Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài: Ôn tập cuối chương I

1.31. Đổi số đo góc $\alpha =105^{o}$ sang radian ta được:

A. $\alpha =\frac{5\pi}{8}$

B. $\alpha =\frac{\pi}{8}$

C. $\alpha = \frac{7\pi}{12}$

D. $\alpha =\frac{9\pi}{12}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

1.32. Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo $\alpha$ mà $\widehat{uOv}$ là góc tù. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Có số nguyên k để $\frac{\pi}{2}+k2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + k2\pi$

B. $-\pi \leq \alpha < -\frac{\pi}{2}$

C. $-\frac{\pi}{2} <\alpha \leq \frac{3\pi}{2}$

D. $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Vì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov nên ta loại trừ đáp án B, C, D (do chưa thể xác định được khoảng cụ thể của góc $\alpha$

Mà $\widehat{uOv}$ là góc tù nên $\frac{\pi}{2} <\widehat{uOv} <\frac{3\pi}{2}$

Vậy tồn tại số nguyên k để $\frac{\pi}{2} +k2\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + k2\pi$

1.33. Giá trị $cot\frac{89\pi}{6}$ bằng

A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

B. $\sqrt{3}$

C. $-\sqrt{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

1.34. Cho $\frac{\pi}{2}<\alpha < \pi$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $sin\alpha < 0; cos \alpha > 0$

B. $sin\alpha > 0; cos \alpha > 0$

C. $sin\alpha < 0; cos \alpha < 0$

D. $sin\alpha > 0; cos \alpha < 0$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

1.35. Trong các đẳng thức sau. đẳng thức nào sai?

A. $sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx$

B. $sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx$

C. $tan(\frac{\pi}{2}-x)=cotx$

D. $tan(\frac{\pi}{2}+x)=cotx$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

$tan(\frac{\pi}{2}+x)=cot[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}+x)]=cot(-x)=-cotx$ nên đáp án D sai

1.36. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A. $sin(180^{o}-a)=-cosa$

B. $sin(180^{o}-a)=-sina$

C. $sin(180^{o}-a)=sina$

D. $sin(180^{o}-a)=cosa$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

1.37. Biết $sinx=\frac{1}{2}$. Giá trị của $cos^{2}x$ bằng

A. $cos^{2}x=\frac{1}{2}$

B. $cos^{2}x=\frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $cos^{2}x=\frac{1}{4}$

D. $cos^{2}x=\frac{3}{4}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Ta có: $sin^{2}x+cos^{2}x = 1$ nên $cos^{2}x=1-sin^{2}x=1-(\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$

1.38. Biết $cotx=\frac{1}{2}$. Giá trị của biểu thức $\frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx}$ bằng:

A. $\frac{1}{17}$

B. $\frac{5}{9}$

C. 13

D. $\frac{2}{9}$

Hướng dẫn trả lời:

Vì $cotx=\frac{1}{2}$ nên $sinx \neq 0$, ta chia cả tử và mẫu của biểu thức $\frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx}$ cho sinx, ta được:

$\frac{4sinx+5cosx}{2sinx-3cosx}=\frac{4\frac{sinx}{sinx}+5\frac{cosx}{sinx}}{2\frac{sinx}{sinx}-3\frac{cosx}{sinx}}=\frac{4+5cotx}{2-3cotx}=\frac{4+5.\frac{1}{2}}{2-3.\frac{1}{2}}=13$

Đáp án: C

1.39. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. $cosu+cosv =2cos\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

B. $cosu-cosv =2sin\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}$

C. $sinu+sinv=2sin\frac{u+v}{2}cos\frac{u-v}{2}$

D. $sinu-sinv=2cos\frac{u+v}{2}sin\frac{u-v}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

1.40. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A. sin 2a = 2sin a cos a.

B. $cos 2a = cos^{2}a -sin^{2}a.$

C. $cos 2a = 1 – 2sin^{2}a$.

D. $tan2a=\frac{2tana}{1+tan^{2}a}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

1.41. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{1-cosx}$ là:

A. $\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2}+k2\pi | k\in \mathbb{Z}$}

B. $\mathbb{R}$\{$k\pi | k\in \mathbb{Z}$}

C. $\mathbb{R}$\{$k2\pi | k\in \mathbb{Z}$}

D. $\mathbb{R}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Hàm số $y=\sqrt{1-cosx}$ xác định khi $1-cosx \geq 0$ hay $cosx \leq 1$ (xảy ra với mọi $x \in \mathbb{R}$

1.42. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng $(-\pi;0)$ và đồng biến khoảng $(0;\pi)$

B. Hàm số y = cos x đồng biến trên các khoảng $(-\pi;0)$ và $(0;\pi)$

C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên các khoảng $(-\pi;0)$ và $(0;\pi)$

D. Hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng $(-\pi;0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0;\pi)$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

1.43.  Khẳng định nào sau đây sai?

A. Tập xác định của hàm số y = tan x là $D=\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2}+k\pi | k \in \mathbb{Z}$}

B. Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng $(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi)$ với mọi $k\in \mathbb{Z}$

C. Tập giá trị của hàm số y = tan x là $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$

D. Hàm số y = tan x là hàm số tuần hoàn với chu kì $\pi$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Tập giá trị của hàm số y = tan x là $(-\infty; +\infty)$

1.44. Hàm số nào dưới đây có đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. y = cos x.

B. $y = sin^{3} x$ .

C. y = sin x.

D. y = tan x.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

1.45. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì $2\pi$

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì $2\pi$

C. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì $2\pi$

D. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì $\pi$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

1.46. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số tuần hoàn.

B. Hàm số y = sin x cos 2x là hàm số lẻ.

C. Hàm số y = x sin x là hàm số tuần hoàn.

D. Hàm số y = x sin x là hàm số chẵn.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

1.47. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $ cosx=-1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

B. $sinx=0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

C. $tanx=0 \Leftrightarrow x = k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

D. $cosx=0 \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{2} +k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

1.48. Số nghiệm của phương trình $2cosx=\sqrt{3}$ trên đoạn $[0;\frac{5\pi}{2}]$ là:

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Dựa vào đồ thị ta có: đồ thị $y=\frac{\sqrt{3}}{2}$ cắt đồ thị $y =cosx$ tại 3 điểm nằm trong đoạn $[0;\frac{5\pi}{2}]$

1.49. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình 3cos x – 1 = 0 bằng

A. S = 2π.

B. S = 0.

C. S = 4π.

D. S = 3π.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Ta có $3cosx -1=0 \Leftrightarrow cosx = \frac{1}{3} \Leftrightarrow cosx \approx cos(0,392\pi)$

$\Leftrightarrow x \approx 0,392 \pi +k2\pi$ hoặc $x = -0,392\pi+k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$

Mà $x \in (0;2\pi)$ nên $x \approx 0,392\pi$ hoặc $x \approx -0,392\pi + 2\pi$

 Vậy tổng các nghiệm cần tìm là $S = 0,392\pi + (-0,392\pi + 2\pi) = 2\pi$

1.50. Giá trị của các hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi

A. $x = k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2}$. $( k \in \mathbb{Z})$

B. $x=k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})$

C. $x=k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

D. $x = k2\pi$ hoặc $x=\frac{\pi}{4}+k2\pi$ $( k \in \mathbb{Z})$

Hướng dẫn trả lời:

Giá trị của hai hàm số y = sin3x và y = sin x bằng nhau khi và chỉ khi sin 3x = sin x

$3x=x+k2\pi$ hoặc $3x=\pi -x +k2\pi ( k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\pi$ hoặc $x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})$

Đáp án: A

TỰ LUẬN

1.51. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau và tính các giá trị lượng giác của chúng.

a) $\frac{23\pi}{4}$

b) $\frac{31\pi}{6}$

c) $-1 380^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $\frac{23\pi}{4}=6\pi-\frac{\pi}{4}$. Góc $\frac{23\pi}{4}$ được biểu diễn bởi điểm $M(\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $sin\frac{23\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}; cos\frac{23\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ và $tan\frac{23\pi}{4}=cot\frac{23\pi}{4}=-1$

b) Ta có $\frac{31\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}+4\pi$. Góс $\frac{31\pi}{6}$ được biểu diễn bởi điểm $M(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $sin\frac{31\pi}{6}=-\frac{1}{2}; cos\frac{31\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2};tan\frac{31\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $cot\frac{31\pi}{6}=\sqrt{3}$

c) Ta có $-1380^{o}=-4.360^{o}+60^{o}$. Góc $-1380^{o}$ được biểu diễn bởi điểm $M(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ trên đường tròn lượng giác (hình dưới).

Vậy $sin(-1380^{o})=\frac{\sqrt{3}}{2};cos(-1380^{o})=\frac{1}{2}; tan(-1380^{o})=\sqrt{3}$ và $cot(-1380^{o})=\frac{1}{\sqrt{3}}$

1.52. Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự dài 1,75 m và 1,26 m. Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài bao nhiêu mét? Cũng câu hỏi đó cho mũi kim giờ.

Hướng dẫn trả lời:

+) Trong 15 phút thì mũi kim phút vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}$ độ dài đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{4}.2\pi.R=\frac{1}{4}.2\pi.1,75=\frac{7\pi}{8} \approx 2,75 (m)$

+) Trong 15 phút thì mũi kim giờ vạch nên một cung tròn có độ dài bằng $\frac{1}{4}.\frac{1}{12}=\frac{1}{48}$ đường tròn, do đó độ dài của cung này bằng

$\frac{1}{48}.2\pi.R’=\frac{1}{48}.2\pi.1,26=\frac{21\pi}{400} =\approx 0,16 (m)$

1.53. Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở $105^{o}$ kinh đông, nhưng Quản Bạ ở $23^{o}$ vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ $9^{o}$ bắc. Hãy tính độ dài cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi Trái Đất có bán kính 6 378 km.

Hướng dẫn trả lời:

Góc ở tâm chắn cung kinh tuyến nối huyện Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện Cái Nước tỉnh Cà Mau có số đo bằng $23^{o}-9^{o}=14^{o}$

Vậy độ dài cung kinh tuyến đó bằng $\frac{6378.14.\pi}{180} \approx 1558 (km)$

1.54. Cho $cos\alpha = \frac{3}{4}, sin\alpha > 0, sin\beta =\frac{3}{5}, \beta \in (\frac{9\pi}{2};5\pi)$. Hãy tính $cos2\alpha, sin2\alpha, cos2\beta, sin2\beta, cos(\alpha + \beta), sin(\alpha -\beta)$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có $cos2\alpha = 2cos^{2}\alpha-1=2.(\frac{3}{4})^{2}-1=\frac{1}{8}$.

Ta có $sin^{2}\alpha = 1-cos^{2}\alpha = 1-(\frac{3}{4})^{2}=\frac{7}{16}$

Lại do $sin\alpha > 0$ nên $sin\alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}$

Suy ra $sin2\alpha =2sin\alpha.cos\alpha = 2.\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{4}=\frac{3\sqrt{7}}{8}$

Ta có $cos2\beta = 1-2sin^{2}\beta = 1-2.(\frac{3}{5})^{2}=\frac{7}{25}$

Ta có $cos^{2}\beta = 1-sin^{2}\beta = 1-(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}$

Lại do $\beta \in (\frac{9\pi}{2};5\pi)$ nên $cos\beta < 0 $, do đó $cos\beta =-\frac{4}{5}$

Suy ra $sin2\beta =2sin\beta cos\beta = 2.\frac{3}{5}.(-\frac{4}{5})=-\frac{24}{25}$

Ta có 

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha .cos\beta -sin\alpha sin\beta =\frac{3}{4}.(-\frac{4}{5})-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-12-3\sqrt{7}}{20}$

$sin(\alpha - \beta)=sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta = \frac{\sqrt{7}}{4}(-\frac{4}{5}) -\frac{3}{4}.\frac{3}{5}=\frac{-9-4\sqrt{7}}{20}$

1.55. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{sin(45^{o}+\alpha)-cos(45^{o}+\alpha)}{ sin(45^{o}+\alpha)+cos(45^{o}+\alpha)}$

b) $\frac{sin2\alpha + sin\alpha}{1+cos2\alpha + cos\alpha}$

c)  $\frac{1+cos\alpha -sin\alpha}{1-cos\alpha-sin\alpha}$

d) $\frac{sin\alpha + sin3\alpha + sin5\alpha}{cos\alpha + cos3\alpha + cos5\alpha}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\frac{sin(45^{o}+\alpha)-cos(45^{o}+\alpha)}{ sin(45^{o}+\alpha)+cos(45^{o}+\alpha)}$

$=\frac{(sin45^{o}cos\alpha+cos45^{o}sin\alpha)-(cos45^{o}cos\alpha-sin45^{o}sin\alpha)}{(sin45^{o}cos\alpha+cos45^{o}sin\alpha)+(cos45^{o}cos\alpha -sin45^{o}sin\alpha)}$

$=\frac{(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha + \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)-(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)}{ (\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha+ \frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)+(\frac{\sqrt{2}}{2}cos\alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}sin\alpha)}$

$=\frac{\sqrt{2}sin\alpha}{\sqrt{2}cos\alpha}$

$=tan\alpha$

b) $\frac{sin2\alpha + sin\alpha}{1+cos2\alpha + cos\alpha}$

$=\frac{2sin\alpha cos\alpha +sin\alpha}{1+(2cos^{2}\alpha-1)+cos\alpha}$

$=\frac{2sin\alpha(cos\alpha+1)}{2cos\alpha(cos\alpha+1)}$

$=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$

$=tan\alpha$

c)  $\frac{1+cos\alpha -sin\alpha}{1-cos\alpha-sin\alpha}$

$=\frac{1+(2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-1)-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{1-(1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2})-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{1-(1-2sin^{2}\frac{\alpha}{2})-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}$

$=\frac{2cos^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}{2sin^{2}\frac{\alpha}{2}-2sin\frac{\alpha}{2}cos\frac{\alpha}{2}}$

$=\frac{2cos\frac{\alpha}{2}(cos\frac{\alpha}{2}-sin\frac{\alpha}{2})}{2sin\frac{\alpha}{2}(sin\frac{\alpha}{2}-cos\frac{\alpha}{2})}$

$=\frac{cos\frac{\alpha}{2}}{-sin\frac{\alpha}{2}}$

$=-cot\frac{\alpha}{2}$

d) $\frac{sin\alpha + sin3\alpha + sin5\alpha}{cos\alpha + cos3\alpha + cos5\alpha}$

$=\frac{(sin5\alpha + sin\alpha)+sin3\alpha}{(cos5\alpha + cos\alpha)+cos3\alpha}$

$=\frac{2sin\frac{5\alpha+\alpha}{2}cos\frac{5\alpha-\alpha}{2}+sin3\alpha}{2cos\frac{5\alpha+\alpha}{2}cos\frac{5\alpha-\alpha}{2}+cos3\alpha}$

$=\frac{2sin3\alpha cos2\alpha+sin3\alpha}{2cos3\alpha cos2\alpha +cos3\alpha}$

$=\frac{sin3\alpha (2cos2\alpha + 1)}{cos3\alpha(2cos2\alpha + 1)}$

$=\frac{sin3\alpha}{cos3\alpha}$

$=tan3\alpha$

1.56. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) $A = sin(\frac{\pi}{4}+x)-cos(\frac{\pi}{4}-x)$

b) $B=cos(\frac{\pi}{6}-x)-sin(\frac{\pi}{3}+x)$

c) $C=sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$

d) $D=\frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$

Hướng dẫn trả lời:

a) $A = sin(\frac{\pi}{4}+x)-cos(\frac{\pi}{4}-x)$

$=sin(\frac{\pi}{4}+x)-sin[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{4}-x)]$

$=sin(\frac{\pi}{4}+x)-sin(\frac{\pi}{4}+x=0$  $\forall x$

b) $B=cos(\frac{\pi}{6}-x)-sin(\frac{\pi}{3}+x)$

$=cos(\frac{\pi}{6}-x)-cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}+x)]$

$=cos(\frac{\pi}{6}-x)-cos(\frac{\pi}{6}-x)=0$ $\forall x$

c) $C=sin^{2}x+cos(\frac{\pi}{3}-x)cos(\frac{\pi}{3}+x)$

$=sin^{2}+\frac{1}{2}[cos(\frac{\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}+x)+cos(\frac{\pi}{3}-x-\frac{\pi}{3}-x)]$

$=sin^{2}+\frac{1}{2}(cos\frac{2\pi}{3}+cos(-2x))=sin^{2}x+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+cos(-2x))$

$=sin^{2}+\frac{1}{2}[-\frac{1}{2}+(1-2sin^{2})]$

$=sin^{2}x+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-2sin^{2}x)$

$=sin^{2}x+\frac{1}{4}-sin^{2}x=\frac{1}{4}$ $\forall x$

d) $D=\frac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$

$=\frac{1-(1-2sin^{2}x)+2sinxcosx}{1+(2cos^{2}x-1)+2sinxcosx}.cotx$

$=\frac{2sin^{2}x+2sinxcosx}{2cos^{2}x+2sinxcosx}cotx$

$=\frac{2sinx(sinx+cosx)}{2cosx(cosx+sinx)}cotx$

$=\frac{sinx}{cosx}.cotx=tanx.cotx=1$ $\forall x$

1.57. Hai sóng âm có phương trình lần lượt là

$f_{1}(t)=Csin\omega t$ và $f_{2}(t)=Csin( \omega t + \alpha)$

Hai sóng này giao thoa với nhau tạo ra một âm kết hợp có phương trình

$f(t) = f_{1}(t) + f_{2}(t) = Csin \omega t + Csin(\omega t + \alpha)$

a) Sử dụng công thức cộng chỉ ra rằng hàm f(t) có thể viết được dưới dạng $f(t) =3sin \omega t  + Bcos\omega t$ ở đó A, B là hai hằng số phụ thuộc vào α.

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi}{3}$, hãy tìm biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp, tức là tìm hai hằng số k và $\varphi$ sao cho $f(t)=ksin(\omega t +\varphi)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $f(t)=f_{1}(t)+f_{2}(t)$

= $C sin\omega t + Csin(\omega r + \alpha)$

= $C sin \omega t + C(sin\omega t cos\alpha + cos\omega t sin\alpha)$

= $C sin \omega t + Csin\omega t cos\alpha + C cos\omega t sin\alpha$

= $C(1+cos\alpha)sin\omega t +C sin\alpha cos\omega t$

Vậy $f(t)=C(1+cos\alpha)sin\omega t + Csin\alpha cos\omega t$ với $A=C1+cos\alpha) $ và $B=Csin\alpha $

b) Khi C = 10 và $\alpha =\frac{\pi}{3}$ ta có

$f(t)=10sin\omega t +10sin(\omega t + \frac{\pi}{3})$

$=10[sin\omega t + sin(\omega t +\frac{\pi}{3})]$

$=10.2sin\frac{\omega t + \omega t +\frac{\pi}{3}}{2} cos\frac{\omega t -\omega t -\frac{\pi}{3}}{2}$

$=20sin(\omega t +\frac{\pi}{6})cos(-\frac{\pi}{6})$

$=10\sqrt{3}sin(\omega t +\frac{\pi}{6})$

Vậy biên độ và pha ban đầu của sóng âm kết hợp lần lượt là $k=10\sqrt{3}$ và $\varphi =\frac{\pi}{6}$

1.58. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=cos\frac{2x}{x-1}$

b) $y=\frac{1}{cosx-cos3x}$

c) $y=\frac{1}{cosx+sin2x}$

d) $y=tanx +cotx$

Hướng dẫn trả lời:

a) Biểu thức $cos\frac{2x}{x-1}$ có nghĩa khi $x-1\neq 0$ hay $x \neq 1$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$\{1}$

b) Biểu thức $\frac{1}{cosx-cos3x}$ có nghĩa khi $cosx-cos3x \neq 0 $ hay $cosx \neq cos3x$

$\Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$\{$k\frac{\pi}{2}|k \in \mathbb{Z}$}

c) Biểu thức $\frac{1}{cosx+sin2x}$ có nghĩa khi $cosx +sin2x \neq 0 \Leftrightarrow cosx \neq cos3x$

$ \Leftrightarrow 3x \neq \pm x + k2\pi (k \in \mathbb{Z}) (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

$\left\{\begin{matrix}x \neq \frac{\pi}{2}+2x+k2\pi\\x \neq -(\frac{-\pi}{2}+2x)+k2\pi \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \neq -\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x \neq -\frac{\pi}{6} +k\frac{2\pi}{3}\end{matrix}\right. (k \in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$\{$-\frac{\pi}{2}+k2\pi,-\frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3} | k \in \mathbb{Z}$}

d) Biểu thức tan x + cot x có nghĩa khi

$ \left\{\begin{matrix}sinx \neq 0\\cosx \neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2sinxcosx \neq 0 \Leftrightarrow sin2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq k\pi \Leftrightarrow x \neq k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$\{$k\frac{\pi}{2} |k\in \mathbb{Z}$}

1.59. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) $y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)$

c) $y=sin^{4}x+cos^{4}x$

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $y=sinx-cosx=\sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4})$

Vì $-1\leq sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq 1$ nên $\sqrt{2} \leq \sqrt{2}sin(x-\frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$, đạt được khi $sin(x-\frac{\pi}{4})=1$

$ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x = \frac{3\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$, đạt được khi $sin(x-\frac{\pi}{4})=-1$

$ \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{4}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

b) Ta có $y=sinx+sin(\frac{\pi}{3}-x)=2sin\frac{x+\frac{x}{3}-x}{2}cos\frac{x-\frac{x}{3}+x}{2}$

$=2sin\frac{\pi}{6}cos(x-\frac{\pi}{6})=2.\frac{1}{2}.cos(x-\frac{\pi}{6})=cos(x-\frac{\pi}{6})$

Ta có $-1 \leq cos(x-\frac{\pi}{6}) \leq 1 \forall x \in \mathbb{Z}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $cos(x-\frac{\pi}{6})=1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=k2\pi (k\in \mathbb{Z})$ 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $cos(x-\frac{\pi}{6})=-1 \Leftrightarrow x-\frac{\pi}{6}=\pi+k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x =\frac{7\pi}{6}+k2\pi ( k \in \mathbb{Z})$

c) Ta có $y=sin^{4}x+cos^{4}=(sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x$

$=1-2(sinxcosx)^{2}=1-2.(\frac{sin2x}{2})^{2}=1-\frac{1}{2}sin^{2}2x$

$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-cos4x}{2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}cos4x$

$=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x$

Vì $-1 \leq cos4x \leq 1$ nên $-\frac{1}{4} \leq \frac{1}{4}cos4x \leq \frac{1}{4}$, do đó $\frac{3}{4}-\frac{1}{4} \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}cos4x \leq \frac{3}{4}+\frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}cos4x \leq 1 \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $cos4x =1 $

$\Leftrightarrow 4x =k2\pi (k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$, đạt được khi $cos4x=-1$

$ \Leftrightarrow 4x =\pi + k2\pi ( k\in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k\in \mathbb{Z})$

d) Ta có y = cos2x + 2cos x − 1

$=(2cos^{2}x-1)+2cosx-1$

$=2cos^{2}x+2cosx-2$

$=2t^{2}+2t-2$ với $t=cosx \in [-1;1]$

Xét hàm số $y=2t^{2}+2t-2$ trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi $cosx =1 \Leftrightarrow x =k2\pi (k \in \mathbb{Z})$ 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\frac{5}{2}$, đạt được khi $cosx=-\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

1.60. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) $y=sin^{3}x-cotx$

b) $y=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}$

c) y = sin 2x + cos x;

d) $y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) Tập xác định của hàm số $y=sin^{3}x-cotx$ là $D=\mathbb{R}$\{$k\pi|k\in \mathbb{Z}$}

Nếu kí hiệu $f(x)=sin^{3}+cotx$ thì với mọi $x\in D$ ta có: $-x \in D$ và

$f(-x)=sin^{3}(-x)-cot(-x)=-sin^{3}x+cotx=-(sin^{3}x-cotx)=-f(x)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số $y=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}$ là $D=\mathbb{R}$\{$\frac{\pi}{2}+k\pi|k\in \mathbb{Z}$}

Nếu kí hiệu $f(x)=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}$ thì với mọi $x\in D$ ta có: $-x\in D$ và 

$f(-x)=\frac{cos(-x)+tan^{2}(-x)}{cos(-x)}=\frac{cosx+(-tanx)^{2}}{cosx}=\frac{cosx+tan^{2}x}{cosx}=f(x)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số y = sin 2x + cos x là $D=\mathbb{R}$

Nếu kí hiệu f(x) = sin 2x + cos x thì với mọi $x\in D$ ta có: $-x \in D$ và

f(– x) = sin [2(– x)] + cos (– x) = – sin 2x + cos x ≠ ± f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số không chẵn cũng không lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)$ là $D=\mathbb{R}$

Ta có $y=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)$

$y= sin[(\frac{\pi}{4}-x)+(\frac{3\pi}{4}+x)]+sin[(\frac{\pi}{4}-x)-(\frac{3\pi}{4}+x)]$

$y= sin\pi +sin(-\frac{\pi}{2}-2x) =0-sin(\frac{\pi}{2}+2x)$

$y =-cos[\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}+2x)]=-cos2x$

Nếu kí hiệu $f(x)=2cos(\frac{3\pi}{4}+x)sin(\frac{\pi}{4}-x)$ thì với mọi $x\in D$ ta có: $-x \in D$ và $f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1.61. Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) $y=sin\frac{x}{2}+cos3x$

b) $y=cos5x+tan\frac{x}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Hàm số $y=sin\frac{x}{2}$ tuần hoàn với chu kì $T_{1}=\frac{2\pi}{\frac{1}{2}}=4\pi$, hàm số y = cos3x tuần hoàn với chu kì $T_{2}=\frac{2\pi}{3}$. Ta có $4\pi=6.\frac{2\pi}{3}$

Ta chỉ ra rằng hàm số $f(x)=sin\frac{x}{2}+cos3x$ tuần hoàn như sau:

$f(x+4\pi)=sin\frac{x+4\pi}{2}+cos3(x+4\pi)$

$=sin(\frac{x}{2}+2\pi)+cos(3x+12\pi)$

$=sin\frac{x}{2}+cos3x=f(x) \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=4\pi$

b) Hàm số y = cos 5x tuần hoàn với chu kì $T_{1}=\frac{2\pi}{5}$, hàm số $y=tan\frac{x}{3}$ hoàn với chu kì $T_{2}=\frac{\pi}{\frac{1}{3}}=3\pi$

Ta có $6\pi =2.3\pi = 15.\frac{2\pi}{5}$

Ta có thể chỉ ra hàm số $f(x)=cos5x+tan\frac{x}{3}$ tuần hoàn như sau

$f(x+6\pi)=cos5(x+6\pi)+tan\frac{x+6\pi}{3}=cos(5x+30\pi)+tan(\frac{x}{3}+2\pi)=cos5x+tan\frac{x}{3}=f(x) \forall x \in \mathbb{R}$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn với chu kì $T=6\pi$

1.62. Giải các phương trình sau:

a) $sin3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $tan(\frac{x}{3}+10^{o})=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

c) sin 3x – cos 5x = 0;

d) tan 3x tan x = 1.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $sin3x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow sin3x=sin(-\frac{\pi}{3})$

$\Leftrightarrow 3x=-\frac{\pi}{3}+k2\pi$ hoặc $3x=\pi-(-\frac{\pi}{3})+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}$ hoặc $x=\frac{4\pi}{9}+k\frac{2\pi}{3}) (k \in \mathbb{Z})$

b) Ta có $tan(\frac{x}{3}+10^{o})=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow tan(\frac{x}{3}+10^{o})=tan(-30^{o})$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3}+10^{o}=-30^{o}+k.180^{o} (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = -120^{o}+k.540^{o} (k \in \mathbb{Z})$

c) Ta có sin 3x – cos 5x = 0

$\Leftrightarrow sin3x=cos5x$

$\Leftrightarrow sin3x = sin(\frac{\pi}{2}-5x)$

$\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi}{2}-5x+k2\pi$ hoặc $3x=\pi-(\frac{\pi}{2}-5x)+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{16}+k\frac{\pi}{4}$ hoặc $x=-\frac{\pi}{4}-k\pi (k \in \mathbb{Z})$

d) Điều kiện $cos3x \neq 0$ và $cosx \neq 0 \Leftrightarrow cos3x \neq 0$

Ta có tan 3x tan x = 1

$\Leftrightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}$

$\Leftrightarrow tan3x=cotx$

$\Leftrightarrow tan3x=tan(\frac{\pi}{2}-x)$

$\Leftrightarrow3x=\frac{\pi}{2}-x+k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x =\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})$

Ta thấy $x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})$ thoả mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} (k \in \mathbb{Z})$

1.63. Giải các phương trình sau:

a) sin 5x + cos 5x = – 1;

b) cos 3x – cos 5x = sin x;

c) $2cos^{2}x+cos2x=2$

d) $sin^{4}x+cos^{4}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có sin 5x + cos 5x = – 1

$\Leftrightarrow \sqrt{2}sin(5x+\frac{\pi}{4})=-1$

$\Leftrightarrow sin(5x+\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow sin(5x+\frac{\pi}{4})=sin(-\frac{\pi}{4})$

$\Leftrightarrow 5x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+k2\pi$ hoặc $5x+\frac{\pi}{4}=\pi-(-\frac{\pi}{4})+k2\pi$

$ \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{10}+k\frac{2\pi}{5}$ hoặc $x=\frac{\pi}{5}+k\frac{2\pi}{5} (k \in \mathbb{Z})$

b) Ta có cos 3x – cos 5x = sin x

$\Leftrightarrow -2sin\frac{3x+5x}{2}sin\frac{3x-5x}{2}=sinx$

$\Leftrightarrow -2sin4xsin(-x)=sinx$

$\Leftrightarrow -2sin4xsinx-sinx=0$

$\Leftrightarrow sin(2sin4x-1)=0$

$\Leftrightarrow sinx=0$ hoặc $sin4x=\frac{1}{2}$

+ Với sin x = 0 ta được $x=k\pi (k \in \mathbb{Z}$

+ Với $sin4x=\frac{1}{2} \Leftrightarrow sin4x=sin(\frac{\pi}{6})$

$\Leftrightarrow 4x=\frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $4x=\pi-\frac{\pi}{6}+k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}$ hoặc $x=\frac{5\pi}{24}+k\frac{\pi}{2}(k\in \mathbb{Z})$

c) Ta có: $2cos^{2}x+cos2x=2$

$\Leftrightarrow (2cos^{2}x-1)+cos2x=1$

$\Leftrightarrow cos2x +cos2x=1$

$\Leftrightarrow 2cos2x=1$

$\Leftrightarrow cos2x=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow cos2x=cos\frac{\pi}{3}$

$\Leftrightarrow 2x =\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

d) Ta có $sin^{4}x+cos^{4}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x$

$\Leftrightarrow (sin^{2}x+cos^{2}x)^{2}-2sin^{2}xcos^{2}x=\frac{1}{2}sin^{2}2x$

$\Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}(2sinx cosx)^{2}=\frac{1}{2}sin^{2}2x$

$ \Leftrightarrow 1-\frac{1}{2}sin^{2}2x=\frac{1}{2}sin^{2}2x $

$\Leftrightarrow sin^{2}2x=1 $

$\Leftrightarrow cos2x = 0 $ (do $sin^{2}2x + cos^{2}2x=1$)

$\Leftrightarrow 2x =\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z}) $

$\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

1.64.  Một thanh xà gồ hình hộp chữ nhật được cắt ra từ một khối gỗ hình trụ có đường kính 30 cm.

a) Chứng minh rằng diện tích mặt cắt của thanh xà gồ được tính bởi công thức

$S(\theta )=450 sin2\theta (cm^{2})$

ở đó góc θ được chỉ ra trong hình vẽ dưới đây.

b) Tìm góc $\theta$ để diện tích mặt cắt của thanh xà gồ là lớn nhất.

Hướng dẫn trả lời:

a) Mặt cắt của thanh xà gồ (hình dưới) là hình chữ nhật có hai kích thước là

$AB=30cos\theta $ và $BC=30sin\theta $

Vậy diện tích mặt cắt là $S=AB.BC=30cos\theta .30sin\theta =450 sin2\theta $

b) Vì $-1 \leq sin2\theta \leq 1$ nên ta có $S=450sin2\theta \leq 450$

Vậy diện tích mặt cắt của thanh xà gồ lớn nhất khi $sin2\theta = 1$ hay góc $\theta =45^{o}$

1.65. Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và tâm trương, tương ứng. Chỉ số huyết áp của chúng ta được viết là tâm thu/tâm trương. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử một người nào đó có nhịp tim là 70 lần trên phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bởi hàm số

$P(t)=100 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t)=100$

ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo giây.

a) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Trong khoảng từ 0 đến 1 giây, hãy xác định số lần huyết áp là 120 mmHg

Hướng dẫn trả lời:

a) Huyết áp là 100 mmHg khi

$P((t)=100 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t) =100 $

$\Leftrightarrow sin(\frac{7\pi}{3}t)=0 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t=k\pi (k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow t=\frac{3k}{7} ( k \in \mathbb{Z})$

Xét 0 < t < 1 $\Leftrightarrow 0 <\frac{3k}{7} <1 \Leftrightarrow 0 < k <\frac{7}{3}$. Suy ra $k \in {1;2}$ vì $k \in \mathbb{Z}$

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 2 lần huyết áp là 100 mmHg.

b) Huyết áp là 120 mmHg khi

$P(t)=120 \Leftrightarrow 100 + 20sin(\frac{7\pi}{3}t)=120$

$\Leftrightarrow sin(\frac{7\pi}{3}t)=1 \Leftrightarrow \frac{7\pi}{3}t=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow t = \frac{3}{14}+\frac{6k}{7} ( k\in \mathbb{Z})$.

Xét 0 < t <1 $\Leftrightarrow 0<\frac{3}{14} +\frac{6k}{7}< 1 \Leftrightarrow -\frac{1}{4} < k <\frac{11}{12}$. Suy ra k = 0 vì $k \in \mathbb{Z}$

Vậy trong khoảng từ 0 đến 1 giây, có 1 lần huyết áp là 120 mmHg.