Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài: Ôn tập cuối chương V

5.26. Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ thoả mãn $\lim_{n\to +\infty}u_{n}=1$ và $\lim_{n \to +\infty}u_{n}=n \in \mathbb{R}$. Xét các khẳng định sau:

(1) $\lim_{n \to +\infty}(u_{n}+v_{n})=1+b$

(2) $\lim_{n \to +\infty}\frac{v_{n}}{u_{n}}=b$

(3) $\lim_{n \to +\infty}(u_{n}+v_{n})=b$

(4) $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{1}{b}$

Số khẳng định đúng là: 

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Ta có:

$\lim_{n \to +\infty}(u_{n}+v_{n})=a+b$

$\lim_{n \to +\infty}\frac{u_{n}}{v_{n}}=\frac{a}{b}$ với $b\neq 0$

5.27. Cho $L=\lim_{n \to +\infty}(n^{3}-2n^{2}+1)$. Giá trị của L là:

A. L = 0

B. $L=-\infty$

C. $L=+\infty$

D. L = 1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

$L=\lim_{n \to +\infty}(n^{3}-2n^{2}+1)=\lim_{n \to +\infty}n^{3}(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^{3}})=+\infty$

5.28. Biết $\lim_{n \to +\infty}\frac{2n^{2}+n-1}{an^{2}+1}=1$ với a là tham số. Giá trị của $a^{2}-2a$ là

A.−1

B. 0

C. 2

D. Không xác định.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

$\lim_{n \to +\infty}\frac{2n^{2}+n-1}{an^{2}+1}=\lim_{n \to +\infty}\frac{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^{2}}}{a+\frac{1}{n^{2}}}=\frac{2}{a}$

Suy ra $\frac{2}{a}=1$

Do đó a = 2 và $a^{2}-2a=2^{2}-2.2=0$

5.29. Cho $u_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n-1})$. Khi đó $\lim_{n\to +\infty}u_{n}$ bằng

A. $+\infty$

B. 0

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

$\lim_{n\to +\infty}u_{n}=\lim_{n\to +\infty}\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1})}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}(n+2-n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$=\lim_{n \to +\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}}$

$=\frac{1}{2}$

5.30. Tính tổng $S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+...+(-1)^{n}.\frac{2}{3^{n}}$+...

A. $S=\frac{1}{2}$

B. $S=-\frac{1}{2}$

C. $S=-3$

D. $S=3$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Tổng S là cấp số nhân với $u_{1}=\frac{-2}{3}$ và $q=-\frac{1}{3}$

$S=\frac{\frac{-2}{3}}{1-(-\frac{1}{3})}=-\frac{1}{2}$

5.31. Cho hàm số f(x) thoả mãn $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=3$ và $\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=-3$. Khẳng định đúng là:

A. $\lim_{x \to 1}f(x)=3$

B. $\lim_{x \to 1}f(x)=0$

C. Không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

D. $\lim_{x \to 1}f(x)=-3$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Do $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=3$ và $\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=-3$ nên $\lim_{x \to 1^{+}} \neq \lim_{x \to 1^{-}}$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 1}f(x)$

5.32. Cho hàm số f(x) thoả mãn $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=2$ và $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=m+1$. Biết giới hạn của f(x) khi $x \to 1$ tồn tại. Giá trị của m là:

A. m = 1

B. m = 2

C. m = 3

D. Không tồn tại m

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Giới hạn của f(x) khi $x\to 1$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}f(x)$

Nên 2 = m + 1. Suy ra m = 1

5.33. Biết hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+a; x \leq 1\\ 2x+b;x>1\end{matrix}\right.$ có giới hạn khi $x \to 1$. Giá trị của a – b bằng

A. -1

B. 0

C. 1

D. 3

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Giới hạn của f(x) khi $x\to 1$ tồn tại khi và chỉ khi $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)$

Nên $\lim_{x \to 1^{+}}(x^{2}+a)=\lim_{x\to 1^{-}}(2x+b)$

Suy ra 1 + a = 2.1 + b

Hay a – b = 1

5.34. Giới hạn $\lim_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}$ là

A. $+\infty$

B. Không tồn tại

C. 2

D. 0 

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

$\lim_{x \to 1^{+}}\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=\lim_{x\to 1^{+}}\sqrt{x-1}=\sqrt{x-1}=0$

5.35. Cho $f(x)=\frac{x^{2}-x}{|x|}$. Khi đó, giới hạn $\lim_{x\to 0}f(x)$ là:

A. 2

B. -1

C. 1

D. Không tồn tại

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{x^{2}-x}{-x}=\lim_{x\to 0^{-}}(-x-1)=0+1=1$

$\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{2}-x}{x}=\lim_{x\to 0^{+}}(x-1)=0-1=-1$

Vì $\lim_{x\to 0^{-}} \neq \lim_{x \to 0^{+}}$ nên không tồn tại $\lim_{x\to 0}f(x)$

5.36. Giới hạn $\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}-x}{x}$ là:

A. $+\infty$

B. 0 

C. -2

D. Không tồn tại

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

$\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}-x}{x}$

$=\lim_{x\to -\infty}\frac{|x|\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}-x}{x}$

$=\lim_{x\to -\infty}\frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}-x}{x}$

$=\lim_{x\to -\infty}(-\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}-1)=-2$

5.36. Cho hàm số f(x) = 2 khi $-1< \leq 1$; f(x) = 1 – x khi $x\leq -1$ hay x > 1. Mệnh đề đúng là:

A. Hàm số f(x) liên tục trên [-1 ; 1]

B. Hàm số f(x) liên tục trên (-1; 1]

C. Hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1)

D. Hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Vì f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng $(-\infty;-1)$; $(-1;1)$ và $(1;+\infty)$

Xét tại điểm x = 1, f(1) = 2, $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(1-x)=1-1=0 \neq f(1)$

Vậy hàm số f(x) không liên tục tại điểm x = 1

Xét tại điểm x = -1, f(-1) = 2, $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\lim_{x\to 1^{-}}(1-x)=1-(-1)=2 = f(-1)$

Vậy hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -1

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1)

5.38. Xét hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}; x\neq -1\\m; x = 1\end{matrix}\right.$ với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ khi

A. m = 0

B. m = 3

C. m = -1

D. m = 1

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Ta có $\lim_{x\to -1}f(x)=\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+3x+2}{x+1}=\lim_{x\to -1}(x+2)=-1+2=1$

Hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ khi nó liên tục tại -1

Hay $\lim_{x\to -1}f(x)=f(-1)$ 

Suy ra m = 1

5.39. Cho hàm số $f(x)=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-1}}$. Hàm số này liên tục trên:

A. $(1;+\infty)$

B. $(-\infty;1)$

C. $[1;+\infty)$

D. $(-\infty;1]$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

$f(x)=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-1}}$ có tập xác định là $(1;+\infty)$

Vậy f(x) liên tục trên $(1;+\infty)$

5.40. Cho phương trình $x^{7}+x^{5}=1$. Mệnh đề đúng là

A. Phương trình có nghiệm âm                            

B. Phương trình có nghiệm trong khoảng (0;1)                          

C. Phương trình có nghiệm trong khoảng (1;2)        

D. Phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm $c \in [a;b]$ sao cho f(c) = 0

TỰ LUẬN

5.41. Cho dãy số $(u_{n})$ thoả mãn $|u_{n}| \leq 1$ Tính $\lim_{n \to +\infty}\frac{u_{n}}{n+1}$

Hướng dẫn trả lời:

Đặt $v_{n}=\frac{u_{n}}{n+1}$

Ta có: $|v_{n}|=\frac{1}{n+1} = \frac{1}{n+1}$

Vậy $\lim_{n\to +\infty}v_{n}=0$

5.42. Tính giới hạn của dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{n\sqrt{1+2+...+n}}{2n^{2}+3}$

Hướng dẫn trả lời:

$u_{n}=\frac{n\sqrt{1+2+...+n}}{2n^{2}+3}=\frac{n\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2} (2n^{2}+3)}$

$\lim_{n \to +\infty}u_{n}=\lim_{n \to +\infty}\frac{n\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2} (2n^{2}+3)}=\lim_{n\to +\infty}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2}(2+\frac{3}{n^{2}})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

5.43. Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) −0,(31)

b) 2,(121)

Hướng dẫn trả lời:

a) $-0,(31)=-[\frac{31}{100}+\frac{31}{100^{2}}+...+\frac{31}{100^{n}}+...]=-\frac{31}{99}$

b) $2,(121) =2+\frac{121}{1000}+\frac{121}{1000^{2}}+...+\frac{121}{1000^{n}}+...=2\frac{121}{999}=\frac{2119}{999}$

5.44. Cho hình vuông $H_{1}$ có cạnh bằng a. Chia mỗi cạnh của hình vuông này thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $H_{2}$ Lặp lại cách làm như trên với hình vuông $H_{2}$ để được hình vuông $H_{3}$

Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông $H_{1},H_{2},H_{3},...,H_{n},...$. Gọi $s_{n}$ là diện tích của hình vuông $H_{n}$

Hướng dẫn trả lời:

Cạnh của hình vuông $H_{2}$ là $a_{2}=\sqrt{(\frac{a}{4})^{2}+(\frac{3a}{4})^{2}}=\sqrt{\frac{5}{8}}a$

Khi đó $s_{2}=\frac{5}{8}a^{2}=\frac{5}{8}s_{1}$

Tương tự ta có: $s_{3}=\frac{5}{8}s_{2},...,s_{n}=\frac{5}{8}s_{n-1}$

Ta có: $T=a^{2}[1+\frac{5}{8}+(\frac{5}{8})^{2}+...+(\frac{5}{8})^{n-1}+...]=\frac{8}{3}a^{2}$

5.45. Tìm a là số thực thoả mãn $\lim_{x\to +\infty}(\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+2x+3}+a^{2}+3x)=0$

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\to +\infty}(\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+2x+3}+a^{2}+3x)=\lim_{x\to +\infty}(\frac{2+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}+a^{2}+3a)=2+a^{2}+3a=0$

Do đó a = -1 hoặc a = -2

5.46. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x\to -\infty}\frac{x(x+1)(2x-1)}{5x^{3}+x+7}$

b) $\lim_{x\to -\infty}(x^{3}-1)(2-x^{5})$

c) $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+1}-x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\to -\infty}\frac{x(x+1)(2x-1)}{5x^{3}+x+7}=\lim_{x\to -\infty}\frac{(1+\frac{1}{x})(2-\frac{1}{x})}{5+\frac{1}{x^{2}}+\frac{7}{x^{3}}}=\frac{2}{5}$

b) $\lim_{x\to -\infty}(x^{3}-1)(2-x^{5})=\lim_{x\to -\infty}x^{8}(1-\frac{1}{x^{3}})(\frac{2}{x^{5}}-1)=-\infty$

c) $\lim_{x\to +\infty}(\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+1}-x)=\lim_{x\to +\infty}=\frac{x^{2}+1}{\sqrt[3]{(x^{3}+x^{2}+1)^{2}+x\sqrt[3]{x^{3}+x^{2}+1}+x^{2}}}=\frac{1}{3}$

5.47. Tính $\lim_{x\to -\infty}(1-x)(1-2x)...(1-2018x)$

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\to -\infty}(1-x)(1-2x)...(1-2018x)=\lim_{x\to -\infty}x^{2018}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x}-2)...(\frac{1}{x}-2018)=+\infty$

5.48. Biết $\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x}=1$. Hãy tính:

a) $\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x^{3}}$

b) $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{sinx}{x^{2}}$

c) $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{sinx}{x^{2}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đặt $f(x)=\frac{sinx}{x}$. Khi đó:

a) $\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x^{3}}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^{2}}=+\infty$

b) $\lim_{x\to 0^{+}}\frac{sinx}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{f(x)}{x}=+\infty$

c) $\lim_{x\to 0^{-}}\frac{sinx}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{f(x)}{x}=-\infty$

5.49. Tính $\lim_{x\to 0}sin\frac{1}{x}$

Hướng dẫn trả lời:

Đặt $f(x)=xsin\frac{1}{x}$

Lấy dãy số $(x_{n})$ bất kì thoả mãn $x_{n} \to 0$

Khi đó, $|f(x_{n})|=|x_{n}|.|sin\frac{1}{x_{n}}| \leq |x_{n}| \to 0$

Vậy $\lim_{x\to 0}f(x_{n})=0$

5.50. Cho hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0. 

Hướng dẫn trả lời:

Hàm số xác định khi x = 1.

Do đó, x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số nên hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ không liên tục tại x = 0. Vậy không có giá trị của f(0).

5.51. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}; (x\neq 0)\\2 ;(x=0) \end{matrix}\right.$

a) Chứng minh rằng f(−1).f(1) < 0

b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (−1;1).

c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [−1;1].

Hướng dẫn trả lời:

a) $f(-1).f(1)=\frac{1}{-1}.\frac{1}{1}=-1 <0$

b) Ta thấy f(0) = 2 và $f(x)=\frac{1}{x} \neq 0 \forall x \in (-1;1)$ nên phương trình không có nghiệm thuộc khoảng này.

c) Ta thấy $\lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$ và $\lim_{x\to 0^{-}}f(x)=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$  nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 0.

5.52. Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo.

a) Viết hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.

b) Xét tính liên tục của hàm số này.

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.

$f(x)=\left\{\begin{matrix}30; (0 < x \leq 1)\\10+2x ;x>1\end{matrix}\right.$

b) Hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0;1) và $(1;+\infty)$. (Hàm đa thức)

Xét tại điểm x = 1, ta có f(1) = 30, $\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=30$ và $\lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\lim_{x\to 1^{+}}(10+20x)=10+20.1=30$

Suy ra $f(1)=\lim_{x\to 1}f(x)=30$. Nên hàm số liên tục tại 1.

Vậy hàm số liên tục trên khoảng $(0;\infty)$