a) $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}= |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=a \cdot a \cdot cos 45^{\circ}=\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$
b) $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| \cdot cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD})=|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}| \cdot cos 90^{\circ}=0$