Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

4.1. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD và gọi M là điểm bất kì thuộc cạnh SC.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (AMO) và (SCD)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BMO) và (SCD)

Hướng dẫn trả lời:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AMO) và (SCD) là SC

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (BMO) và (SCD) là DM

4.2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SCD)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SAD)

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBN)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AM và CD thì SP là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SCD)

b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi Q là giao điểm của BN và AD thì SQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SAD)

c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi R là giao tuyến của AM và BN thì SR là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAM) và (SBN)

4.3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Gọi P là điểm thuộc cạnh AD sao cho AP = 2DP. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD)

Hướng dẫn trả lời:

Trong mặt phẳng (ABD), gọi E là giao điểm của MP và BD, trong mặt phẳng (ACD) gọi F là giao điểm của NP và CD

Đường thẳng EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (BCD)

4.4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Gọi P là điểm thuộc cạnh BC sao cho PC = 2PB. 

a) Xác định giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP)

b) Xác định giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNP)

c) Xác định giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (BCD), gọi E là giao điểm của NP và BD thì E là giao điểm của đường thẳng BD và mặt phẳng (MNP)

b) Trong mặt phẳng (ABC), gọi F là giao điểm của MP và AC thì D là giao điểm của đường thẳng AC và mặt phẳng (MNP)

c) Trong mặt phẳng (ACD), gọi G là giao điểm của NF và AD thì G là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (MNP)

4.5. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SCD

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC)

b) Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SCD), gọi M là giao điểm của SO và CD. 

Trong mặt phẳng (ACD), gọi N là giao điểm của BM và AC. 

Khi đó N là điểm chung của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC)

Suy ra SN là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC)

b) Trong mặt phẳng (SBO) gọi P là giao điểm của SN và BO

Suy ra P là giao điểm của BO và mặt phẳng (SAC)

4.6. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F là các điểm lần lượt thuộc các cạnh AB, AC sao cho $AE=\frac{1}{2}BE$ và $AF=\frac{1}{2}CF$. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD)

b) Xác định giao điểm (nếu có) của đường thẳng AD và mặt phẳng (OEF)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (ABC), gọi G là giao điểm của EF và BC

Trong mặt phẳng (BCD) gọi H là giao điểm của OG và BD

Khi đó H là điểm chung của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD)

Suy ra EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (OEF) và (ABD)

b) Trong mặt phẳng (ABD), gọi I là giao điểm (nếu có) của EH của AD

Khi đó I là giao điểm của AD và (OEF)

4.7. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AB, AC, AD. Gọi O là một điểm nằm trong tam giác BCD

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (ACD)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (MNP)

c) Xác định giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng (MNP)

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (BCD) gọi E là giao điểm của BO và CD thì AE là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (ACD)

b) Trong mặt phẳng (ACD), gọi F là giao điểm của AE và NP 

Khi đó F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABO) và (MNP)

Suy ra MF là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABO) và (MNP)

c) Trong mặt phẳng (ABE), gọi G là giao điểm của AO và MF thì G là giao điểm của AO và (MNP)

4.8. Cho hình tứ diện SABC và các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh SA, SB, SC. Giả sử hai đường thẳng B’C’ và BC cắt nhau tại D, hai đường thẳng C’A’ và CA cắt nhau tại E và hai đường thẳng A’B’ và AB cắt nhau tại F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F thẳng hàng

Hướng dẫn trả lời:

Ba điểm D, E, F cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) 

Suy ra D, E, F thẳng hàng

4.9. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d và một điểm O nằm ngoài cả hai mặt phẳng đó. Gọi A, B là hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng (P) sao cho AB cắt d tại C. Gọi D, E lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OA, OB và mặt phẳng (Q). Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng

Hướng dẫn trả lời:

Ba điểm C, D, E cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (OAB) và (Q) 

Suy ra C, D, E thẳng hàng

4.10. Đánh dấu một điểm trên mép của tờ giấy A4 và dùng kéo cắt một đường bất kì đi qua điểm đó (trong khi cắt không xoay kéo). Hãy giải thích vì sao đường cắt nhận được trên tờ giấy luôn là đường thẳng

Hướng dẫn trả lời:

Đường cắt là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng chứa tờ giấy và mặt phẳng tạo bởi hai lưỡi kéo. 

Do đó đường cắt luôn là đường thẳng

4.11. Bạn Huy đổ nước màu vào một chiếc bể cá có các mặt đều làm bằng kính phẳng. Sau một vài hôm nước bay hơi một phần và để lại trên thành bể các vệt màu như trong hình 4.5. Huy quan sát thấy rằng, dù bể cá có hình dạng như thế nào, miễn là các mặt đều phẳng thì vệt màu trên mỗi thành bể đều là các đường thẳng. Hãy giải thích vì sao.

Hướng dẫn trả lời:

Vệt màu trên thành bể là giao tuyến của hai mặt phẳng: mặt phẳng tạo bởi thành bể và mặt nước

Do đó vệt màu luôn là đường thẳng

4.12. Một số chiếc bàn có thiết kế khung sắt là hai hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục, mặt bàn là một tấm gỗ phẳng được đặt lên phần khung như trong Hình 4.6. Tính chất hình học nào giải thích việc mặt bàn có thể được giữ cố định bởi khung sắt? (Giả sử khung sắt chắc chắn và được đặt cân đối).

Hướng dẫn trả lời:

Mặt bàn có thể được đỡ cố định bằng khung sắt dựa theo tính chất: một mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết nó chứa hai đường thẳng cắt nhau