Giải toán 10 cánh diều bài 5: Tích của một số với một vectơ

Luyện tập 1: Cho tam giác $A B C$. Hai đường trung tuyến $A M$ và $B N$ cắt nhau tại $G$.

Tìm các số $a, b$ biết:$\overrightarrow{A G}=a \overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{G N}=b \overrightarrow{G B}$

Trả lời:

* Ta có: $\overrightarrow{AG}, \overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3} |\overrightarrow{AM}|$

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AM}$. Vậy $a=2$.

* Ta có: $\overrightarrow{GN}, \overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$. Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{GB}$. Vậy $b=-\frac{1}{2}$.

Luyện tập 2: Cho ba điểm $A, B, C$. Chứng minh

$3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C}) =\overrightarrow{A B}$

Trả lời:

Ta có: $3(\overrightarrow{A B}+2 \overrightarrow{B C})-2(\overrightarrow{A B}+3 \overrightarrow{B C})$

$= 3\overrightarrow{A B}+6 \overrightarrow{B C}-2\overrightarrow{A B}-6 \overrightarrow{B C}$

$=\overrightarrow{A B}$ (đpcm).

Luyện tập 3: Cho tam giác $A B C$ có $G$ là trọng tâm. Chứng minh $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3 \overrightarrow{A G}$

Trả lời:

*Cách 1:

Ta có:

$\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}$

$\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}= \overrightarrow{AM}$

Cộng vế với vế: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AM}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=2 \cdot \frac{2}{3}\overrightarrow{AG}$ (chứng minh ở Luyện tập 1)

$\Leftrightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

* Cách 2: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$

$=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC}$

$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=3\overrightarrow{AG}$ (đpcm).

Luyện tập 4: Ở Hình 61, tìm $k$ trong mối trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{A C}=k \overrightarrow{A D}$

b) $\overrightarrow{B D}=k \overrightarrow{D C}$.

Trả lời:

a) Từ hình vẽ, $AC=\frac{3}{4}AD$

$\Rightarrow\overrightarrow{A C}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$  (hai vectơ cùng hướng)

$\Rightarrow k=\frac{3}{4}$

b) Từ hình vẽ, $BD=3CD$

$\Rightarrow\overrightarrow{BD}=-3 \overrightarrow{DC}$ (hai vectơ ngược hướng)

$\Rightarrow k=-3$