Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Chân trời bài: Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Trên đường tròn lượng giác, góc lượng giác $\frac{13\pi}{7}$ có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác nào sau đây?

A. $\frac{6\pi}{7}$

B. $\frac{20\pi}{7}$

C. $-\frac{\pi}{7}$.

D. $\frac{19\pi}{14}$.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

$-\frac{\pi}{7}=\frac{13\pi}{7} + (-1).2\pi$

Bài 2: Điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác của góc lượng giác có số đo $-830^{o}$ thuộc góc phần tư thứ mấy?

A. Góc phần tư thứ I.

B. Góc phần tư thứ II.

C. Góc phần tư thứ III.

D. Góc phần tư thứ IV.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

Bài 3: Trong các khẳng định sai, khẳng định nào là sai?

A. $cos(\pi - x) = -cosx$.

B. $sin(\frac{\pi}{2}-x)=-cosx$

C. $tan(\pi + x) = tanx$.

D. $cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx$.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

$sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx$

Bài 4: Cho $cos\alpha =\frac{1}{3}$. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào không thể xảy ra?

A. $sin\alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

B. $cos2\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{9}$

C. $cot\alpha=\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: B

$cos2\alpha=2cos^{2}\alpha -1 = (\frac{1}{3})^{2}-1=\frac{-7}{9}$

Bài 5: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ?

A. y = tanx ‒ 2cotx.

B. $y=sin\frac{5\pi -x}{2}$.

C. $3sin^{2}x + cos2x$.

D. $y=cot(2x+\frac{\pi}{5})$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

Ta có: f(x) = tanx – 2cotx

f(-x) = tan(-x) – 2cot(-x) = -tanx + 2cotx = -(tanx – 2cot2x) = -f(x)

Bài 6: Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên khoảng $(0;\frac{\pi}{2})$?

A. y =sinx.

B. y = ‒cotx.

C. y = tanx.

D. y = cosx.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

Bài 7: Cho $sin\alpha =-\frac{3}{5}$ và $cos\alpha=\frac{4}{5}$. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $sin(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{10}$.

B. $sin2\alpha=-\frac{12}{25}$.

C. $tan(2\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{31}{17}$.

D. $cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=\frac{3+4\sqrt{3}}{10}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

$sin(\alpha +\frac{\pi}{4})$

$=sin\alpha cos\frac{\pi}{4} + cos\alpha sin\frac{\pi}{4}$

$ =-\frac{3}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{4}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2}$

$=\frac{\sqrt{2}}{10}$

Bài 8: Cho $sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}$ và $cos\beta=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta)$ bằng

A. $\frac{7}{12}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{\sqrt{15}}{12}$

D. $\frac{7}{144}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: D

$sin(\alpha + \beta)sin(\alpha - \beta)$

$=\frac{1}{2}.(cos2\beta - cos2\alpha)$

$=\frac{1}{2}.(2cos^{2}\beta -1 – 1 + 2sin^{2}\alpha)$

$=\frac{1}{2}(2.\frac{1}{9} -2 + 2.\frac{15}{16})$

$=\frac{7}{144}$

Bài 9: Số nghiệm của phương trình $sin(2x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ trên đoạn $[0; 8\pi]$ là:

A. 14.

B. 15.

C. 16.

D. 17.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: C

$sin(2x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow sin(2x+\frac{\pi}{3})=sin\frac{\pi}{6}$

$\Leftrightarrow 2x+\frac{π}{3}=\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $2x+\frac{\pi}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=- \frac{\pi}{12}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k\in \mathbb{Z}$

Trường hợp 1: $x=-\frac{\pi}{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ và $x \in [0; 8\pi]$

Suy ra $0 \leq -\frac{\pi}{12}+k\pi \leq 8\pi$

$\Leftrightarrow \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{97}{12}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in  {1; 2; …; 8}$

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn $[0; 8\pi]$.

Trường hợp 2: $x=\frac{\pi}{4}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$ và $x \in [0; 8\pi]$

Suy ra $0 \leq \frac{\pi}{4}+k\pi \leq 8\pi$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{4} \leq k \leq \frac{31}{4}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in {0; 1; 2; …; 7}$

Do đó trong trường hợp này, phương trình có 8 nghiệm trên đoạn $[0; 8\pi]$.

Vậy số nghiệm của phương trình $sin(2x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}$ trên đoạn $[0; 8\pi]$ là: 8 + 8 =16 nghiệm.

Bài 10: Số nghiệm của phương trình $tan(\frac{\pi}{6}-x)=tan\frac{3\pi}{8}$ trên đoạn $[-6\pi; \pi]$ là:

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án đúng là: A

$tan(\frac{\pi}{6}-x)=tan\frac{3\pi}{8}$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{6}-x=\frac{3\pi}{8}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow x=-\frac{5\pi}{24}+k\pi, k \in \mathbb{Z}$

Do nghiệm của phương trình nằm trên đoạn $[-6\pi; \pi]$ nên ta có:

$-6\pi \leq -\frac{5\pi}{24}+k\pi \leq \pi$

$\Leftrightarrow -\frac{139}{24} \leq k \leq \frac{29}{24}$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in {-5; -4; -3; -2; -1; 0; 1}$

Vậy phương trình $tan(\frac{\pi}{6}-x)=tan\frac{3\pi}{8}$ có 7 nghiệm trên đoạn $[-6\pi; \pi]$.

TỰ LUẬN

Bài 1: Cho $sin\alpha=\frac{3}{4}$ với $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $sin2\alpha$;

b) $cos(\alpha+\frac{\pi}{3})$;

c) $tan(2\alpha -\frac{\pi}{4})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$ nên $cos\alpha=-\sqrt{1-sin^{2}\alpha}=-\sqrt{1-(\frac{3}{4})^{2}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$

Ta có: $sin2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$

$=2.\frac{3}{4}.(-\frac{\sqrt{7}}{4})=-\frac{3\sqrt{7}}{8}$

b) $cos(\alpha+\frac{\pi}{3})=cos\alpha cos\frac{\pi}{3}-sin\alpha sin\frac{\pi}{3}$

$=\frac{-\sqrt{7}}{4}.\frac{1}{2}-\frac{3}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{-\sqrt{7}-3\sqrt{3}}{8}$

c) $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{7}}$

$tan(2\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{tan2\alpha-tan\frac{\pi}{4}}{1+tan2\alpha tan\frac{\pi}{4}}$

Mà $tan2\alpha=\frac{2tan\alpha}{1-tan^{2}\alpha}=\frac{2\frac{sin\alpha}{cos\alpha}}{1-(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^{2}}=\frac{2.\frac{-3}{\sqrt{7}}}{1-(\frac{-3}{\sqrt{7}})^{2}}=3\sqrt{7}$

Nên $tan(2\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{tan2\alpha -tan\frac{\pi}{4}}{1+tan2\alpha tan\frac{\pi}{4}}=\frac{3\sqrt{7}-1}{1+3\sqrt{7}.1}=\frac{3\sqrt{7}-1}{3\sqrt{7}+1}$

Bài 2: Chứng minh rằng các hàm số dưới đây là hàm số tuần hoàn và xét tính chẵn, lẻ của mỗi hàm số đó.

a) $y=3sinx+2tan\frac{x}{3}$;

b) $y=cosxsin\frac{\pi -x}{2}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của hàm số $y=3sinx+2tan\frac{x}{3}$ là D=$\mathbb{R}$∖{$\frac{3\pi}{2}+k3\pi | k\in \mathbb{Z}$}

Vì $x \pm 6\pi \in$ D với mọi $x \in D$ và $3sin(x+6\pi)+2tan\frac{x+6\pi}{3}=3sinx+2tan(\frac{x}{3}+2\pi)=3sinx+2tan\frac{x}{3}$ nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì ‒x $\in$ D với mọi x $\in$ D và $3sin(-x)+2tan(-\frac{x}{3})=-3sinx-2tan\frac{x}{3}=-(3sinx+2tan\frac{x}{3})$

Nên hàm số $y=3sinx+2tan\frac{x}{3}$ là hàm số lẻ.

b) Hàm số $y=cosxsin\frac{\pi-x}{2}$ có tập xác định là .

Vì $x \pm 4\pi \in \mathbb{R}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $cos(x+4\pi)sin\frac{\pi - (x+4\pi)}{2}==cosx sin(\frac{\pi -x}{2}-2\pi)=cosx sin\frac{\pi-x}{2}$

nên hàm số là hàm số tuần hoàn.

Vì $-x \in \mathbb{R}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ và $cos(-x)sin\frac{\pi+x}{2}=cosxsin(\pi - \frac{\pi-x}{2})=cosxsin\frac{\pi-x}{2}$

Nên hàm số $y=cosxsin\frac{\pi-x}{2}$ là hàm số chẵn.

Bài 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $sin^{2}(x+\frac{\pi}{8})-sin^{2}(x-\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x$;

b) $sin^{2}y + 2cosxcosycos(x - y) = cos^{2}x + cos^{2}(x - y)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin^{2}(x+\frac{\pi}{8})-sin^{2}(x-\frac{\pi}{8})$

$=(sin(x+\frac{\pi}{8})+sin(x-\frac{\pi}{8}))(sin(x+\frac{\pi}{8})-sin(x-\frac{\pi}{8}))$

$=(2sinxcos\frac{\pi}{8})(2cosxsin\frac{\pi}{8})$

$=(2sinxcosx)(2cos\frac{\pi}{8}sin\frac{\pi}{8})$

$=sin2xsin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x$

b) $sin^{2}y + 2cosxcosycos(x -y) = cos^{2}x + cos^{2}(x - y)$.

$=2cosxcosycos(x - y) - cos^{2}(x - y) = cos^{2}x -sin^{2}y$

$=cos(x-y)(2cosxcosy-cos(x-y))$

$=cos(x-y)cosxcosy-sinxsiny$

$=cos(x-y)cos(x+y)=\frac{1}{2}(cos2y+cos2x)$

$=\frac{1}{2}(1-2sin^{2}y+2cos^{2}x-1)=cos^{2}x-sin^{2}y$

Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cos(2x-\frac{\pi}{3})+sinx=0$;

b) $cos^{2}(x+\frac{\pi}{4})=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$;

c) $cos(3x+\frac{\pi}{6})+2sin^{2}x=1$

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos(2x-\frac{\pi}{3})+sinx=0$

$ \Leftrightarrow cos(2x-\frac{\pi}{3})=-sinx$

$ \Leftrightarrow cos(2x-\frac{\pi}{3})=-cos(\frac{\pi}{2}-x)$

$ \Leftrightarrow cos(2x-\frac{\pi}{3})=cos(\frac{\pi}{2}+x)$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+x+k2\pi\\ 2x-\frac{\pi}{3}=\frac{-\pi}{2}-x+k2\pi\end{matrix}\right.$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{5\pi}{6}+k\frac2\pi\\ 3x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{5\pi}{6}+k\frac2\pi\\ x=-\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=\frac{5\pi}{6}+k\frac2\pi$; $x=-\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$.

b) $cos^{2}(x+\frac{\pi}{4})=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\Leftrightarrow \frac{1+cos(2x+\frac{\pi}{2})}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{4}$

$\Leftrightarrow 1+cos(2x+\frac{\pi}{2})=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ 2x+\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\\ x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi}{6}+k\pi$; $x=-\frac{\pi}{3}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$

c) $cos(3x+\frac{\pi}{6})+2sin^{2}x=1$

$\Leftrightarrow cos(3x+\frac{\pi}{6})+1-cos2x=1$

$\Leftrightarrow cos(3x+\frac{\pi}{6})-cos2x=0$

$\Leftrightarrow cos(3x+\frac{\pi}{6})=cos2x$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x+\frac{\pi}{6}=-2x+k2\pi\\ 3x+\frac{\pi}{6}=-2x+k2\pi\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ 5x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ x=-\frac{\pi}{30}+k\frac{2\pi}{5}\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x=-\frac{\pi}{6}+k2\pi$; $x=-\frac{\pi}{30}+k\frac{2\pi}{5} (k \in \mathbb{Z})$

Bài 5: Vận tốc $v_{1}$ (cm/s) của con lắc đơn thứ nhất và vận tốc $v_{2}$ (cm/s) của con lắc đơn thứ hai theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức:

$v_{1}(t)=-4cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})$ và $v_{2}(t)=2sin(2t+\frac{\pi}{6})$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s;

b) Vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2.

Hướng dẫn trả lời:

a) Thời điểm t mà tại đó vận tốc của con lắc đơn thứ nhất bằng 2 cm/s là nghiệm của phương trình:

$-4cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})=2$

$\Leftrightarrow cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})=\frac{cos2\pi}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k\in \mathbb{Z}$ hoặc $\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4}=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi, k \in \mathbb{Z}$

$\Leftrightarrow t=\frac{13\pi}{8}+k3\pi, k \in \mathbb{Z}$ hoặc $t=\frac{5\pi}{8}+k3\pi, k\in \mathbb{Z}$

b) Thời điểm t mà tại vận tốc của con lắc đơn thứ nhất gấp 2 lần vận tốc của con lắc đơn thứ 2 là nghiệm của phương trình:

$-4cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})=2.2sin(2t+\frac{\pi}{6})$

$\Leftrightarrow -cos(\frac{2t}{3}+\frac{\pi}{4})=sin(2t+\frac{\pi}{6})$

$\Leftrightarrow t=\frac{19\pi}{16}+k\frac{3\pi}{2},k \in \mathbb{Z}$ và $t=\frac{13\pi}{32}+k\frac{3\pi}{4}, k \in \mathbb{Z}$