Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 16: Giới hạn của hàm số

5.11. Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}x ;(x>1)\\2; (x=1)\\1;( x<1) \end{matrix}\right.$. Hàm số f(x) có giới hạn khi $x \to 1$ không?

Hướng dẫn trả lời:

Vì $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=\lim_{x \to 1^{-}}f(x)=1$ nên hàm số f(x) có giới hạn khi $x \to 1$

5.12. Tính các giới hạn sau:

a) $\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$

b) $\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}$

c) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}$

d) $\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x \to 2}\frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$

$=\lim_{x \to 2}\frac{4x-8}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}$

$=\lim_{x\to 2}\frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}=\frac{2}{3}$

b) $\lim_{x \to 1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-3}{x^{3}-1}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{3}-1)+(x^{2}-1)+(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{(x^{2}+x+1)+(x+1)+1}{x^{2}+x+1}$

$=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2x+3}{x^{2}+x+1}$

$=\frac{1+2+3}{1+1+1}=2$

c) $\lim_{x \to 2^{+}}\frac{x^{2}-5x+6}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{(x-2)(x-3)}{(x-2)^{2}}=\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}$

Vì $\lim_{x \to 2^{+}}(x-3)=-1, \lim_{x\to 2^{+}}(x-2)=0$ và $x-2>0 \forall x>2$ 

Suy ra $\lim_{x\to 2^{+}}\frac{x-3}{x-2}=-\infty$

d) $\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}$

Vì $\lim_{x \to 0^{-}}(x^{2}+x-2)=-2, \lim_{x\to 0^{-}}=0$ và $x<0 \forall x<0$ 

Suy ra $\lim_{x \to 0^{-}}\frac{x^{2}+x-2}{x}=+\infty$

5.13. Tìm a để hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+ax; x>3 \\ 3x^{2}+1, x \leq 3\end{matrix}\right.$ có giới hạn khi $x\to 3$

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $\lim_{x \to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{+}}(x^{2}+ax)=9+3a$

$\lim_{x \to 3^{-}}f(x)=\lim_{x \to 3^{-}}(3x^{2}+1)=28$

Hàm số f(x) có giới hạn khi $x \to 3$ khi $\lim_{x\to 3^{+}}f(x)=\lim_{x\to 3^{-}}f(x)$

Suy ra $9+3a=28 \Leftrightarrow a=\frac{19}{3}$

5.14. Tìm các số thực a và b sao cho $\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-ax+1}{x^{2}-3x+1}=b$

Hướng dẫn trả lời:

Vì x = 1 là nghiệm của đa thức $x^{2}-3x+1$ nên đa thức $2x^{2}-ax+1$ phải có nghiệm x = 1

Do đó, $2.1^{2}-a+1=0 \Leftrightarrow a=3$

Ta có: $\lim_{x\to 1}\frac{2x^{2}-3x+1}{x^{2}-3x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{(2x-1)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to 1}\frac{2x-1}{x-2}=\frac{2.1-1}{1-2}=-1$

Vậy b = - 1

5.15. Cho hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}$. Tính:

a) $\lim_{x\to +\infty}f(x)$

b) $\lim_{x\to -\infty}f(x)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $\lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=1$

b) $\lim_{x\to -\infty}f(x)=\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{x}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}}{1}=-1$

5.16. Tìm giới hạn $\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})$

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\to +\infty}(1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})$

$=\lim_{x \to +\infty}x^{6}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x^{2}}-1)(\frac{1}{x^{3}}-1)=-\infty$

5.17. Cho hàm số $g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m$ với m là tham số. Biết $\lim_{x\to +\infty}g(x)=0$, tìm giá trị của m

Hướng dẫn trả lời:

Ta có: $g(x)=\sqrt{x^{2}+2x}-\sqrt{x^{2}-1}-2m=\frac{2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{x^{2}-1}}-2m=\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m$

Do đó, $\lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}+\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}-2m=1-2m$

Để $\lim_{x\to +\infty}g(x)=0$ thì $1-2m = 0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

5.18. Cho m là một số thực. Biết $\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty$. Xác định dấu của m. 

Hướng dẫn trả lời:

$\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=\lim_{x\to -\infty}x^{2}(\frac{m}{x}-1)(m+\frac{1}{x})=-m$

Để $\lim_{x\to -\infty}[(m-x)(mx+1)]=-\infty$ thì m > 0

5.19. Cho hàm số $f(x)=\frac{sin^{2}x}{x^{2}}$. Chứng minh rằng $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$

Hướng dẫn trả lời:

Lấy dãy số $(x_{n})$ bất kì sao cho $x_{n} \to +\infty$

Khi đó $|f(x_{n})|=\frac{sin^{2}x_{n}}{x_{n}^{2}} \leq \frac{1}{x_{n}^{2}} \to 0$ khi $n \to + \infty$

Vậy $\lim_{n \to +\infty}f(x_{n})=0$. Do đó, $\lim_{x\to +\infty}f(x)=0$

5.20. Một đơn vị sản xuất hàng thủ công ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là $C(x)=2x+55$ (triệu đồng).

a) Tìm hàm số f(x) biểu thị chi phí trung bình để sản xuất mỗi đơn vị sản phẩm.

b) Tính $\lim_{x\to +\infty}f(x)$. Giới hạn này có ý nghĩa gì?

Hướng dẫn trả lời:
a) Ta có: $f(x)=\frac{C(x)}{x}=\frac{2x+55}{x}$

b) Ta có: $\lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2x+55}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{55}{x}}{1}=2$

Khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm càng gần với 2 (triệu đồng).