Hướng dẫn giải nhanh Toán 8 CTST bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

1. CỘNG, TRỪ HAI ĐA THỨC

Hoạt động 1 trang 12 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tại một công trình xây dựng người ta dùng ba loại tấm kính chống nắng...

Hướng dẫn trả lời:

Số tiền mua kính lần 1 là : P1 = $a. ( x^2.2 + x.4 + x.y.5)$ ( đồng)

Số tiền mua kính lần 2 là : P2 = $a. ( x^2.4 + x.3 + x.y.6)$ ( đồng)

a) Tổng số tiền mua kính cả hai lần là: 

T =  P1 + P2 = $6x^2a + 11xya + 7xa$ (đồng)

b) Số tiền lần 2 nhiều hơn lần 1 là : 

H =  P2 - P1 = $2x^2a + xya - xa$ (đồng)

Thực hành 1 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Cho hai đa thức $M = 1+3xy - 2x^2y^2$ và $N = x−xy+2x^2y^2$ . Tính M + N và M - N

Hướng dẫn trả lời:

$M + N = 1 + 3xy - 2x^2y^2 + x - xy + 2x^2y^2$

= $1 + (3xy - xy) + ( 2x^2y^2 - 2x^2y^2) + x$

= $1 + 2xy + x$

$M - N = 1 + 3xy - 2x^2y^2 -x + xy - 2x^2y^2$

= $1 + (3xy + xy) - (2x^2y^2 + 2x^2y^2) - x = - 4x^2y^2 + 4xy – x + 1$

2. NHÂN HAI ĐA THỨC

Hoạt động 2 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình hộp chữ nhật A có chiều rộng 2x, chiều dài và chiều cao gấp k lần...

Hướng dẫn trả lời:

Chiều dài = chiều cao  = $k.2x = 2kx$

a) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật A là: 

  $(2x) . (2kx) = (2 . 2). k . (x . x) = 4kx^2$ (đơn vị đo diện tích)

b) Thể tích của hình hộp chữ nhật A là:

  $(4kx^2) . (2kx) = (4 . 2)(k . k)(x^2 . x) = 8k^2x^3$ (đơn vị đo thể tích)

Thực hành 2 trang 14 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện các phép nhân đơn thức sau.

$(4x^3) . (-6x^3y)$

$(-2y) . (-5xy^2)$

$(-2z)^3 . (2ab)^2$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4x^3) . (-6x^3y) = 4 . (-6) . (x^3 . x^3) . y = -24x^6y$

b) $(-2y) . (-5xy^2) = (-2) . (-5) . (y . y^3) . x = 10xy^3$

c) $(-2z)^3 . (2ab)^2 = (-2)^3 . 2^2 . z^3 . a^2 . b^2 = -32z^3a^2b^2$

Hoạt động 3 trang 14 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Hình 3a là bản vẽ sơ lược sàn của một căn hộ (các kích thước tính theo m). Tính diện tích sàn này bằng những cách khác nhau.

b) Nếu vẽ cả ban công thì được sơ đồ như Hình 3b. Hãy tính tổng diện tích của sàn bao gồm cả ban công.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tính chiều dài của sàn căn hộ rồi tính diện tích sàn căn hộ.

Chiều dài sàn của căn hộ là: $y + 3x + 2 (m)$

Diện tích sàn của căn hộ là: $2x.(y + 3x + 2) (m^2)$

Như vậy

Cách 1 : $S = (y + 3x + 2). 2x = 6x^2 + 2xy + 4x (m^2)$

Cách 2 : $S = y.2x + 3x.2x + 2.2x = 6x^2 + 2xy + 4x (m^2)$

b) Chiều rộng sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: $2x + 1 (m)$

Diện tích sàn của căn hộ (bao gồm cả ban công) là: $(2x + 1).(y + 3x + 2) = 6x^2 + 2xy + 7x + y + 2 (m^2)$ 

Thực hành 3 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Viết các biểu thức sau thành đa thức:

$(-5a^4)(a^2b - ab^2)$

$(x + 2y)(xy^2 - 2y^3)$

Hướng dẫn trả lời:

a)  $(-5a^4)(a^2b - ab^2) = -5a^6b + 5a^5b^2$

b) $(x + 2y)(xy^2 - 2y^3) = x^2y^2 - 2xy^3 + 2xy^3 – 4y^4 = -4y^4 + x^2y^2$

Vận dụng 1 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Viết biểu thức tính khoảng cách giữa hai phương tiện trong tình huống ở trang 12.

Hướng dẫn trả lời:

Quãng đường thuyền đi được sau t giờ: $(v+3)t = vt + 3t (km)$

Quãng đường ca nô đi được sau t giờ: $(2v-3)t = 2vt - 3t (km)$

Khoảng cách hai phương tiện sau t giờ: $vt +3t + 2vt - 3t = 3vt (km)$.

Vận dụng 2 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính diện tích phần tô màu trong Hình 4

Hướng dẫn trả lời:

$S = 5y.(2x+3y) – (x+y).x =  10xy + 15y^2 - x^2 - xy = – x^2 + 15y^2 + 9xy$

3. CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC

Hoạt động 4 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Hình chữ nhật A có chiều rộng 2x (cm), chiều dài gấp k (k > 1) lần chiều rộng. Hình chữ nhật B có chiều dài 3x (cm). Muốn hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì B phải có chiều rộng bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích hình chữ nhật A là: $S_{A} = 2x.2kx = 4kx^2 (cm^2)$

 Gọi chiều rộng của hình chữ nhật B là R (cm).

Khi đó diện tích của hình chữ nhật B là: $S_{B} = R.3x (cm^2)$

Để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì: $S_{A} = S_{B}$ 

Do đó $4kx^2 = R.3x$

Suy ra $R = (4kx^2) : (3x) = (4 : 3)(x^2 : x). k = \frac{4}{3}kx$ (cm) 

Vậy để hai hình chữ nhật này có diện tích bằng nhau thì chiều rộng của hình chữ nhật B là $\frac{4}{3}kx (cm)$

Thực hành 4 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép chia...

Hướng dẫn trả lời:

$(8x^4y^5z^3) : (2x^3y^4z) = (8 : 2)(x^4 : x^3)(y^5 : y^4)(z^3 : z) = 4xyz^2$

Vận dụng 3 trang 15 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích...

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật: $12x^2y : 3y = 4x^2$

Hoạt động 5 trang 16 sgk Toán 8 Tập 1 CTST

Một bức tường được trang trí bởi hai tấm giấy dán có cùng chiều cao 2x (m) và có diện tích lần lượt là $2x^2 (m^2)$ và $5xy (m^2)$

a) Tính chiều rộng của mỗi tấm giấy, từ đó tìm chiều rộng của bức tường.

b) Từ kết quả trên, có thể biết được kết quả của phép chia đa thức $A = 2x^2 + 5xy$ cho đơn thức $B = 2x$ không? Hãy giải thích

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều rộng tấm giấy thứ nhất là: $2x^2 : (2x) = x (m)$ 

    Chiều rộng tấm giấy thứ hai là: $5xy : (2x) = \frac{5}{2}y (m)$.

    Chiều rộng của bức tường là: $x + \frac{5}{2}y (m)$

b) A : B = $(2x^2 + 5xy) : (2x) = x + \frac{5}{2}y$

Diện tích bức tường : chiều cao = chiều rộng

Thực hành 5 trang 16 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau...

Hướng dẫn trả lời:

a) $(5ab - 2a^2) : a = (5ab : a) - (2a^2 : a) =  5b - 2a$

b)  $(6x^2y^2 - xy^2 + 3x^2y) : (-3xy)$

= $(6x^2y^2 : (-3xy)) - (xy^2 : (-3xy))  + (3x^2y : (-3xy))$

 = $-2xy + \frac{1}{3} - x$

Vận dụng 4 trang 13 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật có thể tích...

Hướng dẫn trả lời:

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: $(6x^2y - 8xy^2) : 2xy = 3x - 4y$

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 1 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án:

a) $x + 2y + (x - y) = x + 2y + x - y = 2x + y$ 

b) $2x - y - (3x - 5y)$

= $2x - y - 3x + 5y = - x + 4y$

c) $3x^2 - 4y^2 + 6xy + 7 + (-x^2 + y^2 - 8xy + 9x +1)$

=$ 3x^2 - 4y^2 + 6xy + 7 - x^2 + y^2 - 8xy + 9x + 1 $

= $ 2x^2 – 3y^2 – 2xy + 9x + 8$

d) $4x^2y - 2xy^2 + 8 - (3x^2y + 9xy^2 - 12xy + 6)$

= $4x^2y - 2xy^2 + 8 - 3x^2y - 9xy^2 + 12xy - 6$

= $x^2y – 11xy^2 + 12xy + 2$

Bài tập 2 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Tìm độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7, biết rằng tam giác có chu...

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài cạnh còn lại là: 

$(7x + 5y) – (3x – y) – (x + 2y) = 3x + 4y$

Bài tập 3 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép nhân...

Hướng dẫn trả lời:

a) $3x(2xy - 5x^2y) = 6x^2 - 15x^3y$

b) $2x^2y(xy - 4xy^2 + 7y) = 2x^3y^2 - 8x^3y^3 + 14x^2y^2$

c) $(-\frac{2}{3}xy^2 + 6yz^2)(-\frac{1}{2}xy) = \frac{1}{3}x^2y^3 - 3xy^2z^2$

Bài tập 4 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép nhân...

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x - y)(x - 5y) = x^2 - 5xy - xy + 5y^2 = x^2 - 6xy + 5y^2$

b) $(2x + y)(4x^2 -2xy + y^2) = 8x^3 - 4x^2y + 2xy^2 + 4x^2y - 2xy^2 + y^3$

= $8x^3 + y^3$

Bài tập 5 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép chia...

Hướng dẫn trả lời:

a) $20x^3y^5 : (5x^2y^2) = 4xy^3$

b) $18x^3y^5 : (3(-x)^3y^2) = -6y^3$

Bài tập 6 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Thực hiện phép chia...

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4x^3y^2 - 8x^2y + 10xy) : (2xy) = 2x^2y - 4x + 5$

b) $(7x^4y^2 - 2x^2y^2 - 5x^3y^4) : (3x^2y ) = \frac{7}{3}x^2y - \frac{2}{3}y - \frac{5}{3}xy^3$

Bài tập 7  trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST

Tính giá trị của biểu thức...

Hướng dẫn trả lời:

a) $3x^2y - (3xy - 6x^2y) + (5xy - 9x^2y) = 3x^2y - 3xy + 6x^2y + 5xy - 9x^2y$

= $2xy$

Với $x = \frac{2}{3}, y = - \frac{3}{4}$ thì giá trị biểu thức là:

$2. \frac{2}{3} . -\frac{3}{4} = -1$

b) $x(x - 2y) - y(y^2 - 2x) = x^2 - 2xy - y^3 + 2xy = x^2 - y^3$

Với $x = 5 ; y = 3$ thì giá trị biểu thức là $5^2 - 3^3 = -2$

Bài tập 8 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST 

Trên một dòng sông, để đi được 10 km, một chiếc xuồng tiêu tốn a lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn (a + 2) lít dầu khi ngược dòng. Viết biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A. Biết khoảng cách giữa hai bến là b km.

Hướng dẫn trả lời:

Đi 1km xuôi dòng tốn số lít dầu là : $\frac{a}{10}$ ( lít)

Đi 1km ngược dòng tốn số lít dầu là : $\frac{a+2}{10}$( lít)

Đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A tốn số lít dầu là: 

$(\frac{1}{10}(a + 2))b + (\frac{a}{10})b = \frac{ab}{10} + \frac{2b}{10} + \frac{ab}{10} = \frac{ab}{5} + \frac{b}{5}$ ( lít dầu)

Bài tập 9 trang 17 sgk Toán 8 tập 1 CTST

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng...

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều dài của hình chữ nhật là: $(6xy + 10y^2) : (2y) = 3x + 5y$ 

b) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật: $(12x^3 – 3xy^2 + 9x^2y) : (3x) = 4x^2 - y^2 + 3xy$