Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 11: Hai đường thẳng song song

4.13. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC, CD. Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP) trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng NP song song với đường thẳng BD

b) Đường thẳng NP cắt đường thẳng BD

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABD) vẽ đường thẳng MQ // BD ($Q \in AD$) thì Q là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP)

b) Trong mặt phẳng (BCD) gọi R là giao điểm của NP và BD. 

Trong mặt phẳng (ABD) gọi S là giao điểm của MR và AD

Khi đó R là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP)

4.14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm bất kì thuộc cạnh SC

a) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAB) với các mặt của hình chóp

b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (MAD) với các mặt của hình chóp

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SCD) vẽ MN // CD ($N \in SD$).

Giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và các mặt của hình chóp là các đường thẳng AB, BM, NA

b) Trong mặt phẳng (SBC) vẽ MP // AD ($P \in SB$).

Giao tuyến của mặt phẳng (MAD) và các mặt của hình chóp là các đường thẳng AP, MP, MD

4.15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SD.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB)

b) Chứng minh rằng d // AB

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SAD) gọi P là giao điểm của AN và DM

Trong mặt phẳng (NAB) vẽ đường thẳng d đi qua P và song song với AB

Ta có d là giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB)

b) Theo cách dựng thì d // AB

4.16. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD)

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD)

d) Chứng minh rằng các giao tuyến tìm được ở trên đôi một song song với nhau

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABC) gọi E là giao điểm của AN và CM

Trong mặt phẳng (ACD) gọi F là giao điểm của AP và CQ

Đường thẳng EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (CMQ)

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABD và CBD 

Suy ra MQ // BD // NP. Do đó, EF // MQ // NP // BD

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (ANP) và (ABD) là đường thẳng qua A và song song với BD

c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (CMQ) và (BCD) là đường thẳng qua C và song song với BD

d) Các giao tuyến đều song song với BD nên chúng song song với nhau

4.17. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi G, H lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai hình bình hành đó. Chứng minh rằng ba đường thẳng GH, CE , DF đôi một song song

Hướng dẫn trả lời:

Vì Gh là đường trung bình của hai tam giác ACE và BDF nên GH // CE và GH // DF

4.18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng EF // MN từ đó suy ra EF // AB

b) Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (AEF) với các mặt của hình chóp

c) Trong các giao tuyến tìm được ở câu b, giao tuyến nào song song với đường thẳng EF?

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC nên $\frac{SE}{SM}=\frac{SF}{SN}=\frac{2}{3}$

Theo định lý Thalès, tam giác SMN có EF // MN

Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN // AB

Suy ra EF // AB

b) Trong mặt phẳng (SAD), gọi P là giao điểm của AE và SD

Trong mặt phẳng (SBC), gọi Q là giao điểm của BF và SC

Các giao tuyến của mặt phẳng (AEF) và các mặt của hình chóp là các đường thẳng AP, PQ, QB, AB

c) Hai mặt phẳng (AEF) và (SCD) chứa hai đường thẳng song song là EF và CD (cùng song song với AB) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó song song với EF

Hay PQ // EF

Vậy có hai giao tuyến song song với EF là AB và PQ 

4.19. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt bốn cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt tại các điểm M, N, P, Q

a) Chứng minh rằng các đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy

b) Chứng minh rằng các đường thẳng MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy

Hướng dẫn trả lời:

a) MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (MNPQ)

PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNPQ)

AC là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ACD)

Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến của ba mặt phẳng (ABC), (ACD) và (MNPQ) ta có MN, PQ, AC đôi một song song hoặc đồng quy

b) MQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (MNPQ)

NP là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNPQ)

BD là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD)

Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến của ba mặt phẳng (ABD), (BCD) và (MNPQ) ta có MQ, NP, BD đôi một song song hoặc đồng quy

4.20. Một chiếc thang được đặt sao cho hai đầu của chân thang dựa vào tường, hai đầu còn lại nằm trên sàn nhà (H. 4. 12). Biết rằng chiếc thang có dạng hình chữ nhật, hãy giải thích vì sao hai đầu của chân thang nằm trên sàn nhà lại cách đều đường chân tường?

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí về ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng: mặt sàn nhà, mặt chân tường và mặt phẳng tạo bởi bốn đầu của chân thang. 

Suy ra đường thẳng đi qua hai đầu của chân thang nên sàn nhà song song với đường chân tường

4.21. Bạn Hà lấy một tờ giấy hình chữ nhật và gấp tờ giấy sao cho hai mép của tờ giấy song song với nhau (H.4.13). Hà thấy rằng dù gấp thế nào thì đường nếp gấp vẫn luôn song song với hai mép của tờ giấy. Hãy giải thích vì sao

Hướng dẫn trả lời:

Hai nửa của tờ giấy có thể coi như hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song là hai mép giấy.

Đường nếp gấp chính là giao tuyến của hai mặt phẳng này nên nó song song với hai mép giấy