Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

1. Cộng, trừ hai đa thức

Thực hành 1: Cho hai đa thức $M=1+3xy-2x^{2}y^{2}$ và $N=x-xy+22y^{2}$. Tính M + N và M - N

Hướng dẫn trả lời:

$M+N=(1+3xy-2x^{2}y^{2})+(x-xy+2x^{2}y^{2})$

$=1+3xy-2x^{2}y^{2}+x-xy+2x^{2}y^{2}$

$=1+(3xy-xy)+(2x^{2}y^{2}-2x^{2}y^{2})+x$

$=1+2xy+x$

$M-N=(1+3xy-2x^{2}y^{2})-(x-xy+2x^{2}y^{2}) $

$=1+3xy-2x^{2}y^{2}-x+xy-2x^{2}y^{2}$

$=1+(3xy+xy)-(2x^{2}y^{2}+2x^{2}y^{2})-x=1+4xy-4x^{2}y^{2}-x$

2. Nhân hai đa thức

Thực hành 2: Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:

a) $(4x^{3}.(-6x^{3}y)$

b) $(-2y).(-5xy^{2})$

c) $(-2z)^{3}.(2ab)^{2}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4x^{3}.(-6x^{3}y)=[4.(-6)].(x^{3}.x^{3}).y=-24x^{6}y$

b) $(-2y).(-5xy^{2})=[(-2).(-5)].(y.y^{2}).x=10xy^{3}$

c) $(-2z)^{3}.(2ab)^{2}=[(-2)^{3}.2^{2}].a^{3}.a^{2}.b^{2}=-32a^{5}b^{2}$

Thực hành 3: Viết các biểu thức sau thành đa thức:

a) $(-5a^{4})(a^{2}b-ab^{2})$

b) $(x+2y)(xy^{2}-2y^{3})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(-5a^{4})(a^{2}b-ab^{2})=-5a^{6}b+5a^{5}b^{2}$

b) $(x+2y)(xy^{2}-2y^{3})=x^{2}y^{2}-2xy^{3}+2y^{3}-4y^{4}$

Vận dụng 1: Viết biểu thức tính khoảng cách giữa hai phương tiện trong tình huống ở trang 12.

Hướng dẫn trả lời:

Quãng đường thuyền đi được sau t giờ: (v+3)t = vt + 3t (km)

Quãng đường ca nô đi được sau t giờ: (2v-3)t = 2vt - 3t (km)

Khoảng cách hai phương tiện sau t giờ: vt +3t + 2vt - 3t = 3vt (km)

Vận dụng 2: Tính diện tích phần tô màu trong Hình 4

Hướng dẫn trả lời: 

Diện tích phần tô màu:

$5y(2x+3y)-x(x+y)=10xy+15y^{2}-x^{2}-xy=15y^{2}-x^{2}+9xy$

3. Chia đa thức cho đơn thức

Thực hành 4: Thực hiện phép chia $8x^{4}y^{5}z^{3}$ cho $2x^{3}y^{4}z$

Hướng dẫn trả lời:

$8x^{4}y^{5}z^{3}:2x^{3}y^{4}=(8:2)(x^{4}:x^{3})(y^{5}:y^{4})(z^{3}:z)=4xyz^{2}$

Vận dụng 3: Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích $V=12x^{2}y$ và chiều cao bằng 3y

Hướng dẫn trả lời:

Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật: $12x^{2}y : 3y=4x^{2}$

Thực hành 5: Thực hiện các phép chia đa thức cho đơn thức sau:

a) $(5ab-2a^{2}):a$

b) $(6x^{2}y^{2}-xy^{2}+3x^{2}y):(-3xy)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(5ab-2a^{2}):a=(5ab:a)-(2a^{2}:a)=5b-2a$

b) $(6x^{2}y^{2}-xy^{2}+3x^{2}y):(-3xy)=[6x^{2}y^{2}:(-3xy)]-[3x^{2}y:(-3xy)]=-2xy+\frac{1}{3}y-3x$

Vận dụng 4: Tính chiều cao của hình hộp chữ nhật có thể tích $V=6x^{2}y-8xy^{2}$ và diện tích đáy S = 2xy

Hướng dẫn trả lời:

Chiều cao của hình hộp chữ nhật là: $(6x^{2}y-8xy^{2}):2xy=3x-4y$

BÀI TẬP

Bài 1: Tính:

a) x + 2y + (x - y)

b) 2x - y - (3x - 5y)

c) $3x^{2}-4y^{2}+6xy+7+(-x^{2}+y^{2}-8xy+9x+1)$

d) $4x^{2}y-2xy^{2}+8-(3x^{2}y+9xy^{2}-12xy+6)$

Hướng dẫn trả lời:

a) x + 2y + (x - y) = x + 2y + x - y = 2x + y

b) 2x - y - (3x - 5y) = 2x - y - 3x + 5y = -x + 4y

c) $3x^{2}-4y^{2}+6xy+7+(-x^{2}+y^{2}-8xy+9x+1)$

$=3x^{2}-4y^{2}+6xy+7-x^{2}+y^{2}-8xy+9x+1$

$=2x^{2}-3y^{2}-2xy+9x+8$

d) $4x^{2}y-2xy^{2}+8-(3x^{2}y+9xy^{2}-12xy+6)$

$=4x^{2}y-2xy^{2}+8-3x^{2}y-9xy^{2}+12xy-6)$

$=x^{2}y-11xy^{2}+12xy+2$

Bài 2: Tìm độ dài cạnh còn thiếu của tam giác ở Hình 7, biết rằng tam giác có chu vi bằng 7x + 5y

Hướng dẫn trả lời:

Độ dài cạnh còn lại là: 7x + 5y - (3x - y + x + 2y) = 7x + 5y - 3x + y - x - 2y = 3x + 4y

Bài 3: Thực hiện phép nhân.

a) $3x(2xy-5x^{2}y)$

b) $2x^{2}y(xy-4xy^{2}+7y)$

c) $(-\frac{2}{3}xy^{2}+6yz^{2})(-\frac{1}{2}xy)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $3x(2xy-5x^{2}y)=6x^{2}y-15x^{3}y$

b) $2x^{2}y(xy-4xy^{2}+7y)=2x^{3}y^{2}-8x^{3}y^{3}+14x^{2}y^{2}$

c) $(-\frac{2}{3}xy^{2}+6yz^{2})(-\frac{1}{2}xy)=\frac{1}{3}x^{2}y^{3}-3xy^{2}z^{2}$

Bài 4: Thực hiện phép nhân

a) (x - y)(x - 5y)

b) $(2x+y)(4x^{2}-2xy+y^{2})$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(x-y)(x-5y)=x^{2}-5xy-xy+5y^{2}=x^{2}-6xy+5y^{2}$

b) $(2x+y)(4x^{2}-2xy+y^{2})=8x^{3}-4x^{2}y+2xy^{2}+4x^{2}y-2xy^{2}+y^{3}=8x^{3}+y^{3}$

Bài 5: Thực hiện phép chia.

a) $20x^{3}y^{5}:(5x^{2}y^{2})$

b) $18x^{3}y^{5}:[3(-x)3y^{2}]$

Hướng dẫn trả lời:

a) $20x^{3}y^{5}:(5x^{2}y^{2})=4xy^{3}$

b) $18x^{3}y^{5}:[3(-x)3y^{2}]=-6y^{3}$

Bài 6: Thực hiện phép chia

a) $(4x^{3}y^{2}-8x^{2}y+10xy):(2xy)$

b) $(7x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{2}-5x^{3}y^{4}):(3x^{2}y)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $(4x^{3}y^{2}-8x^{2}y+10xy):(2xy)=-2x^{2}y-4x+5$

b) $(7x^{4}y^{2}-2x^{2}y^{2}-5x^{3}y^{4}):(3x^{2}y)=\frac{7}{3}x^{2}y-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}xy^{3}$

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:

a) $3x^{2}y-(3xy-6x^{2}y)+(5xy-9x^{2}y)$ tại $x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{4}$

b) $x(x-2y)-y(y^{2}-2x)$ tại x = 5, y = 3

Hướng dẫn trả lời: 

a) Thay $x=\frac{2}{3},y=-\frac{3}{4}$ vào biểu thức ta có: $2.\frac{2}{3}.(-\frac{3}{4})=-1$

b) Thay x = 5; y = 3 vào biểu thức ta có: $5^{2}-3^{3}=-2$

Bài 8: Trên một dòng sông, để đi được 10 km, một chiếc xuồng tiêu tốn a lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn (a + 2) lít dầu khi ngược dòng. Viết biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A. Biết khoảng cách giữa hai bến là b km.

Hướng dẫn trả lời:

Để đi được 1 km khi ngược dòng tốn $\frac{1}{10}(a+2)$ lít dầu và khi xuôi dòng tốn $\frac{a}{10}$

Ta có: Biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A là:

$[\frac{1}{10}(a+2)]b+\frac{a}{10}b=\frac{ab}{10}+\frac{2b}{10}+\frac{ab}{10}=\frac{ab}{5}+\frac{b}{5}$ (lít dầu)

Bài 9: 

a) Tính chiều dài của hình chữ nhật có diện tích bằng $6xy+10y^{2}$ và chiều rộng bằng 2y

b) Tính diện tích đáy của hình hộp chữ nhật có thể tích bằng $12x^{3}-3xy^{2}+9x^{2}y$ và chiều cao bằng 3x

Hướng dẫn trả lời:

a) Chiều dài của hình chữ nhật là: $(6xy+10y^{2}):2y=3x+5y$

b) Diện tích đáy của hình hộp chữ nhật: $(12x^{3}-3xy^{2}+9x^{2}y):3x=4x^{2}-y^{2}+3xy$