Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 6: Cấp số cộng

2.11.  Mỗi dãy số $(u_{n})$ sau có phải là một cấp số cộng hay không? Nếu có, hãy tìm số hạng đầu và công sai của nó:

a) $u_{n} = 4-3n$;

b) $u_{n} = n^{2} + 1$;

c) $u_{n} = 2n + 5$;

d) $u_{1} = 3, u_{n + 1} = u_{n} + n$.

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ $u_{n} = 4-3n$ suy ra $u_{n + 1} = 4-3(n + 1) = 4-3n-3 = 1-3n$.

Như vậy $u_{n + 1}-u_{n} = (1-3n)-(4-3n) =- 3$ không đổi với mọi n.  

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 4-3 = 1$ và công sai d = – 3.

b) Từ $u_{n} = n^{2} + 1$ suy ra $u_{n + 1} = (n + 1)^{2} + 1 = n^{2} + 2n + 2$.

Như vậy $u_{n + 1}-u_{n} = (n^{2} + 2n + 2)-(n^{2} + 1) = 2n + 1$, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

c) Từ $u_{n} = 2n + 5$ suy ra $u_{n + 1} = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7$.

Như vậy $u_{n + 1}-u_{n} = (2n + 7)-(2n + 5) = 2$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 2 + 5 = 7 và công sai d = 2.

d) Từ hệ thức truy hồi ta có $u_{n + 1} = u_{n} + n$, suy ra $u_{n + 1}-u_{n} = n$, phụ thuộc vào n.

Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.

2.12. Số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39.

a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

b) Tìm hệ thức truy hồi cho cấp số cộng.

c) Tìm công thức số hạng thứ n của cấp số cộng.

Hướng dẫn trả lời:

a) Do số hạng thứ tám của một cấp số cộng là 75 và số hạng thứ hai mươi là 39 nên ta có

$\left\{\begin{matrix}u_{8}=75\\u_{20}=39\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}+7d=75\\u_{1}+19d=39\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}=96\\d=-3\end{matrix}\right.$

Vậy cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1} = 96$ và công sai d = – 3.

b) Ta có  $u_{n + 1} = u_{n} + d = u_{n}-3$.

Vậy hệ thức truy hồi của cấp số cộng này là $\left\{\begin{matrix}u_{1}=96\\u_{n+1}=u_{n}-3\end{matrix}\right.$

c) Công thức tổng quát của cấp số cộng này là

$u_{n}=u_{1}+(n-1)d=96-(n-1).3=99-3n$

2.13. Tổng 20 số hạng đầu của một cấp số cộng với công sai bằng 3 là 650. Tìm số hạng đầu của cấp số cộng này.

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với n = 20 và d = 3 ta có

$650 =S_{20}=\frac{20}{2}[2u_{1}+(20-1).3]$

$\Leftrightarrow  2u_{1}+57=65$

$\Leftrightarrow u_{1}=4$

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là $u_{1} = 4$.

2.14. Tìm x để 2x, 3x + 2 và 5x + 3 là các số hạng liên tiếp của một cấp số cộng.

Hướng dẫn trả lời:

Vì 2x, 3x + 2, 5x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng nên ta suy ra

(3x + 2) – 2x = (5x + 3) – (3x + 2)

$\Leftrightarrow x+2=2x+1$

$\Leftrightarrow x = 1$

Thử lại, ta có ba số tìm được là 2, 5, 8 thoả mãn bài toán.

Vậy x = 1.

2.15. Phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của một cấp số cộng có số hạng đầu là 78 và công sai là – 4 để được tổng là 702?

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số cộng ta có

$702=S_{n}=\frac{n}{2}[2.78+(n-1)(-1)]$

$\Leftrightarrow n(160-4n)=1404$

$\Leftrightarrow 160n – 4n^{2}-1404=0$

$\Leftrightarrow n=27$ hoặc $n=13$

Suy ra n = 13 hoặc n = 27, tức là ta cần lấy 13 hoặc 27 số hạng đầu.

2.16. Một bức tường trang trí có dạng hình thang, rộng 2,4 m ở đáy và rộng 1,2 m ở đỉnh (hình vẽ bên). Các viên gạch hình vuông có kích thước 10 cm × 10 cm phải được đặt sao cho mỗi hàng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó. Hỏi sẽ cần bao nhiêu viên gạch hình vuông như vậy để ốp hết bức tường đó?

Hướng dẫn trả lời:

Đổi 2,4 m = 240 cm; 1,2 m = 120 cm.

Số viên gạch ở hàng đầu tiên (ứng với đáy lớn) là $u_{1} = 240 : 10 = 24$ (viên).

Số viên gạch ở hàng trên cùng (ứng với đáy nhỏ) là $u_{n} = 120 : 10 = 12$ (viên).

Vì mỗi hãng ở phía trên chứa ít hơn một viên so với hàng ở ngay phía dưới nó nên số viên gạch ở mỗi hàng (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng có công sai d = – 1 và số hạng đầu $u_{1} = 24$.

Như vậy, $u_{n} = u_{1} + (n-1)d = 24 + (n-1) . (-1) = 25-n$. Mà $u_{n} = 12$ nên 25 – n = 12.

Suy ra n = 13. 

Vậy số viên gạch hình vuông cần thiết để ốp hết bức tường đó là

$S_{13}=\frac{(u_{1}+u_{13}).13}{2}=\frac{(12+24).13}{2}=234$ (viên gạch)

2.17. Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó.

a) Cần bao nhiêu viên gạch cho bậc trên cùng?

b) Cần bao nhiêu viên gạch để xây cầu thang?

Hướng dẫn trả lời:

Theo bài ra ta có số viên gạch ở mỗi bậc thang (tính từ dưới lên) lập thành một cấp số cộng gồm 30 số với số hạng đầu $u_{1} = 100$ và công sai d = – 2.

Do đó, công thức của cấp số cộng biểu thị số viên gạch cho mỗi bậc cầu thang như sau:

$u_{1} = 100; u_{n + 1} = u_{n} + (-2)$ với $n\leq  1$.

a) Bậc trên cùng là bậc thứ 30. Do đó, số viên gạch cần cho bậc trên cùng là

$u_{30} = u_{1} + (30-1)d = 100 + 29 . (-2) = 42$ (viên gạch).

b) Ta có $S_{30}=u_{1}+u_{2}+…+u_{30}=\frac{30}{2}.[2.100+(30-1).(-2)]=2130$

Như vậy, ta cần 2 130 viên gạch để xây cầu thang.

2.18. Có bao nhiêu hàng ghế trong một góc khán đài của một sân vận động, biết rằng góc khán đài đó có 2 040 chỗ ngồi, hàng ghế đầu tiên có 10 chỗ ngồi và mỗi hàng ghế sau có thêm 4 chỗ ngồi so với hàng ghế ngay trước nó?

Hướng dẫn trả lời:

Số ghế ở mỗi hàng của góc khán đài lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 10$ và công sai d = 4.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với $S_{n} = 2 040, u_{1} = 10, d = 4$ để tìm n, ta có

$2040=S_{n}=\frac{n}{2}[2.10+(n-1).4]$

$\Leftrightarrow n(16+4n)=4080$

$\Leftrightarrow 4n^{2}+16n-4080=0$

$\Leftrightarrow n=30$ hoặc n = – 34 (loại).

Suy ra n = 30, tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.

2.19. Nếu anh Nam nhận được lời mời làm việc cho một công ty nước ngoài với mức lương khởi điểm là 35 000 đô la mỗi năm và được tăng thêm 1 400 đô la lương mỗi năm, thì sẽ mất bao nhiêu năm làm việc để tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la?

Hướng dẫn trả lời:

Lương mỗi năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu $u_{1} = 35 000$ và công sai d = 1 400.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với $S_{n} = 319 200, u_{1} = 35 000, d = 1 400$, ta có

$319 200 = S_{n} = \frac{n}{2}[2 . 35 000 + (n-1) .1 400]$

$\Leftrightarrow n(68600 + 1400n)=638400$

$\Leftrightarrow 1400n^{2}+68600n-638400=0$

Suy ra n = 8 hoặc n = – 57 (loại). Do đó n = 8.

Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la.

2.20. Nếu p, m và q lập thành một cấp số cộng thì dễ thấy $m=\frac{p+q}{2}$. Số m gọi là trung bình cộng của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác $m_{1}, m_{2}, ..., m_{k}$ sao cho p, $m_{1}, m_{2}, …, m_{k}$, q lập thành một cấp số cộng, chúng ta nói rằng chúng ta đã “chèn k trung bình cộng vào giữa p và q”.

a) Hãy chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12.

b) Tìm bốn trung bình cộng nằm giữa 16 và 91.

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1} = 4$ và $u_{2 + 3} = u_{5} = 12$.

Do tính chất của cấp số cộng nên $u_{5} = u_{1} + (5-1)d = 4 + 4d$. Suy ra d = 2.

Khi đó $u_{2} = 4 + 2 = 6, u_{3}= 6 + 2 = 8, u_{4} = 8 + 2 = 10$.

Vậy chèn ba trung bình cộng vào giữa 4 và 12 ta được cấp số cộng là: 4, 6, 8, 10, 12.

b) Theo định nghĩa, chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng có số hạng đầu $u_{1} = 16$ và $u_{2 + 4} = u_{6} = 91$.

Do tính chất của cấp số cộng nên $u_{6} = u_{1} + (16 – 1)d = 16 + 5d$. Suy ra d = 15.

Khi đó $u_{2} = 16 + 15 = 31, u_{3} = 31 + 15 = 46, u_{4} = 46 + 15 = 61, u_{5} = 61 + 15 = 76.$

Vậy chèn bốn trung bình cộng vào giữa 16 và 91 ta được cấp số cộng là 16, 31, 46, 61, 76, 91.

Vậy bốn số cần tìm là 31, 46, 61, 76.