Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

1.25. Giải các phương trình sau:

a) $2sin(\frac{x}{3}+15^{o})+\sqrt{2}=0$

b) $cos(2x+\frac{\pi}{5})=-1$

c) $3tan2x +\sqrt{3}=0$

d) $cot(2x-3)=cot15^{o}$

Hướng dẫn trả lời:

a) $2sin(\frac{x}{3}+15^{o})+\sqrt{2}=0$

$ \Leftrightarrow sin (\frac{x}{3}+15^{o})=-\frac{\sqrt{2}}{2}$

$ \Leftrightarrow sin(\frac{x}{3} + 15^{o})=sin(-45^{o})$

$\Leftrightarrow \frac{x}{3}+15^{o}=-45^{o}+k.360^{o}$ hoặc $\frac{x}{3}+15^{o}=180^{o}-(-45^{o})+k360^{o}$ $(k\in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=-180^{o} + k.1080^{o}$ hoặc $x = 630^{o}+k.1080^{o}$ $(k\in \mathbb{Z})$

b) $cos(2x+\frac{\pi}{5})=-1$

$\Leftrightarrow 2x +\frac{\pi}{5}=\pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x =\frac{2\pi}{5}+ k \pi (k \in \mathbb{Z})$

c) $3tan2x +\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow tan2x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$\Leftrightarrow tan2x=tan(-\frac{\pi}{6})$

$\Leftrightarrow 2x =-\frac{\pi}{6}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = -\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

d) $cot(2x-3)=cot15^{o}$

$\Leftrightarrow 2x-3 = 15^{o} + k.180^{o} (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = 1,5 + 7,5^{o} + k.90^{o} (k \in \mathbb{Z})$

1.26. Giải các phương trình sau:

a) $sin(2x + 15^{o})+cos(2x-15^{o})-0$

b) $cos(2x+\frac{\pi}{5})+cos(3x-\frac{\pi}{6})=0$

c) $tanx +cotx = 0$

d) $sinx + tanx = 0$

Hướng dẫn trả lời:

a) $sin(2x + 15^{o})+cos(2x-15^{o})-0$

$ \Leftrightarrow sin(2x + 15^{o})=-cos(2x-15^{o})$

$ \Leftrightarrow sin(2x+15^{o})=-sin[90^{o}-(2x-15^{o})]$

$ \Leftrightarrow sin(2x + 15^{o})=sin[-90^{o}+(2x-15^{o})]$

$ \Leftrightarrow sin(2x + 15^{o}) = sin(2x-105^{o})$

$ \Leftrightarrow 2x + 15^{o}=2x-105^{o} +k.360^{o}$ hoặc $2x+15^{o}=180^{o}-(2x-105^{o}) +k.360^{o} $ $(k\in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow 120^{o} = k.360^{o}$ (không xảy ra) hoặc $x = 67,5^{o} + k.90^{o} (k \in \mathbb{Z})$

b) $cos(2x+\frac{\pi}{5})+cos(3x-\frac{\pi}{6})=0$

$\Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{5}=cos[\pi – (3x-\frac{\pi}{6})]$

$\Leftrightarrow cos(2x+\frac{\pi}{5}=cos(\frac{7\pi}{6}-3x)$

$\Leftrightarrow 2x+\frac{\pi}{5}=\frac{7\pi}{6}-3x+k2\pi$ hoặc $2x+\frac{\pi}{5}=-(\frac{7\pi}{6}-2x)+k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = \frac{29\pi}{150} + k\frac{2\pi}{5}$ hoặc $x = \frac{41\pi}{30}-k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

c) $tanx +cotx = 0$

$\Leftrightarrow tanx = -cotx$

$\Leftrightarrow tan x = cot (\pi – x)$

$\Leftrightarrow tan x = tan[\frac{\pi}{2}-(\pi-x)]$

$\Leftrightarrow tanx = tan(x - \frac{\pi}{2})$

$\Leftrightarrow x = x-\frac{\pi}{2}+k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow \frac{\pi}{2}- k \pi = 0 (k \in \mathbb{Z})$ (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm

d) $sinx + tanx = 0$ (Điều kiện $cos x \neq 0$)

$\Leftrightarrow sinx + \frac{sinx}{cosx}=0$

$\Leftrightarrow sinx(1+\frac{1}{cosx}) = 0$

$\Leftrightarrow sinx = 0$ hoặc $1+\frac{1}{cosx}=0$

$\Leftrightarrow sinx = 0$ hoặc $cosx = -1$

$\Leftrightarrow sinx = 0$ (do $sin^{2}x+cos^{2}x=1$)

$\Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb{Z})$

1.27. Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) $cos^{6}x -sin^{6}x = 0$;

d) tan2x.cot x = 1. 

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0

$\Leftrightarrow 2+cosx= 0$ hoặc $3cos2x – 1=0$

+ Phương trình 2 + cos x = 0 vô nghiệm vì $-1 \leq cos x \leq 1$.

+ Gọi $\alpha$ là góc thoả mãn $cos\alpha =\frac{1}{3}$ . Ta có

$3cos2x -1=0\Leftrightarrow cos2x = cos\alpha \Leftrightarrow2x = \pm \alpha +k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \frac{\alpha}{2} + k\pi (k\in \mathbb{Z})$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = \pm \frac{\alpha}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ với $cos\alpha = \frac{1}{3}$

b) Ta có $2sin 2x - sin 4x = 0$

$\Leftrightarrow  2sin 2x - 2sin 2x cos 2x = 0$

$ \Leftrightarrow 2sin 2x(1 -cos2x) = 0$

$ \Leftrightarrow sin2x = 0$ hoặc $cos2x =1$

Do $sin^{2}2x+cos^{2}2x=1$ nên cos 2x = 1 kéo theo sin 2x = 0, do đó phương trình đã cho tương đương với

$sin2x= 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\frac{\pi}{2} ( k \in \mathbb{Z})$

c) Ta có $cos^{6}x -sin^{6}x=0$

$ \Leftrightarrow cos^{6}x =sin^{6}x$

$ \Leftrightarrow (cos^{2}x)^{3} = (sin^{2}x)^{3}$

$ \Leftrightarrow cos^{2}x = sin^{2}x$

$ \Leftrightarrow cos^{2}x -sin^{2}x=0$

$ \Leftrightarrow cos2x=0$

$ \Leftrightarrow 2x  =\frac{\pi}{2} + k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2} (k \in \mathbb{Z})$

d) Điều kiện $sinx \neq 0$ và $cos2x \neq 0$

Ta có $tan 2x cot x = 1$

$ \Leftrightarrow tan2x = \frac{1}{cotx}$

$ \Leftrightarrow tan2x = tanx$

$ \Leftrightarrow 2x = x +k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x = k\pi ( k \in \mathbb{Z})$

Ta thấy $ x = k\pi ( k \in \mathbb{Z})$ không thoả mãn điều kiện $sinx \neq 0$

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

1.28. Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) $y=cos(2x-\frac{\pi}{3})$ và $y=cos(x-\frac{\pi}{4})$

b) $y=sin(3x-\frac{\pi}{4})$ và $y= sin(x-\frac{\pi}{6})$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có: $cos(2x-\frac{\pi}{3}) = cos(x-\frac{\pi}{4})$

$ \Leftrightarrow 2x -\frac{\pi}{3} = x-\frac{\pi}{4} +k2\pi$ hoặc $2x-\frac{\pi}{3}=-(x-\frac{\pi}{4})+k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{12} +k2\pi$ hoặc $x = \frac{7\pi}{36} +k\frac{2\pi}{3}$ $(k \in \mathbb{Z})$

b) Ta có: $sin(3x-\frac{\pi}{4}=sin(x-\frac{\pi}{6})$

$ \Leftrightarrow 3x-\frac{\pi}{4}=x-\frac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $3x-\frac{\pi}{4}=\pi-(x-\frac{\pi}{6})+k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow x =\frac{\pi}{24} +k2\pi$ hoặc $x=\frac{17\pi}{48} +k\frac{\pi}{2}$ $(k \in \mathbb{Z})$

1.29. Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

$y=2+2,5sin2\pi (x-\frac{1}{4})$

với x là thời gian quay của guồng ($x \geq 0$), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì $-1 \leq sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 1$  nên $-2,5 \leq 2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 2,5$  và do đó ta có $2-2,5 \leq 2+2,5sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 2+ 2,5$

Hay $-0,5 \leq 2 + 2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4}) \leq 4,5 \forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi $sin 2\pi (x-\frac{1}{4})=1$

$\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2} +k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{2} +k (k \in \mathbb{Z})$ Do $x \geq 0$ nên $x=\frac{1}{2}+k (k \in \mathbb{N})$

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 12,32,52,...12,  32,  52,...  phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi $sin2\pi(x-\frac{1}{4})=-1$

$\Leftrightarrow 2\pi(x-\frac{1}{4})=\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$x=\frac{1}{2} + k(k\in \mathbb{Z})$. Do $x \geq 0$ nên $x =k ( k \in \mathbb{N})$

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi $2+2,5 sin2\pi (x-\frac{1}{4})=2$

$\Leftrightarrow sin2\pi (x-\frac{1}{4})=0$

$\Leftrightarrow 2\pi (x-\frac{1}{4})=k\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{4} +\frac{k}{2} (k \in \mathbb{Z})$

Do $x \geq 0$ nên $x =\frac{1}{4}+\frac{k}{2} (k \in \mathbb{N})$

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm $x=\frac{1}{4}$ phút.

1.30. Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

$L(t) =12+2,83sin(\frac{2\pi}{365} (t-80))$ với $t \in \mathbb{Z}$ và $0 <t \leq 365$

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Hướng dẫn trả lời:

Vì $-1\leq sin(\frac{2\pi}{365}(t-80)) \leq 1$  

Nên $-2,83 \leq 2,83sin(\frac{2\pi}{365}(t-80)) \leq 2,83$

Suy ra $12-2,83 \leq 12 + 2,83sin(\frac{2\pi}{365}(t-80)) \leq 12 + 2,83$

hay $9,17 \leq 12 + 2,83sin(\frac{2\pi}{365}(t-80)) \leq 14,83 \forall t \in \mathbb{R}$

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

$sin(\frac{2\pi}{365}(t-80))=-1$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365} (t-80) =-\frac{\pi}{2}+k2\pi (k \in \mathbb{Z})$

$\Leftrightarrow t =-\frac{45}{4} + 365k ( k\in \mathbb{Z})$

Vì $0 <t \leq 365$ nên k = 1 suy ra $t=-\frac{45}{4}+365=353,75$

Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với  

$sin(\frac{2\pi}{365}(t-80))=1$

$ \Leftrightarrow \frac{2\pi}{365} (t-80)=\frac{\pi}{2}+k2\pi ( k\in \mathbb{Z})$

$ \Leftrightarrow t =\frac{685}{4} + 365k ( k\in \mathbb{Z})$

Vì $0 < t\leq 365$ nên k = 0 suy ra $t =\frac{685}{4}=171,25$

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

$12 + 2,83 sin(\frac{2\pi}{365}(t-80))=10$

$ \Leftrightarrow sin(\frac{2\pi}{365}(t-80))=\frac{-200}{283}$

$\Leftrightarrow \frac{2\pi}{365}(t-80) \approx -0,78 +k2\pi$ hoặc $\frac{2\pi}{365}(t-80) \approx 3,93 +k2\pi$ $(k \in \mathbb{Z})$

Từ đó ta được $t \approx 34,69 + 365 k$ hoặc $t \approx 308,2 + 365k$ $(k\in \mathbb{Z})$

Vì $0 < t \leq 365$ nên k = 0 suy ra $t \approx 34,69$ hoặc $t \approx 308,3$

Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.