuông góc với nhau)

ED = EC (giả thiết)

Do đó, $\Delta AED = \Delta BEC$ (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có: AC = AE + EC; BD = BE + ED. Mà AE = BE; EC = ED nên AC = BD.

Vì $\Delta AED = \Delta BEC$ nên AD = BC (hai cạnh tương ứng)

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta BAD$ có:  

BC = AD (chứng minh trên)

AB chung

AC = BD (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ABC = \Delta BAD$ (c . c . c).

Bài tập 4.34 trang 65 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho hình vuông ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD (H.4.36). Chứng minh rằng BN = CM và BN $\perp $ CM.

Hướng dẫn trả lời:

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì N là trung điểm của AD nên AN = ND = $\frac{AD}{2}$.

Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = $\frac{AB}{2}$.

Mà AB = AD nên AN = BM.

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta BMC$ có:

AN = BM (chứng minh trên)

AB = BC (chứng minh trên)

$\widehat{NAB}=\widehat{MBC}=90^{\circ}$ (do ABCD là hình vuông)

Do đó, $\Delta ANB = \Delta BMC$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra, BN = CM (hai cạnh tương ứng).

Gọi E là giao điểm của BN và CM.

Do $\Delta ANB = \Delta BMC$ nên $\widehat{ENB}=\widehat{CMB}=\widehat{BNA}$.

Từ định lí tổng ba góc trong tam giác BME và tam giác ABN, ta suy ra:

$\widehat{BEM}=180^{\circ}-\widehat{EMB}-\widehat{MBE}=180^{\circ}-\widehat{BNA}-\widehat{ABN}=\widehat{BAN}=90^{\circ}$

Vậy BN vuông góc với CM tại E.

Bài tập 4.35 trang 65 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.37. Biết rằng $\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$, hãy chứng minh CB = DB.

Hướng dẫn trả lời:

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ABD$ có:

AB chung

$\widehat{CAB}=\widehat{DAB}$ (giả thiết)

$\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^{\circ}$ (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABC = \Delta ABD$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra CB = DB.

Bài tập 4.36 trang 65 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của hai tam giác ABC và DEF như Hình 4.38. Biết rằng $\Delta ABC = \Delta DEF$, hãy chứng minh AH = DK.

Hướng dẫn trả lời:

Vì $\Delta ABC = \Delta DEF $ nên  

$\left\{\begin{matrix}\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\widehat{B}=\widehat{E};\widehat{C}=\widehat{F}\\AB=DE;AC=DF;BC=EF \end{matrix}\right.$ (các góc tương ứng và các cạnh tương ứng bằng nhau).

Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=90^{\circ}$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=90^{\circ}$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DEK $ có:  

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

AB = DE (chứng minh trên)

$\widehat{B}=\widehat{E}$ (chứng minh trên)

Do đó, $\Delta ABH = \Delta DEK$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = DK.

Bài tập 4.37 trang 66 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho AH và DK lần lượt là hai đường cao của tam giác ABC và DEF như Hình 4.39. Chứng minh rằng:

a) Nếu AB = DE; BC = EF và AH = DK thì $\Delta ABC = \Delta DEF$;

b) Nếu AB = DE, AC = DF và AH = DK thì $\Delta ABC = \Delta DEF$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=90^{\circ}$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=90^{\circ}$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DEK$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABH = \Delta DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, $\widehat{B}=\widehat{E}$ (hai góc tương ứng).

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\widehat{AHB}=\widehat{DKE}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

BC = EF (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABC = \Delta DEF$ (c . g . c).

b) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên AH vuông góc với BC. Do đó, $\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=90^{\circ}$.

Vì DK là đường cao của tam giác DEF nên DK vuông góc với EF. Do đó, $\widehat{DKE}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta DEK$ có:  

$\widehat{AHB}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

AB = DE (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABH = \Delta DEK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, BH = EK.

Xét $\Delta ACH$ và $\Delta DFK$ có:

$\widehat{AHC}=\widehat{DKF}=90^{\circ}$ (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AH = DK (giả thiết)

Do đó, $\Delta ACH = \Delta DFK$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, CH = FK.

Ta có: BC = BH + HC; EF = EK + FK. Mà BH = EK; HC = FK nên BC = EF.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

BC = EF (chứng minh trên)

AC = DF (giả thiết)

AB = DE (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABC = \Delta DEF$ (c . c . c).

Bài tập 4.38 trang 66 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho bốn điểm A, B, C, D như Hình 4.40, trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:

a) AC = BD.

b) AD // BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi giao điểm của AC và BD là O.

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCB$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{CDB}=90^{\circ}$ (giả thiết)

AB = CD (giả thiết)

BC chung

Do đó, $\Delta ABC = \Delta DCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra, AC = BD (hai cạnh tương ứng).

b) Vì $\Delta ABC = \Delta DCB$ nên $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ (hai góc tương ứng)

Xét tam giác OBC có:  

$\widehat{OCB}+\widehat{CBO}+\widehat{BOC}=180^{\circ}$.

Mà $\widehat{OCB}=\widehat{CBO}$ do $\widehat{ACB}=\widehat{DBC}$ nên $2\widehat{CBO}+\widehat{BOC}=180^{\circ}$.

Suy ra $2\widehat{CBO}=180^{\circ}-\widehat{BOC}$

Do đó, $\widehat{CBO}=\frac{180^{\circ}-\widehat{BOC}}{2}$ (1)

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta DCA$ có:  

AB = CD (giả thiết)

BD = AC (chứng minh trên)

AD chung

Do đó, $\Delta ABD = \Delta DCA$ (c.c.c).

Suy ra, $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$

Xét tam giác OAD có:

$\widehat{OAD}+\widehat{ADO}+\widehat{AOD}=180^{\circ}$.

Mà $\widehat{OAD}=\widehat{ADO}$ do $\widehat{ADB}=\widehat{DAC}$ nên $2\widehat{ADO}+\widehat{AOD}=180^{\circ}$

Suy ra $2\widehat{ADO}=180^{\circ}-\widehat{AOD}$

Do đó, $\widehat{ADO}=\frac{180^{\circ}-\widehat{AOD}}{2}$ (2)

Mà $\widehat{AOD}=\widehat{BOC}$ (hai góc đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra, $\widehat{CBO}=\widehat{ADO}$ hay $\widehat{CBD}=\widehat{ADB}$.

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AD // BC.

Bài tập 4.39 trang 66 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh AD và BC lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho AE = CF (H.4.41). Chứng minh rằng:

a) AF = CE.

b) AF//CE.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên AD = BC; AB = CD.

Ta có: AD = AE + ED; BC = BF + FC mà FC = AE (gt) và AD = BC nên ED = BF.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=\widehat{DAB}=90$.

Xét $\Delta ABF$ và $\Delta CDE$ có:

AB = CD (chứng minh trên)

BF = ED (chứng minh trên)

$\widehat{ABF}=\widehat{CDE}=90$ (do $\widehat{ABC}=\widehat{CDA}=90$)

Do đó, $\Delta ABF = \Delta CDE$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AF = CE.

b) Vì $\Delta ABF = \Delta CDE$ nên $\widehat{AFE}=\widehat{CED}$ (hai góc tương ứng).

Lại có ABCD là hình chữ nhật nên AD // BC nên $\widehat{CED}=\widehat{ECF}$ (hai góc so le trong).

Ta có: $\widehat{AFB}=\widehat{CEB};\widehat{CEB}=\widehat{ECF}$ nên $\widehat{AFB}=\widehat{ECF}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Nên AF // CE (điều phải chứng minh).

Bài tập 4.40 trang 66 SBT toán 10 tập 1 kết nối: Cho năm điểm A, B, C, D, E như Hình 4.42, trong đó DA = DC, DB = DE.

a) Chứng minh rằng AB = CE.

b) Cho đường thẳng CE cắt AB tại F. Chứng minh rằng $\widehat{BFC}=90^{\circ}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CED$ có:  

$\widehat{ADB}=\widehat{CDE}=90^{\circ}$ (giả thiết)

DA = DC (giả thiết)

DB = DE (giả thiết)

Do đó, $\Delta ABD = \Delta CED$ (hai cạnh góc vuông).

Suy ra, AB = CE (hai cạnh tương ứng).

b) Vì $\Delta ABD = \Delta CED$ nên $\widehat{BAD}=\widehat{ECD}$(hai góc tương ứng).

Lại có: $\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=90^{\circ}$ (do tam giác ABD vuông ở D) nên $\widehat{ECD}+\widehat{ABC}=90^{\circ}$.

Xét tam giác BFC có:

$\widehat{BFE}+\widehat{CBF}+\widehat{BCF}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{CBF}$ chính là góc ABC và góc BCF chính là góc ECD.

Do đó, $\widehat{CBF}+\widehat{BCF}=90^{\circ}$.

Nên $\widehat{BFC}+90^{\circ}=180^{\circ}$

Suy ra $\widehat{BFC}=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$ (điều phải chứng minh).