Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1.1. Hoàn thành bảng sau:

Hướng dẫn trả lời:

1.2. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:

a) $\frac{\pi}{6}$

b) $\frac{-5\pi}{7}$

c) $270^{o}$

d) $-415^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) 

b) 

c) 

d) 

1.3. Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:

a) $\frac{2\pi}{7}$

b) $36^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $l=20.\frac{2\pi}{7}=\frac{40\pi}{7}$ (m)

b) $l = 20.\frac{\pi.36}{180} =4\pi$ (m)

1.4. Cho $cosx = -\frac{5}{13}$ ($90^{o}<x<180^{o}$). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $sin^{2}x+cox^{2}x=1$

Nên $sin^{2}x=1-cos^{2}x=1-(-\frac{5}{13})^{2}=\frac{144}{169}$

Mà $90^{o}<x<180^{o}$ nên sinx > 0

Do đó, $sinx=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$

Suy ra, $tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=\frac{-12}{5}$

$cotx = \frac{1}{tanx}=\frac{-5}{12}$

1.5. Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.

a) sin a cos a;

b) $sin^{3}a + cos^{3}a$

c) $sin^{4}a + cos^{4}a$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sina+cosa = m$ nên $(sina+cosa)^{2}=m^{2}$

$sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa = m^{2}$ hay $1+2 sinacosa=m^{2}$

Suy ra $sinacosa=\frac{m^{2}-1}{2}$

b) $sin^{3}a+cos^{3}a=(sina+cosa)^{3}-3sinacosa(sina+cosa)$

$=m^{3}-3m.\frac{m^{2}-1}{2}=\frac{3m-m^{3}}{2}$

c) $sin^{4}a+cos^{4}a=(sin^{2}a+cos^{2}a)^{2}-2sin^{2}acos^{2}$

$=1-2(sinacosa)^{2}=1-2.(\frac{m^{2}-1}{2})^{2}=1-\frac{(m^{2}-1)^{2}}{2}$

1.6. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $ cos^{4}x - sin^{4}x = 2 cos^{2}x -1$

b) $tan^{2}x -sin^{2}x = tan^{2}x .sin^{2}x$

c) $(sin x + cos x)^{2} + (sin x -cos x)^{2} = 2$.   

Hướng dẫn trả lời:

a) $cos^{4}x -sin^{4}x $

$= (cos^{2} x- sin^{2}x)(cos^{2}x + sin^{2}x) $

$= cos^{2}x -sin^{2}x $

$= cos^{2}x -(1 -cos^{2}x) = 2 cos^{2}x - 1$ 

b) $tan^{2}x-sin^{2}x$

$=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}-sin^{2}x$

$=\frac{sin^{2}x-sin^{2}xcos^{2}x}{cos^{2}x}$

$=\frac{sin^{2}x(1-cos^{2}x)}{cos^{2}x}$

$=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}.sin^{2}x$

$=tan^{2}xsin^{2}x$

c) $(sinx+cosx)^{2}+(sinx-cosx)^{2}$

$=sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x+sin^{2}x-2sinxcosx+cos^{2}x$

$=2sin^{2}x+2cos^{2}x$

$=2.(sin^{2}x+cos^{2}x)$

$=2.1=2$

1.7. Rút gọn biểu thức

$A = 2cos^{4}x -sin^{4} x + sin^{2}x cos^{2} x + 3 sin^{2} x$.

Hướng dẫn trả lời:

$A = 2cos^{4} x -sin^{4}x + sin^{2}x cos^{2}x + 3 sin^{2}x$

$= cos^{4} x -sin^{4} x + cos^{4} x + sin^{2} x cos^{2} x + 3 sin^{2} x$

$= (cos^{2} x -sin^{2} x)(cos^{2} x + sin^{2}x) + cos^{2}x (cos^{2}x + sin^{2}x) + 3sin^{2} x$

$= cos^{2} x- sin^{2}x + cos^{2}x + 3 sin^{2}x$

$= 2cos^{2} x + 2 sin^{2} x$

$= 2(cos^{2}x + sin^{2} x)$

$= 2 . 1 = 2$

1.8. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.

a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.

b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong 1 giây, bánh xe quay được $\frac{12}{6}=2$ vòng, tức là quay được một góc $4\pi$ (rad) hay $720^{o}$

b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).

Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:

$l = 430 . 4\pi . 60 = 103 200\pi$ (mm).

1.9. Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

Hướng dẫn trả lời:

Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác $2\pi$; kim giờ quét được một góc $\frac{\pi}{6}$

Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là $2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là $\frac{2\pi}{3}$ .

Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là

$(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}):\frac{11\pi}{6}=\frac{1}{11}$ (giờ).

Vậy sau $\frac{1}{11}$ (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.

Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là

$l=6.\frac{1}{11}.\frac{\pi}{6}+11.\frac{1}{11}.2\pi=\frac{23\pi}{11}$  (cm).