a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)$
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB: $\overrightarrow{n_{AB}}=(1;-1)$
Phương trình đường thẳng AB là: x + 3 – (y + 1) = 0 ⇔ x – y + 2 = 0.
Đường thẳng AC có vectơ chỉ phương là:$\overrightarrow{AC}=(6;-3)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{AC}}$ = (1; 2). Suy ra phương trình đường thẳng AC là: 1(x + 3) + 2(y + 1) = 0 ⇔ x + 2y + 5 = 0 .
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{BC}=(0;-9)$ , khi đó vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{n_{BC}}$ = (1; 0). Suy ra phương trình đường thẳng BC là: 1(x – 3) + 0(y – 5) = 0 ⇔ x – 3 = 0.
b) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ là:
$xG=\frac{xA+xB+xC}{3}=\frac{-3+3+3}{3}=1$
$yG=\frac{yA+yB+yC}{3}=\frac{-1+5+(-4)}{3}=0$
Suy ra G(1; 0).
AH vuông góc với BC nên đường thẳng AH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;−9)$
Phương trình đường thẳng AH đi qua A(-3; -1): $0\times (x + 3) – 9(y +1) = 0 ⇔ y + 1 = 0.$
CH vuông góc với AB nên đường thẳng CH có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{AB}=(6;6)= 6(1; 1).$
Phương trình đường thẳng CH đi qua C(3; -4): $1\times (x - 3) + 1\times (y + 4) = 0 ⇔ x + y + 1 = 0.$
H là giao của AH và CH nên là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}y+1=0\\ x+y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\ y=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow H(0;-1)$
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC; d1, d2 lần lượt là trung trực của AB, BC
Suy ra M(0; 2) và N (3;$\frac{1}{2}$)
Đường thẳng d1 vuông góc với AB nên có vectơ pháp tuyến là:$\overrightarrow{AB}=(6;6)= 6(1; 1).$
Phương trình đường thẳng d1 đi qua M(0; 2) là: $1\times (x – 0) + 1\times (y – 2) = 0 $hay x + y – 2 = 0.
Đường thẳng d2 vuông góc với BC nên có vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{BC}=(0;−9).$
Phương trình đường thẳng d1 đi qua N(3;$\frac{1}{2}$) là: $0(x – 0) – 9(y – \frac{1}{2}) = 0 ⇔ y – \frac{1}{2} = 0.$
Giao điểm của d1 và d2 là tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên tọa độ I là nghiệm của hệ: $\left\{\begin{matrix}x+y-2=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{3}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$
Do đó $I(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$
c) Diện tích tam giác ABC:
$S=\frac{1}{2}\times d(A,BC)\times BC=\frac{1}{2}\times \frac{|-3-3|}{\sqrt{1^{2}}}\times \sqrt{0^{2}+(-9)^{2}}=27$
Vậy diện tích của tam giác ABC là 27