Giải toán 10 KNTT bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

1. Định lí côsin

HĐ1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 1 giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam rồi giữ nguyên vận tốc và đi tiếp.

a) Hãy vẽ sơ đồ đường đi của tàu trong 1,5 giờ kể từ khi xuất phát (1 km trên thực tế ứng với 1 cm trên bản vẽ).

b) Hãy đo trực tiếp trên bản vẽ và cho biết sau 1,5 giờ kể từ khi xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong bao nhiêu kilomet (số đo gần đúng).

c) Nếu sau khi đi được 2 giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay vì hương đông nam) thì có thể dụng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính chính xác các số đo trong câu b hay không?

Trả lời:

a) Hình vẽ thể hiển sơ đồ đường đi của tàu, tàu xuất phát từ cảng Vân Phong (điểm A), đi theo hướng từ A đến B, sau đó từ B chuyển hướng đi C (hướng đông nam). Thời gian đi từ B đến C là 0,5 giờ.

b) Khoảng cách từ C đến A khoảng 28 cm, thì thực tế tàu cách cảng Vân Phong 28 km

c) Có thể dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) vì nếu tàu chuyển hướng sang nam thì góc ABC là góc vuông, ta có thể áp dụng định lí Pythagore (Pi-ta-go).

HĐ2: Trong Hình 3.8, hãy thực hiện các bước sau để thiết lập công thức tính a theo b, c và giá trị lượng giác của góc A.

a) Tính a² theo BD² và CD² .

b) Tính a² theo b, c và DA.

c) Tính DA theo c và cos A.

d) Chứng minh a² = b² + c² -2b.c.cos A.

Trả lời:

a) a² = BD² + CD² (áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuồn BDC).

b) a² = c² – DA² + (DA + b)² = c² – DA² + (DA² +2.b.DA + b² )= c² +2.b.DA + b²

c) DA = c. cos$\alpha$ = c.(-cos A) = -c.cos A

d) Theo b ta có: a² = c² +2.b.DA + b²  (1)  , thay DA = -c.cos A vào (1) ta được:

a² = b² + c² -2b.c.cos A.

Câu hỏi: Định lí Pythagore có phải là môt trường hợp đặc biết của Định lí Cosin hay không?

Trả lời: Định lí Pythagore có phải là một trường hợp đặc biết của Định lí Cosin, khi góc A = 90^o

Khám phá: Từ Định lí cosin,hãy viết các công thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

Trả lời:

LT1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 8 và $ \widehat{A}=45^{o}$. Tính độ dài các cạnh và độ lớn các góc còn lại của tam giác.

Trả lời:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC có: BC ² = AB² + AC ² – 2AB.AC.cos45^o= $5^{2}+8^{2}-2.5.8.\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 32$

$ \Rightarrow BC \approx 5,7$

Ta có: AC ² = AB² + BC ² – 2AB.BC.cos B

$ \Rightarrow cos B \approx -0,123 $

$ \Rightarrow B \approx 97^{o} $

$ \Rightarrow C \approx 38^{o} $

Trải nghiệm: Vẽ một tam giác ABC, sau đó đo độ dài các cạnh, số đo góc A và kiểm tra tính đúng đắn của Định lí cosin tại đỉnh A đối với tam giác đó.

Trả lời:

Vận dụng 1: Dùng định lí cosin, tính khoảng cách được đề cập trong HD1b.

Trả lời:

Do tàu đi theo hướng đông đến B rồi chuyển hướng đông nam đến C nên góc ABC = 135^o

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC có:

AC ² = AB² + BC ² – 2AB.BC.cos135^o = $20^{2}+10^{2}-2.20.10.\frac{-\sqrt{2}}{2}\approx 782,8$

$\Rightarrow AC \approx 28$

2. Định lí sin.

HĐ3: Trong mỗi hình dưới đây, hãy tính R theo a và sin A.

Trả lời:

a) Xét tam giác BMC vuông tại C có: BM = 2R = $\frac{a}{sinM}$ = $\frac{a}{sinA}$ (do $\widehat{A}=\widehat{M}$)

$\Rightarrow R=\frac{a}{2sinA}$

b) Xét tam giác BMC vuông tại C có: BM = 2R = $\frac{a}{sinM}$ = $\frac{a}{sinA}$ (do sin A = sin M vì $\widehat{A}+\widehat{M}=180^{o}$)

LT2: Cho tam giác ABC có b = 8, c = 5 và $\widehat{A} = 80^{o}$. Tính số đo các góc, bán kính đường tròn ngoại tiếp và độ dài cách cạnh còn lại của tam giác.

Trả lời:

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sin A}=\frac{8}{sin 80^{o}}=\frac{5}{sin C}=2R$

Suy ra: $sin C\approx 0,6 \Rightarrow C\approx 38$

$\widehat{A} = 180^{o}-\widehat{B}-\widehat{C} = 62^{o}$

Suy ra: $a \approx 7,2$.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: $R \approx 4$.

3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

LT3: Giải tam giác ABC, biết b = 32, c = 45, $\widehat{A}= 87^{o}$.

Trả lời:

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:  a² = b² + c² -2.b.c.cos A = $ 32^{2}+45^{2}-2.32.45.cos87^{o}$

$\Rightarrow a\approx 54$

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{54}{sin 87^{o}}=\frac{32}{sin B}=\frac{45}{sin C}=2R$

$B \approx 36^{o}, C \approx 57^{o}$

4. Công thức tính diện tích tam giác

HĐ4: Cho tam giác ABC với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

a) Nêu mối liên hệ giữa diện tích tam giác ABC và diện tích các tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c.

Trả lời:

a) Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích 3 tam giác IBC, ICA, IAB.

b) Diện tích tam giác ABC: $S_{ABC}=\frac{a.r}{2}+\frac{b.r}{2}+\frac{c.r}{2}=\frac{(a+b+c).r}{2}$

HĐ5: Cho tam giác ABC với đường cao BD.

a) Biểu thị BD theo AB và sin A.

b) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo b, c, sin A.

Trả lời:

a) BD = AB.sin A

b) S = $\frac{BD.AC}{2}=\frac{b.c.sin A}{2}$

LT4: Tính diện tích của tam giác ABC có b = 2, $\widehat{B}=30^{o}, \widehat{C}=45^{o}$

Trả lời:

Áp dụng định lí sin, ta có: $\frac{a}{sin A}=\frac{b}{sin B}=\frac{c}{sin C}=2R$

= $\frac{a}{sin A}=\frac{2}{sin 30^{o}}=\frac{c}{sin 45^{o}}=2R$

Suy ra: $c = 2\sqrt{2}$

$\widehat{A}=180^{o}-\widehat{B}-\widehat{C}=105^{o}$

Diện tích tam giác ABC: $ S= \frac{b.c.sin A}{2}=\frac{2.2\sqrt{2}.sin105^{o}}{2}=\sqrt{3}+1\approx 2,73$

Thảo luận: Ta đã biết tính cos A theo độ dài các cạnh của tam giác ABC. Liệu sin A và diện tích S có tính được theo độ dài các cạnh của tam giác ABC hay không?

Trả lời: sin A và diện tích S tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Vận dụng 3: Công viên Hòa Bình (Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE như hình 3.17. Dùng chế độ tính khoảng cách giữa hai điểm của Google Maps, một người xác định được các khoảng cách như trong hình vẽ. Theo số liệu đó, em hãy tính diện tích của công viên Hòa Bình.

Trả lời:

Ta có: $S_{ABCDE}= S_{ABE}+ S_{EBD}+ S_{BDC}$

Trong tam giác BDC có nửa chu vi là: $\frac{441+575+538}{2}=777$

Khi đó: $S_{BDC} = \sqrt{777.(777-441).(777-575).(777-538)} \approx 112267,7$ m²

Tính tương tự có: $S_{ABE} \approx 51328$ m²; $S_{BED} \approx 51495$ m²

Vậy diện tích công viên Hòa Bình xấp xỉ: 215090,7 m²