Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 5: Dãy số

2.1. Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số (un) sau:

a) $u_{n}=(-1)^{n-1}\frac{n}{2x-1}$

b) $u_{1}=1,u_{n}=n-u_{n-1} (n \geq 2)$

Hướng dẫn trả lời:

a) $u_{1}=(-1)^{0}.\frac{1}{2.1-1}=1$

$u_{2}=(-1)^{2-1}.\frac{2}{2.2-1}=-\frac{2}{3}$

$u_{3}=(-1)^{3-1}.\frac{3}{2.3-1}=\frac{3}{5}$

$u_{4}=(-1)^{4-1}.\frac{4}{2.4-1}=-\frac{4}{7}$

$u_{5}=(-1)^{5-1}.\frac{5}{2.5-1}=\frac{5}{9}$

b) $u_{1}=1;u_{2}=2-u_{1}=2-1=1$

$u_{3}=3-u_{2}=3-1=2$

$u_{4}=4-u_{3}=4-2=2$

$u_{5}=5-u_{4}=5-2=3$

2.2. Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) $u_{n}=n^{2}+n+1$

b) $u_{n}=\frac{2n+5}{n+2}$

c) $u_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=[(n+1)^{2}+(n+1)+1]-(n^{2}+n+1) $

$= n^{2}+2n+1+n+1+1-n^{2}-n-1=2n+2 > 0 \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n+1}>u_{n} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số tăng.

b) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{2(n+1)+5}{n+1+2}-\frac{2n+5}{n+2}=$

$\frac{2n+7}{n+3}-\frac{2n+5}{n+2}=\frac{(2n+7)(n+2)-(2n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{-1}{(n+3)(n+2)}<0, \forall n \geq 1$

Do đó, $u_{n+1}<u_{n}, \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số giảm.

c) Ta có $u_{n+1}-u_{n}=\frac{(-1)^{n+1-1}}{(n+1)^{2}+1}-\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}+1}$

$=\frac{(-1)^{n}}{(n+1)^{2}+1}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}+1}=(-1)^{n}(\frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1})$

Vì $ \frac{1}{(n+1)^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+1} > 0, \forall n \geq 1$ nên hiệu $u_{n+1}-u_{n}$ dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số $(u_{n})$ không tăng cũng không giảm.

2.3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $u_{n}=\frac{n}{2n+1}$

b) $u_{n}=n^{2}+n-1$

c) $u_{n}=-n^{2}+1$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $u_{n}=\frac{n}{2n+1} \geq \frac{1}{3} , \forall n \geq 1$

Lại có $u_{n}=\frac{n}{2n+1}=\frac{\frac{1}{2}(2n+1)-\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{\frac{1}{2}}{2n+1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2(2n+1)}$. Suy ra $u_{n} \leq \frac{1}{2}, \forall n \geq 1$

Suy ra $u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$

Do đó $\frac{1}{3} \leq u_{n} \leq \frac{1}{2} \forall n \geq 1$. Vậy $(u_{n})$ là dãy số bị chặn.

b) Ta có $n-1 \geq 0$ với mọi $n \geq 1$ và $n^{2} \geq 0$ với mọi n.

Do đó, $u_{n}=n^{2}+n-1 \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn dưới bởi 1 với mọi $n \geq 1$

c) Ta có $u_{n}=-n^{2}+1<1$ với mọi $n \geq 1$

Vậy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên bởi 1 với mọi $n \geq 1$

2.4. Để tính xấp xỉ giá trị $\sqrt{p}$, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

$u_{1}=k,u_{n}=\frac{1}{2}(u_{n-1}+\frac{p}{u_{n-1}})$ với $n \geq 2$

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của $\sqrt{p}$

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính $u_{5}$ và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) $\sqrt{5}$ (lấy k = 3);

b) $\sqrt{8}$ (lấy k = 3).

Hướng dẫn trả lời:

a) Với p = 5 thì $\sqrt{5} \approx 2,23607$. Nếu ta chọn $u_{1}=3$ thì ta có:

$u_{1}=3$

$u_{2}=\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{5}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{5}{3}) \approx 2,3333$

$u_{3}=\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{5}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,3333+\frac{5}{2,3333}) \approx 2,2381$

$u_{4}=\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{5}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,2381+\frac{5}{2,2381}) \approx 2,2361$

$u_{5}=\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{5}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,2361+\frac{5}{2,2361}) \approx 2,2361$

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì $\sqrt{8} \approx 2,82843$. Nếu ta chọn $u_{1}=3$ thì ta có:

$u_{1}=3$

$u_{2}=\frac{1}{2}(u_{1}+\frac{8}{u_{1}}=\frac{1}{2}(3+\frac{8}{3}) \approx 2,8333$

$u_{3}=\frac{1}{2}(u_{2}+\frac{8}{u_{2}}=\frac{1}{2}(2,8333+\frac{8}{2,8333}) \approx  2,8284$

$u_{4}=\frac{1}{2}(u_{3}+\frac{8}{u_{3}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$

$u_{5}=\frac{1}{2}(u_{4}+\frac{8}{u_{4}}=\frac{1}{2}(2,8284+\frac{8}{2,8284}) \approx 2,8284$

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.

2.5. Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bằng hệ thức truy hồi

$u_{1},u_{n+1}=u_{n}+(n+1)$

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng $1+2+…+.=\frac{n(n+1)}{2}$. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

c) Chứng minh rằng $u_{n+1}+u_{n}=(n+1)^{2}$, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương

Hướng dẫn trả lời:

a) Bảy số tam giác đầu là $u_{1} = 1; u_{2} = u_{1} + (1 + 1) = 1 + 2 = 3$;

$u_{3} = u_{2} + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u_{4} = u_{3} + (3 + 1) = 6 + 4 = 10$;

$u_{5} = u_{4} + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u_{6} = u_{5} + (5 + 1) = 15 + 6 = 21$;

$u_{7} = u_{6} + (6 + 1) = 21 + 7 = 28$.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u1 = 1, u2 = 1 + 2, u3 = 1 + 2 + 3, u4 = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra $u_{n + 1} = 1 + 2 + ... + n + (n + 1) =\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)$

$=\frac{n(n+1)+2(n+1)}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

Vậy $u_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

$u_{n+1}+u_{n}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)((n+2)+n)}{2}$

$=\frac{(n+1).2(n+1)}{2}=(n+1)^{2}$

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

2.6. Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Hướng dẫn trả lời:

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

$T_{1} = 50.75%= 37,5$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

$T_{2} = T_{1}.75% = 37,5 . 75% = 28,125$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

$T_{3} = T_{2} . 75% = 28,125 .75% = 21,09375$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

$T_{4} = T_{3} . 75% = 21,0375 . 75% \approx 15,8203$ (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

$T_{5} = T_{4} . 75% \approx 15,8203 . 75% \approx 11,8652$ (triệu đồng).

Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là

$T_{n} = T_{1} . (0,75)^{n – 1}$ (triệu đồng).

2.7. Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau n năm nữa được cho bởi công thức

$A_{n} =2,5.(1,035)^{n}$ (tỉ đồng).

Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Hướng dẫn trả lời:

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

$A_{5}=2,5.(1,035)^{n} \approx 2,9692$ (tỉ đồng).

2.8. Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

$A_{n}=200(1+\frac{0,03}{4})^{n}, n=0,1,2,…$

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Ba số hạng đầu của dãy số là

$A_{1}=200(1+\frac{0,03}{4})^{1}=201,5$ 

$A_{2}=200(1+\frac{0,03}{4})^{2}=203,01125$

$A_{3}=200(1+\frac{0,03}{4})^{3} \approx 204,5338$

b) Ta có 2 năm bằng 8 quý, tức là n = 8.

Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là

$A_{8}=200(1+\frac{0,03}{4})^{8} \approx 212,3198$

2.9. Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Hướng dẫn trả lời:

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E. Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là 1 . 2 = 2 (con).

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là $2 . 2 = 2^{2}$ (con).

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là $2^{2} . 2 = 2^{3}$ (con).

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là $2^{3} . 2 = 2^{4}$ (con).

...

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3 . 12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

$2^{3 . 12} = 2^{36} \approx 6,87 . 10^{10}$ (con).

Sau 48 giờ (bằng 3 . 48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

$2^{3 . 48} = 2^{144} \approx 2,23 . 10^{43}$ (con).

2.10. Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với $1,0 × 10^{9}$ vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0 × 10^{8}$ vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi $u_{1} = 1,0 . 10^{9}$ là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và un là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt $4,0 . 10^{8}$ vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% nên ta có

$u_{n + 1} = (u_{n}- 4,0 . 10^{8}) + 25% . u_{n} = 1,25u_{n}-4,0 . 10^{8}$.

Ta có hệ thức truy hồi $u_{1} = 1,0 . 10^{9}; u_{n + 1} = 1,25u_{n}-4,0 . 10^{8}$.

b) Ta tính $u_{5}$ như sau:

$u_{1} = 1,0 . 10^{9}$;

$u_{2} = 1,25u_{1}-4,0 . 10^8 = 1,25 . 1,0 . 10^{9}- 4,0 . 10^{8} = 8,5 . 10^{8}$;

$u_{3} = 1,25u_{2}-4,0 . 10^{8} = 1, 25 . 8,5 . 10^{8}-4,0 . 10^{8} = 6,625 . 10^{8}$;

$u_{4} = 1,25u_{3}-4,0 . 10^{8} = 1,25 . 6,625 . 10^{8}-4,0 . 10^{8} = 4,28125 . 10^{8}$;

$u_{5} = 1,25u_{4}-4,0 . 10^{8} = 1,25 . 4,28125 . 10^{8}-4,0 . 10^{8} = 1,3515625 . 10^{8} = 135 156 250$;

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.