Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài 7: Cấp số nhân

2.21. Chứng minh rằng mỗi dãy số $(u_{n})$ sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó.

a) $u_{n}=-3.(\frac{1}{2})^{n}$

b) $u_{n}=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Từ $u_{n}=-3.(\frac{1}{2})^{n}$ suy ra $u_{n+1}=-3.(\frac{1}{2})^{n+1}=-\frac{3}{2}.(\frac{1}{2})^{n}$

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{-\frac{3}{2}.(\frac{1}{2})^{n}}{-3.(\frac{1}{2})^{n}}=\frac{1}{2}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1}=-\frac{3}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

b) Từ $u_{n}=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$ suy ra $u_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{3^{n+1-1}}=\frac{2.2^{n}}{2.3^{n-1}}=\frac{2}{3}.\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$

Như vậy $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}=\frac{\frac{2}{3}.\frac{2^{n}}{3^{n-1}}}{\frac{2^{n}}{3^{n-1}}}=\frac{2}{3}$ không đổi với mọi n.

Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 2$ và công bội $q = \frac{2}{3}$

2.22. Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân 64, – 32, 16, – 8, ...

Hướng dẫn trả lời:

Do cấp số nhân có $u_{1} = 64$ và công bội $q =\frac{-32}{64}=-\frac{1}{2}$ nên số hạng thứ 10 của cấp số nhân là $u_{10}=u_{1}.q^{10-1}=64.(-\frac{1}{2})^{9}=-\frac{1}{8}$.

2.23. Cho một cấp số nhân với tất cả các các số hạng đều dương. Số hạng thứ 4 của cấp số nhân là 125 và số hạng thứ 10 là $\frac{125}{64}$. Tìm số hạng thứ 14 của cấp số nhân này.

Hướng dẫn trả lời:

Theo giả thiết ta có $\left\{\begin{matrix}u_{4}=125\\u_{10}=\frac{125}{64}\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u_{1}q^{3}=125\\u_{1}q^{9}=\frac{125}{64}\end{matrix}\right.$

Chia vế theo vế của hai phương trình trên ta được $q^{6}=\frac{1}{64} \Leftrightarrow q = \pm \frac{1}{2}$

Với $q=\frac{1}{2}$ thì $u_{1}=\frac{125}{q^{3}}=\frac{125}{(\frac{1}{2})^{3}}=1000$

Suy ra $u_{14}=u_{1}q^{13}=1000.(\frac{1}{2})^{13}=\frac{125}{1024}$

Với $q=-\frac{1}{2}$ thì $u_{1}=\frac{125}{q^{3}}=\frac{125}{(-\frac{1}{2})^{3}}=-1000$ < 0 (loại vì các số hạng của cấp số nhân đều là số dương).

Vậy số hạng thứ 14 của cấp số nhân đã cho là $u_{14}=\frac{125}{1024}$

2.24. Tìm x sao cho x, x + 2, x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.

Hướng dẫn trả lời:

Vì x, x + 2 và x + 3 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta suy ra

$x(x + 3) = (x + 2)^{2}$

$\Leftrightarrow  x^{2} + 3x = x^{2} + 4x + 4$

$\Leftrightarrow  x = -4.$

Thử lại, ta có ba số là – 4; – 2; – 1 thoả mãn bài toán.

Vậy x = − 4.

2.25. Tính các tổng sau:

a) $1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4^{9}$;

b) $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^{2}}{3}+...+\frac{2^{12}}{3}$

Hướng dẫn trả lời:

a) Ta có $1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4^{9} = 4^{0} + 4^{1} + 4^{2} + 4^{3} + ... + 4^{9}$.

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 4^{0} = 1$, công bội q = 4 và có 10 số hạng.

Vậy $1 + 4 + 16 + 64 + ... + 4^{9} = \frac{1.(1-4^{10})}{1-4} = 349 525$.

b) Ta có $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^{2}}{3}+...+\frac{2^{12}}{3}$

Ta nhận thấy các số hạng của tổng trên là cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = \frac{1}{3}$ và công bội q = 2 và có 13 số hạng.

Vậy $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{2^{2}}{3}+...+\frac{2^{12}}{3}=\frac{\frac{1}{3}(1-2^{13})}{1-2}=\frac{8191}{3}$

2.26. Các bệnh truyền nhiễm có thể lây lan rất nhanh. Giả sử có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo. Tính đến hết tuần thứ 10 của đợt dịch, có bao nhiêu người đã bị lây bởi căn bệnh này?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là số người bị bệnh ở cuối tuần thứ n. Vì có năm người bị bệnh trong tuần đầu tiên của một đợt dịch, và mỗi người bị bệnh sẽ lây bệnh cho bốn người vào cuối tuần tiếp theo nên dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 5$ và công bội q = 4.

Suy ra số người bị ảnh hưởng bởi dịch bệnh ở cuối tuần 10 là

$u_{10} = u_{1}q^{9} = 5 . 4^{9} = 1 310 720$ (người).

2.27. Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hàng năm là 5%, thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n.

Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số $(u_{n})$ là một cấp số nhân có $u_{1} = 180$ và công bội q = 1 + 5% = 1,05.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là $u_{6} = u_{1}q^{5} = 180 . (1,05)^{5} \approx 229,73$ (triệu đồng).

2.28. Để tích luỹ tiền cho việc học đại học của con gái, cô Hoa quyết định hàng tháng bỏ ra 500 nghìn đồng vào tài khoản tiết kiệm, được trả lãi 0,5% cộng dồn hàng tháng. Cô bắt đầu chương trình tích lũy này khi con gái cô tròn 3 tuổi. Cô ấy sẽ tích luỹ được bao nhiêu tiên vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180? Lúc này con gái cô Hoa bao nhiêu tuổi?

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là số tiền (triệu đồng) mà cô Hoa có trong chương trình tích luỹ ở lần gửi thứ n (vào đầu tháng thứ n).

Kí hiệu a = 0,5 triệu đồng, r = 0,5% .

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 1 là $u_{1} = a$.

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 2 là

$u_{2} = u_{1}(1 + r) + a = a(1 + r) + a.$

Số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng 3 là

$u_{3} = u_{2}(1 + r) + a = a(1 + r)^{2} + a(1 + r) + a$.

Tương tự cho các tháng tiếp theo, suy ra số tiền của cô Hoa trong chương trình ở đầu tháng n là

$u_{n} = a(1 + r)^{n-1} + a(1 + r)^{n-2} + ... + a(1 + r) + a$

$= a[(1 + r)^{n-1} + (1 + r)^{n-2} + ... + (1 + r) + 1]$

$= a.\frac{(1+r)^{n}-1}{(1+r)-1}=a\frac{(1+r)^{n}-1}{r}$ 

Vào thời điểm gửi khoản tiền thứ 180, cô ấy sẽ tích luỹ được

$u_{180}=0,5.\frac{(1+0,5%)180-1}{0,5%} \approx 145,41$ (triệu đồng).

Khi đó, tuổi của con gái cô Hoa là 3 + 180 : 12 = 18 (tuổi).

2.29. Các cạnh của hình vuông ban đầu có chiều dài 16 cm. Một hình vuông mới được hình thành bằng cách nối các điểm giữa của các cạnh của hình vuông ban đầu và hai trong số các hình tam giác kết quả được tô màu (hình vẽ dưới). Nếu quá trình này được lặp lại năm lần nữa, hãy xác định tổng diện tích của vùng được tô màu.

Hướng dẫn trả lời:

Gọi $u_{n}$ là diện tích hai tam giác được tô màu ở lần thực hiện thứ n.

Gọi a là độ dài cạnh của hình vuông ban đầu.

Hai tam giác được tạo thành là các tam giác vuông cân có độ dài cạnh góc vuông bằng $\frac{1}{2}$ độ dài của hình vuông trước mỗi lần chia.

Ở lần 1 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{4}$ nên $u_{1} = 2.\frac{1}{2}.(\frac{a}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2^{2}}$ và độ dài cạnh hình vuông sau đó là $\sqrt{(\frac{a}{2})^{2}+(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (sử dụng định lí Pythagore).

Ở lần 2 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $u_{2}=2.\frac{1}{2}.(\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}=\frac{a^{2}}{2^{3}}$

Ở lần 3 thì độ dài cạnh tam giác vuông cân là $\frac{a}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}$, suy ra $u_{3}=\frac{a^{2}}{2^{4}}$

Cứ tiếp tục như vậy, ta được dãy số (un) là cấp số nhân với $u_{1}=\frac{a^{2}}{2^{2}}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$

Với a = 16 cm thì $u_{1}=\frac{16^{2}}{2^{2}}=64$ cm.

Vậy tổng diện tích sau năm lần thực hiện là

$S_{5}=u_{1}\frac{1-q^{5}}{1-q}=64.\frac{1-(\frac{1}{2})^{5}}{1-\frac{1}{2}}=124$ $(cm^{2})$.

2.30. Nếu p, m và q lập thành một cấp số nhân thì dễ thấy $m^{2} = pq$. Số m được gọi là trung bình nhân của p và q. Cho hai số p và q, nếu ta tìm được k số khác $m_{1}, m_{2}, ..., m_{k}$ sao cho p, $m_{1}, m_{2}, ..., m_{k}$, q lập thành một cấp số nhân thì chúng ta nói rằng đã “chèn k trung bình nhân vào giữa p và q”. Hãy

a) Chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24;

b) Chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576.

Hướng dẫn trả lời:

a) Theo định nghĩa, chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân có số hạng đầu $u_{1} = 3$ và $u{2 + 2} = u_{4} = 24$.

Do tính chất của cấp số nhân nên $u_{4} = u_{1}q^{3} = 3q^{3} = 24$. Suy ra q = 2.

Khi đó $u_{2} = 3 . 2 = 6, u_{3} = 6 . 12 = 12.$

Vậy chèn hai trung bình nhân vào giữa 3 và 24 ta được cấp số nhân là: 3, 6, 12, 24.

b) Theo định nghĩa, chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân có $u_{1} = 2,25$ và $u_{2 + 3} = u_{5} = 576$.

Do tính chất của cấp số nhân nên $u_{5} = u_{1}q^{4} = 2,25q^{4} = 576$. Suy ra $q = \pm 4$.

+ Với q = 4, ta có $u_{2} = 2,25 . 4 = 9; u_{3} = 9 . 4 = 36; u_{4} = 36 . 4 = 144$.

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; 9; 36; 144; 576.

+ Với q = −4, ta có $u_{2}=2,25.(-4)=-9; u_{3}=(-9).(-4)=36; u_{4} = 36.(-4) =-144$

Khi đó chèn ba trung bình nhân vào giữa 2,25 và 576 ta được cấp số nhân 2,25; − 9; 36; − 144; 576.