Giải chi tiết Toán 8 chân trời mới bài 5: Hình chữ nhật - Hình vuông

1. Hình chữ nhật

Thực hành 1: Cho biết a, b, d lần lượt là độ dài các cạnh và đường chéo của một hình chữ nhật. Thay dấu ? trong bảng sau bằng giá trị thích hợp

Hướng dẫn trả lời:

Vận dụng 1: Tìm bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế.

Hướng dẫn trả lời:

mặt bàn học hình chữ nhật, mặt chiếc đồng hồ hình chữ nhật, cửa sổ hình chữ nhật, cái chiếu hình chữ nhật

Thực hành 2: Chỉ được sử dụng compa, hãy kiểm tra tứ giác ở Hình 6 có phải là hình chữ nhật hay không.

Hướng dẫn trả lời:

- Ta kiểm tra các cặp cạnh đối xem chúng có bằng nhau không

Nếu các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành

- Sau đó: Kiểm tra hai đường chéo xem chúng bằng nhau không

Nếu hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Vận dụng 2: a) Hãy sử dụng eke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không.

b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta dùng eke kiểm tra xem ba góc của khung cửa sổ có vuông hay không, nếu có 3 góc vuông thì góc còn lại cũng sẽ vuông, do đó khung cửa sổ là hình chữ nhật

b) Ta dùng cuộn dây kiểm tra xem các cặp cạnh đối của khung cửa sổ có bằng nhau hay không, nếu bằng nhau thì khung cửa sổ là hình bình hành

Ta tiếp tục kiểm tra xem độ dài hai đường chéo của khung cửa sổ có bằng nhau không, nếu bằng nhau thì đó là hình chữ nhật

2. Hình vuông

Thực hành 3: Tìm hình vuông trong hai hình sau:

Hướng dẫn trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , suy ra MNPQ là hình bình hành. Ta lại có MP vông góc với NQ nên MNPQ là hình thoi suy ra AB = BC = CD = AD (1)

Mặt khác, No là đường trung tuyến ứng với cạnh MP, $NO=\frac{1}{2}MP$ nên tam giác MNP vuông tại N hay $\widehat{MNP}=90^{o}$

Tương tự ta có: $\widehat{NPQ}=\widehat{MQP}=\widehat{NMQ}=\widehat{MNP}=90^{o}$ (2)

Từ (1)(2) suy ra MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác URST có: UR = RS = ST = UT, $\widehat{URS}=90^{o}$ suy ra URST là hình vuông

Vận dụng 3: Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế

Hướng dẫn trả lời:

một mặt của khối rubik, gạch lát nền, cái đĩa hình vuông, khung ảnh hình vuông

Thực hành 4: Trong Hình 12, cho biết ABCD là một hình vuông. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFGH có ba góc vuông

b) HE = HG

c) Tứ giác EFGH là một hình vuông

Hướng dẫn trả lời:

a) Có ABCD là hình vuông (gt)

=> $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90^{o}$

AB = BC = DC =AD mà AE = BF = CG = HD (gt)

=> EB = CF = DG = AH

Xét tam giác AEH và tam giác BFE

có AE = BF (gt)

$\hat{A}=\hat{B}$ (cmt)

EB = AH (cmt)

=> ΔAEH = ΔBFE (c-g-c)

=> HE = FE (2 cạnh tương ứng) (1)

Tương tự ta có:

ΔAHE = ΔDGH ( c-g-c)=> HE = HG (2 cạnh tương ứng) (2)

ΔDHG = ΔCGF (c-g-c)=> HG = GF (2 cạnh tương ứng) (3)

Từ (1) (2) và (3) => HE = EF = GF = HG

=> EFGH là hình thoi ( vì là tứ giác có 4 cạnh = nhau)

ΔAHE = ΔBEF (cmt) => $\widehat{BEF}=\widehat{AHE}$ (2 góc tương ứng)

mà $\widehat{AHE}+\widehat{AEH}=90^{o}$ ( vì tam giác AHE vuông tại A )

=> $\widehat{BEF}+\widehat{AEH}=90^{o}$

có $\widehat{AEH}+\widehat{HEF}+\widehat{BEF}=180^{o} \Rightarrow \widehat{HEF}=90^{o}$

Hình thoi EFGH có $\widehat{HEF}=90^{o}$

=> EFGH là hình vuông

Vận dụng 4: Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Hướng dẫn trả lời:

Mặt đồng hồ có ba góc vuông suy ra mặt đồng hồ là hình chữ nhật 

Lại có, hai cạnh kề bằng nhau suy ra mặt đồng hồ là hình vuông

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình 14. Tìm x

Hướng dẫn trả lời:

ΔABC vuông tại A có: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ (định lí Pytago)

⇒$BC^{2}=6^{2}+8^{2}=10^{2}$ hay BC = 10 (cm)

Mà $AM=\frac{1}{2}BC$ (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Nên $AM=\frac{1}{2}.10=5$ (cm)

Vậy x = 5 cm

Bài 2: Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn trả lời:

Cách vẽ:

Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho HP=HM

Chứng minh:

Tứ giác MNQP có QN và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác $\widehat{NMQ}=90^{o}$ (gt) ⇒ Tứ giác MNQP là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Bài 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh HG = GK = KE.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)

I là trung điểm của AC (gt);

Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)

Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà $\widehat{AHC}=90^{o}$ (AH là đường cao của tam giác ABC)

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

b) MAHC có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)

Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)

Mà HI cắt AM tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC ⇒ $HG=\frac{2}{3}HI$ và $GI=\frac{1}{3}HI$ (1)

ΔAEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

⇒ K là trọng tâm của tam giác AEC ⇒ $KE=\frac{2}{3}IE$ và $KI=\frac{1}{3}IE$ (2)

HI = IE (E đối xứng với H qua I)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $HG=KE=\frac{2}{3}IE$

Ta có: $GK=GI+IK=\frac{1}{3}IE+\frac{1}{3}IE=\frac{2}{3}IE$ suy ra $HG=KE=GK(=\frac{2}{3}IE)$

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F ∈ AB).

a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.

b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tứ giác AEDF có:

 AE // DF (AC // FD, E ∈ AC)

AF // DE (AB // DE, F ∈ AB)

⇒AEDF là hình bình hành.

Mà $\widehat{FAE}=90^{o}$  (ΔABC vuông tại A)

Nên AEDF là hình chữ nhật.

b) ΔABC có D là trung điểm của BC và FD // AC ⇒ F là trung điểm của AB.

ΔABC có D là trung điểm của BC và DE // AB ⇒ E là trung điểm của AC

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF//BC và $EF=\frac{1}{2}BC$

Lại có $BD=\frac{1}{2}BC$ (Vì D là trung điểm của BC)

⇒ EF//BD và EF = BD

Vậy tứ giác BFED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 5: Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác. 

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Hướng dẫn trả lời:

- Tứ giác nhận được theo nhát cắt của MN là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

- Nếu có thêm OM = ON thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.