Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài: Ôn tập cuối chương II

2.31. Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi: $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} + n$. Số hạng $u_{4}$ là

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 10.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Ta có $u_{1} = 1$;

$u_{2} = u_{1} + 1 = 1 + 1 = 2$;

$u_{3} = u_{2} + 2 = 2 + 2 = 4$;

$u_{4} = u_{3} + 3 = 4 + 3 = 7$.

2.32. Hãy chọn dãy số bị chặn trong các dãy số $(u_{n})$ sau:

A. $u_{n} = 1-n^{2}$.

B. $u_{n} = 2^{n}$.

C. $u_{n} = n sin n$.

D. $u_{n}=\frac{2-n}{n+1}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án D là dãy số bị chặn. Thật vậy:

Ta có $u_{n}=\frac{2-n}{n+1}=\frac{-(n+1)+3}{n+1}=-1+\frac{3}{n+1}$

Vì n > 0 nên $\frac{3}{n+1}>0$. Suy ra $-1+\frac{3}{n+1}>-1$

Vì $n \geq 0$ 1 nên $n + 1 \geq 2$ Suy ra $\frac{3}{n+1} \leq \frac{3}{2}$ 

Do đó $-1+\frac{3}{n+1} \leq \frac{1}{2}$ 

Vậy $-1< u_{n}\leq \frac{1}{2}$ nên dãy số này bị chặn.

2.33. Hãy chọn dãy số tăng trong các dãy số $(u_{n})$ sau:

A. $u_{n} = -2n + 1$.

B. $u_{n} = n^{2}-n + 1$.

C. $u_{n} = (-1)^{n}.2^{n}$.

D. $u_{n} = 1 + sin n$.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là dãy số tăng. Thật vậy:

Ta có $u_{n + 1}-u_{n} = [(n + 1)^{2}-(n + 1) + 1]- (n^{2}-n + 1)$

$= n^{2} + 2n + 1- n -1 + 1-n^{2} + n-1 = 2n > 0$ với mọi $n \geq 1$.

Tức là $u_{n + 1} > u_{n}$ với mọi $n \geq 1$. Vậy đây là dãy số tăng.

2.34. Cho dãy số $u_{n}=2020sin\frac{n\pi}{2}+2021cos\frac{n\pi}{3}$. Mệnh nào dưới đây là đúng?

A. $u_{n+6} = u_{n}$.

B. $u_{n+9} = u_{n}$.

C. $u_{n+4} = u_{n}$.

D. $u_{n+12} = u_{n}$.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Ta có $u_{n+12}=2020sin\frac{(n+12)\pi}{2}+2021cos\frac{(n+12)\pi}{3}$

$=2020 sin(\frac{n\pi}{2}+6\pi)+2021cos(\frac{n\pi}{3}+4\pi)$

$=2020sin\frac{n\pi}{2}+2021cos\frac{n\pi}{3}=u_{n}$ với mọi n.

Vậy $u_{n+12}=u_{n}$

2.35. Chọn cấp số cộng trong các dãy số (un) sau:

A. $u_{n} = 3^{n} + 2$.

B. $u_{n} = \frac{3}{n}+ 1$.

C. $u_{n} = 3n$.

D. $u_{1} = 1, u_{n + 1} = u_{n} + n.$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Ta có dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 3n$ là cấp số cộng.

Thật vậy, $u_{n + 1}-u_{n} = 3(n + 1)-3n = 3$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số cộng với công sai d = 3.

2.36. Cho cấp số cộng với $u_{1} =-2, u_{9} = 22$. Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

A. 3 570.

B. 3 575.

C. 3 576.

D. 3 580.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Ta có $u_{9} = u_{1} + 8d =-2 + 8d = 22$. Suy ra d = 3.

Vậy tổng 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

$S_{50}=\frac{50}{2}[2.(-2)+(50-1).3]=3575$

2.37. Chọn cấp số nhân trong các dãy số $(u_{n})$ sau:

A. $u_{n} = 2n$.

B. $u_{n}=\frac{2}{n}$

C. $u_{n} = 2^{n}$.

D. $u_{1} = 1, u_{n + 1} = nu_{n}$.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: C

Ta có dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 2^{n}$ là cấp số nhân.

Thật vậy, $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{2^{n+1}}{2^{n}}=2$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số này là cấp số nhân với công bội q = 2.

2.38. Tổng $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+…+\frac{1}{2^{n}}$ bằng

A. $2+\frac{1}{2^{n}}$

B. $2-\frac{1}{2^{n-1}}$

C. $2-\frac{1}{2^{n+1}}$

D. $2-\frac{1}{2^{n}}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Ta có $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ . Nhận thấy các số hạng trong tổng này lập thành một cấp số nhân gồm n + 1 số hạng với số hạng đầu $u_{1} = 1$ và công bội $q=\frac{1}{2}$

Do đó $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+...+\frac{1}{2^{n}}$ 

2.39. Có bao nhiêu cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Giả sử 5 số hạng của cấp số nhân đó là $u_{1}; u_{2}; u_{3}; u_{4}; u_{5}$ và công bội của cấp số nhân là q.

+ Nếu q = 0 thì tích các số hạng bằng 0 không thỏa mãn bài toán nên $q \neq 0$

+ Nếu q = 1 thì $u_{1}= u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}$ , do đó $u_{1}+u_{2}+u_{3}+ u_{4}+u_{5}=5u_{1}=31$ 

Suy ra $u_{1}=u_{2}=u_{3}=u_{4}=u_{5}=\frac{31}{5}$ . Khi đó $u_{1}.u_{2}. u_{3}.u_{4}.u_{5}=(\frac{31}{5})^{5} \neq 1024$ (Vô lí.)

Vậy $q \neq 1$

+ Với $q \neq {0; 1}$. Khi đó $u_{2} = u_{1}q; u_{3} = u_{1}q^{2}; u_{4} = u_{1}q^{3}; u_{5} = u_{1}q^{4}$.

Ta có $u_{1}. u_{2}. u_{3}.u_{4}. u_{5}=u_{1}^{5}.q^{1+2+3+4}=u_{1}^{5}.q^{10}=(u_{1}q^{2})^{5}=1024=4^{5}$ . Suy ra $u_{1}q_{2} = 4$. 

Suy ra $u_{1}=\frac{4}{q^{2}}$

Lại có $u_{1} + u_{2} + u_{3} + u_{4} + u_{5} = S_{5} = \frac{u_{1}(1-q^{5})}{1-q} = \frac{\frac{4}{q^{2}}(1-q^{5})}{1-q}=31$

Suy ra $4(1-q^{5}) = 31q^{2}(1-q)$

$ \Leftrightarrow 4(1-q)(1 + q + q^{2} + q^{3} + q^{4})-31q^{2}(1 -q) = 0$

$ \Leftrightarrow (1-q) (4 + 4q + 4q^{2} + 4q^{3} + 4q^{4}-31q^{2}) = 0$

$ \Leftrightarrow (1-q)(4q^{4} + 4q^{3}-27q^{2} + 4q + 4) = 0$

$ \Leftrightarrow q=1$ hoặc $4q^{4}+4q^{3}-27q^{2} +4q+4=0 (*)$

Vì $q \neq 1$ nên ta loại trường hợp q = 1.

Giải phương trình (*): Chia cả hai vế của (*) cho $q_{2}$ (do $q \neq 0$) ta được

$4q^{2}+4q-27+\frac{4}{q}+\frac{4}{q^{2}}=0$

$ \Leftrightarrow (4q^{2}+8+\frac{4}{q^{2}})+(4q+\frac{4}{q})-35=0$

$ \Leftrightarrow (2q+\frac{2}{q})^{2}+2(2q+\frac{2}{q})-35=0$ (**)

Đặt $2q+\frac{2}{q}=t$, khi đó (**) $ \Leftrightarrow t^{2} + 2t -35 = 0 \Leftrightarrow t = -7$ hoặc t = 5.

+ Với t = – 7, ta có $ 2a+\frac{2}{q}=-7 \Rightarrow 2q^{2}+2+7q\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=\frac{-7+\sqrt{33}}{2}\\q=\frac{-7-\sqrt{33}}{2}\end{matrix}\right.$

+ Với t = 5, ta có $ 2a+\frac{2}{q}=5 \Rightarrow 2q^{2}+2-5q\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}q=\frac{1}{2}\\q=2\end{matrix}\right.$

Thử lại ta thấy cả 4 giá trị của q đều thỏa mãn (*).

Vậy có 4 cấp số nhân có năm số hạng mà tổng của năm số hạng đó là 31 và tích của chúng là 1 024.

2.40. Ông Trung có 100 triệu đồng gửi tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau 3 năm số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung gần nhất với số nào sau đây?

A. 126 532 000 đồng.

B. 158 687 000 đồng.

C. 125 971 000 đồng.

D. 112 486 000 đồng.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: B

Ta có 100 triệu đồng = 100 000 000 đồng.

3 năm tương ứng với 6 kì lãi.

Vậy sau ba năm, số tiền trong tài khoản tiết kiệm của ông Trung là

$S = 100 000 000 . (1 + 8$%)$^{6} \approx 158 687 432$ (đồng).

Xét các đáp án ta thấy 158 687 432 đồng gần nhất với 158 687 000 đồng.

2.41. Một du khách vào trường đua ngựa xem đua ngựa và đặt cược chọn con thắng cuộc. Nếu chọn đúng con thắng cuộc thì sẽ nhận được số tiền gấp đôi số tiền đặt cược, còn nếu chọn sai thì sẽ mất số tiền đặt cược. Người du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách đó thắng hay thua bao nhiêu?

A. Thắng 20 000 đồng.

B. Hoà vốn.

C. Thua 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Du khách đó lần đầu tiên đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi tiền đặt lần trước.

Khi đó, số tiền đặt cược của du khách ở mỗi lần khác nhau lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu là $u_{1} = 20 000$ và công bội q = 2.

Người đó thua 9 lần liên tiếp nên tổng số tiền người đó đã bỏ ra và mất trong 9 lần đầu là:

$S_{9}=u_{1}\frac{1-q^{9}}{1-q}=20000.\frac{1-2^{9}}{1−2}=10220000$ (đồng).

Số tiền người đó bỏ ra ở lần thứ 10 là:

$u_{10} = u_{1} . q^{10-1}= 20 000 . 2^{10-1} = 10 240 000$ (đồng).

Vì người du khách đó thắng ở lần thứ 10. Người đó nhận bỏ ra và nhận lại gấp đôi, nghĩa là người đó lãi được: 10 240 000 (đồng).

Vậy thì sau 10 lần chơi, người đó đã thắng 20 000 đồng.

2.42. Ba số phân biệt có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, cũng có thể coi là số hạng thứ 2, thứ 9, thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210?

A. 40.

B. 30.

C. 20.

D. 10.

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D

Gọi số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của cấp số cộng này là $u_{2}, u_{9}, u_{44}$. Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là $u_{1}$ và công sai là d. Khi đó ta có:

$u_{2} = u_{1} + d$;

$u_{9} = u_{1} + 8d = (u_{1} + d) + 7d = u_{2} + 7d$;

$u_{44} = u_{1} + 43d = (u_{1} + d) + 42d = u_{2} + 42d$

Vì 3 số này là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có: 

$u_{2}u_{44}=u_{9}^{2}$ hay $u_{2}(u_{2} + 42d) = (u_{2} + 7d)^{2}$.

Và tổng của 3 số đó là 217 nên $u_{2}+ u_{9} + u_{44} = u_{2}+u_{2}+7d+u_{2}+ 42d = 3u_{2} + 49d = 217$.

Vậy ta có hệ $\left\{\begin{matrix}u_{2}(u_{2}+42d)=(u_{2}+7d)^{2}\\3u_{2}+49d=217\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{2}=7\\d=4\end{matrix}\right.$

Do đó $u_{1} = u_{2}- d = 7-4 = 3$.

Gọi n số hạng đầu của cấp số cộng có tổng là 210.

Khi đó $S_{n}=\frac{n}{2}[2u_{1}+(n-1).4]$  hay $210=\frac{n}{2}[2.3+(n-1).4] \Leftrightarrow 210 = n(2n + 1)$

$\Leftrightarrow 2n^{2}+n-210 \Leftrightarrow n=10$ hoặc $n=-\frac{21}{2}$

Vì n nguyên dương nên n = 10. Vậy phải lấy 10 số hạng đầu của cấp số cộng này để tổng của chúng bằng 210.

TỰ LUẬN

2.43. Trong các dãy số $(u_{n})$ dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân? Nếu dãy số là cấp số cộng hoặc cấp số nhân, hãy xác định công sai hoặc công bội của nó.

a) $u_{1} = 2, u_{n + 1} = u_{n} + n$;

b) $u_{n} = 6n + 3$;

c) $u_{1} = 1, u_{n + 1} = n.u_{n}$;

d) $u_{n} = 3 . 5^{n}$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 2; u_{2} = u_{1} + 1 = 2 + 1 = 3; u_{3} = u_{2} + 2 = 3 + 2 = 5$.

Ta có 3 – 2 = 1; 5 – 3 = 2 nên $u_{2}-u_{1} \neq u_{3}- u_{2}$ và $\frac{3}{2} \neq \frac{5}{3}$ nên $\frac{u_{2}}{u_{1}} \neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Do vậy, dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

b) Từ $u_{n} = 6n + 3$, suy ra $u_{n + 1} = 6(n + 1) + 3 = 6n + 9$.

Ta có $u_{n + 1} = (6n + 9) -(6n + 3) = 6$ không đổi với mọi $n \geq 1$.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d = 6.

c) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{1} = 1; u_{2} = 1; u_{3} = 2 . u_{2} = 2.$

Từ đó suy ra $u_{2}-u_{1}\neq  u_{3}-u_{2}$ và $\frac{u_{2}}{u_{1}}\neq \frac{u_{3}}{u_{2}}$

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân.

d) Từ $u_{n} = 3 . 5^{n}$ suy ra $u_{n + 1} = 3 . 5^{n + 1} = 3 . 5 . 5^{n}$.

Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{3.5.5^{n}}{3.5^{n}}=5$ không đổi với mọi $n \geq 1$.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với công bội q = 5.

2.44. Chứng minh rằng:

a) Nếu $a_{1}, a_{2}, a_{3},...$ và $b_{1}, b_{2}, b_{3},...$ là hai cấp số cộng thì $a_{1}+b_{1}, a_{2} + b_{2}, a_{3} + b_{3}$, ... cũng là cấp số cộng.

b) Nếu $a_{1}, a_{2}, a_{3},$... và $b_{1}, b_{2}, b_{3},$ ... là hai cấp số nhân thì $a_{1}b_{1}, a_{2}b_{2}, a_{3}b_{3}$, ... cũng là cấp số nhân.

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số $(a_{n})$ là cấp số cộng với công sai $d_{1}$ và dãy số $(b_{n})$ là cấp số cộng với công sai $d_{2}$ nên ta có:

$a_{n + 1} = a_{n} + d_{1}$ và $b_{n + 1}= b_{n} + d_{2}$ với mọi $n \geq 1$.

Khi đó $a_{n + 1} + b_{n + 1} = (a_{n} + d_{1}) + (b_{n} + d_{2}) = (a_{n} + b_{n}) + d_{1} + d_{2}$ với mọi $n \geq 1$.

Vậy dãy số $(a_{n} + b_{n})$ là cấp số cộng với công sai $d_{1} + d_{2}$.

b) Theo giả thiết, ta giả sử dãy số $(a_{n})$ là cấp số nhân với công bội $q_{1}$ và dãy số $(b_{n})$ là cấp số nhân với công bội $q_{2}$ nên ta có:

$q_{n + 1} = a_{n}q_{1}$ và $b_{n + 1}= b_{n}q_{2}$ với mọi $n \geq 1$.

Khi đó $a_{n + 1}b_{n + 1}= (a_{n}q_{1}).(b_{n}q_{2}) = (a_{n}b_{n})q_{1}q_{2}$ với mọi $n \geq 1$.

Vậy dãy số $(a_{n}b_{n})$ là cấp số nhân với công bội $q_{1}q_{2}$.

2.45. Một con chó con nặng 0,4 kg khi mới sinh và sau mỗi tuần tuổi khối lượng của nó tăng thêm 24%. Giả sử $u_{n}$ (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

a) Viết lần lượt các công thức tính $u_{2}, u_{3}$. Từ đó dự đoán công thức của $u_{n}$.

b) Con chó nặng bao nhiêu kilôgam khi được sáu tuần tuổi?

Hướng dẫn trả lời:

a) Giả sử $u_{n}$ (kg) là khối lượng của con chó vào cuối tuần tuổi thứ n.

Ta có $u_{1} = 0,4; u_{2} = u_{1} + u_{1}24% = u_{1}(1 + 0,24) = 1,24u_{1}$;

$u_{3}=u_{2}+u_{2}24% = u_{2}(1 + 0,24) = u_{1}(1 + 0,24)(1 + 0,24) = u_{1}(1 + 0,24)^{2}$.

Cứ tiếp tục làm tương tự, ta dự đoán được công thức $u_{n} = u_{1}(1 + 0,24)^{n-1}$ với mọi $n \geq 1$.

b) Sau sáu tuần tuổi thì con chó nặng là

$u_{6}=u_{1}(1 + 0,24)^{6 -1} = 0,4 . (1,24)^{5} \approx 1,173$ (kg).

2.46. Bác Hưng quyết định tham gia một chương trình bơi lội để duy trì sức khoẻ. Bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó.

a) Tìm công thức truy hồi cho số phút $T_{n}$ mà bác ấy bơi vào ngày thứ n của chương trình.

b) Tìm sáu số hạng đầu của dãy số $T_{n}$.

c) Tìm công thức tổng quát của dãy số $(T_{n})$.

d) Bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ bao nhiêu của chương trình?

e) Tính tổng thời gian bác Hưng bơi sau 30 ngày đầu của chương trình.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $T_{n}$ là số phút mà bác Hưng bơi vào ngày thứ n của chương trình.

a) Do bác bắt đầu bằng cách bơi 10 phút vào ngày đầu tiên, sau đó thêm 2 phút mỗi ngày sau đó nên ta có hệ thức truy hồi sau $T_{1} = 10, T_{n + 1} = T_{n} + 2,\forall n \geq 1$.

b) Sáu số hạng đầu của dãy số là

$T_{1} = 10$;

$T_{2} = T_{1} + 2 = 10 + 2 = 12$;

$T_{3}= T_{2} + 2 = 12 + 2 = 14$:

$T_{4} = T_{3} + 2 = 14 + 2 = 16$;

$T_{5} = T_{4} + 2 = 16 + 2 = 18$;

$T_{6} = T_{5} + 2 = 18 + 2 = 20$.

c) Từ công thức truy hồi $T_{n + 1} = T_{n + 2}$ suy ra $T_{n + 1}- T_{n} = 2$ không đổi $\forall n \geq 1$.

Do đó, dãy số $(T_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu $T_{1} = 10$ và công sai d = 2.

Suy ra, công thức tổng quát của dãy số là

$T_{n} = T_{1} + (n-1)d = 10 + (n-1).2 = 8 + 2n , \forall n \geq 1$

d) Ta có $T_{n}\geq 60 \Leftrightarrow  8 + 2n \geq 60 \Leftrightarrow  n \geq 26$.

Vậy bác Hưng đạt được mục tiêu bơi ít nhất 60 phút mỗi ngày vào ngày thứ 26 của chương trình.

e) Tổng thời gian bác Hưng bơi trong 30 ngày đầu của chương trình là

$S_{30}=\frac{30}{2}[2.10+(30-1).2]=1170$ (phút)

2.47. Dãy các số chính phương sau đây không phải là cấp số cộng

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

Tuy nhiên, chúng ta có thể lập một cấp số cộng liên quan bằng cách tìm hiệu của các số hạng liên tiếp của dãy số này.

a) Viết tám số hạng đầu của cấp số cộng liên quan được mô tả ở trên. Tìm công thức của số hạng thứ n của cấp số cộng này.

b) Mô tả bằng cách nào để chúng ta có thể lập được một cấp số cộng từ dãy các số lập phương sau đây:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

c) Viết bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong phần b) và tìm số hạng thứ n của nó.

Hướng dẫn trả lời:

a) Công thức số hạng thứ n của dãy các số chính phương đã cho là $n^{2} \forall n \geq 1$.

Tám số hạng đầu của cấp số cộng $(u_{n})$ được mô tả là

$u_{1} = 4-1 = 3; u_{2} = 9 -4 = 5; u_{3} = 16-9 = 7; u_{4} = 25-16 = 9$;

$u_{5}= 36-25 = 11; u_{6} = 49- 36 = 13; u_{7} = 64 -49 = 15; u_{8} = 81-64 = 17$.

Theo giả thiết chúng ta xét hiệu của hai số hạng liên tiếp, do đó số hạng thứ n của cấp số cộng này là hiệu của số hạng thứ n + 1 và số hạng thứ n của dãy các số chính phương nên

$u_{n}= (n + 1)^{2}-n^{2} = 2n + 1 ,\forall n \geq 1$.

Ta chứng minh được dãy số $(u_{n})$ là cấp số cộng với công sai d = 2.

b) Xét dãy các số lập phương, với ba số hạng liên tiếp ta lấy số đầu cộng với số thứ ba trừ đi 2 lần số thứ hai ta thu được một cấp số cộng.

c) Bảy số hạng đầu của cấp số cộng ở trong câu b là 12; 18; 24; 30; 36, 42, 48,

$u_{1} = 1 + 27 -2 . 8 = 12$;

$u_{2} = 8 + 64 -2 . 27 = 18$;

$u_{3} = 27 + 125-2 . 64 = 24$;

$u_{4} = 64 + 216-2 . 125 = 30$;

$u_{5} = 125 + 343-2 . 216 = 36$;

$u_{6} = 216 + 512 -2 . 343 = 42$;

$u_{7} = 343 + 729 -2 . 512 = 48$.

Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng này là

$u_{n} = n^{3} + (n + 2)^{3}-2(n + 1)^{3} = 6n + 6 ,\forall n \geq 1$

2.48. Chứng minh rằng nếu ba số theo thứ tự vừa lập thành một cấp số cộng vừa lập thành một cấp số nhân thì ba số ấy bằng nhau.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ ba trong ba số đó. 

Vì ba số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên số thứ hai là $\frac{x+y}{2}$

Khi đó, ba số cần tìm có dạng: x, $\frac{x+y}{2}$, y.

Vì ba số này lập thành một cấp số nhân nên ta có

$xy=(\frac{x+y}{2})^{2} \Leftrightarrow 4xy=x^{2}+2xy+y^{2} \Leftrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=0 \Leftrightarrow (x-y)^{2}=0$, tức là x = y.

Suy ra $\frac{x+y}{2}=\frac{x+x}{2}=\frac{2x}{2}=x$

Vậy ba số đó bằng nhau.

2.49. Anh Nam là một cầu thủ bóng đá chuyên nghiệp. Anh vừa kí hợp đồng 5 năm với một câu lạc bộ với mức lương năm khởi điểm là 300 triệu đồng. Chủ tịch câu lạc bộ đưa ra cho anh Nam ba phương án về lương như sau:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng.

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai.

Em hãy tính giúp anh Nam xem với phương án lương nào thì tổng lương sau 5 năm của anh Nam là lớn nhất?

Hướng dẫn trả lời:

Ta tính tổng tiền lương của anh Nam theo từng phương án:

- Phương án 1: Mỗi năm ngoài mức lương cố định như trên, sẽ được thưởng thêm 50 triệu đồng thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

$5 . 300 + 5 . 50 = 1 750$ (triệu đồng).

- Phương án 2: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 10% so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

$300 + 300 . (1 + 10%) + 300 . (1 + 10%)^{2} + 300 . (1 + 10%)^{3} + 300 . (1 + 10%)^{4}= 1 831,53$ (triệu đồng).

- Phương án 3: Mỗi năm lương sẽ tăng thêm 30 triệu so với lương năm trước đó, bắt đầu kể từ năm thứ hai thì sau 5 năm tổng số tiền lương của anh Nam là

$300 + 330 + 360 + 390 + 420 = 1 800$ (triệu đồng).

Vậy anh Nam nên sử dụng phương án 2 để nhận được tổng lương sau 5 năm là cao nhất.

2.50. Một dãy số $(u_{n})$ được gọi là một cấp số nhân cộng nếu nó cho bởi hệ thức truy hồi

$u_{1} = a, u_{n + 1} = qu_{n} + d$.

Nếu q = 1 ta có cấp số cộng với công sai d, còn nếu d = 0 ta có cấp số nhân với công bội q.

a) Giả sử $q \neq 1$. Dự đoán công thức số hạng tổng quát $u_{n}$.

b) Thiết lập công thức tính tổng $S_{n}$ của n số hạng đầu của cấp số nhân cộng $(u_{n})$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta viết lần lượt các số hạng của dãy:

$u_{1} = a$;

$u_{2} = qu_{1} + d$;

$u_{3}=qu_{2}+d=q(qu_{1}+d)+d = q^{2}u_{1} + qd + d = q^{2}u_{1}+ d(q + 1)$;

$u_{4}=qu_{3}+d=q(q^{2}u_{1}+qd+d) + d = q^{3}u_{1} + q^{2}d + qd + d$

$= q^{3}u_{1}+d(q^{2}+q + 1)=q^{3}u_{1}+d\frac{1-q^{3}}{1-q}$ (với $q \neq 1$).

Làm tương tự ta được công thức số hạng tổng quát un:

$u_{n}=q^{n-1}u_{1}+d(q^{n-2}+q^{n-3} + ... + 1)=q^{n-1}u_{1}+ d\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$

b) Ta viết tổng n số hạng đầu như sau

$S_{n}=u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n}$

$= u_{1} + (qu_{1}+d)+(qu_{2}+ d) + ... + (qu_{n -1} + d)$

$= u_{1} +q(u_{1}+u_{2}+ ... + u_{n-1}) + (n-1)d$

$= u_{1} + qS_{n-1} + (n-1)d$

$= qS_{n -1} + a + (n-1)d$ (vì $u_{1} = a$).

Như vậy, ta được $(S_{n})$ cũng là một cấp số nhân cộng với $S_{1} = u_{1} = a$.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát vừa tìm được ở câu a để tính $S_{n}$ ta có

$S_{n}=q^{n-1}S_{1}+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}=q^{n-1}a+[a+(n-1)d]\frac{1-q^{n-1}}{1-q}$