Giải sách bài tập Toán học 11 Tập 1 Kết nối Bài: Ôn tập cuối chương IV

4.48. Trong không gian cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Nếu c là một đường thẳng song song với a thì

A. c và b song song

B. c và b cắt nhau

C. c và b chéo nhau

D. c và b không song song với nhau

Hướng dẫn trả lời:

Trong không gian cho hai đường thẳng cắt nhau a và b. Nếu c là một đường thẳng song song với a thì c và b không song song với nhau. 

Đáp án: D

4.49. Cho tứ diện ABCD. Một mặt phẳng cắt các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ diện lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó

A. MN, AC, PQ đồng quy.     

B. MN, AC, PQ đôi một song song.          

C. MN, AC, PQ đôi một chéo nhau.

D. MN, AC, PQ đôi một song song hoặc chéo nhau.

Hướng dẫn trả lời:
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Đáp án: D

4.50. Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b là:

A. song song

B. chéo nhau       

C. trùng nhau

D. cắt nhau

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: A

Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì a//b

4.51. Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một song song với nhau. Đường thẳng d cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A, B, C. Đường thẳng d’ cắt các mặt phẳng (P), (Q), (R) lần lượt tại A’, B’, C’. Biết rằng $\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$, tỉ số $\frac{A′B′}{A′C′}$ bằng

A. $\frac{1}{3}$   

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án B.

Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng đôi một song song (P), (Q), (R) và hai cát tuyến d, d’ ta có: $\frac{A′B′}{A′C′}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$

4.52.  Chọn hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD). Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). Khi đó, d đi qua S và song song với

A. AC        

B. CD                  

C. BD        

D. BC

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án B.

Vì AB//CD, CD nằm trong mặt phẳng (SCD) và S là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó, giao tuyến d là đường thẳng d qua S và song song với CD.

4.53. Cho tứ diện ABCD có E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng EF và cắt mặt phẳng (ABD) theo giao tuyến d. Khi đó

A. d song song với BC

B. d song song với AB

C. d song song với BD

D. d song song với CD

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án C.

Vì EF là đường trung bình của tam giác BCD nên EF//BD.

Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (ABD) là đường thẳng song song với BD.

4.54. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hình chiếu song song của điểm A trên mặt phẳng (CDD’C’) theo phương BC’ là:

A. D’                   

B. D                     

C. B                     

D. C’

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án A.

Tứ giác AD’C’B có: AB//D’C’ (cùng song song với A’B’), AB = C′D′ (= A′B′) nên tứ giác AD’C’B là hình bình hành, do đó AD’//BC’.

Ta có, D’ là giao điểm của AD’ và mặt phẳng (CDD’C’), AD’//BC’.

Do đó, hình chiếu song song của điểm A trên mặt phẳng (CDD’C’) theo phương BC’ là điểm D’

4.55. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d. Khi đó

A. d là tập hợp tất cả các điểm nằm trong mặt phẳng (P) và nằm ngoài mặt phẳng (Q)

B. d là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài mặt phẳng (P) và nằm trong mặt phẳng (Q)        

C. d là tập hợp tất cả các điểm nằm ngoài cả hai mặt phẳng (P) và (Q)    

D. d là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q)    

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án: D.

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau nên d nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó, d là tập hợp tất cả các điểm nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

4.56. Cho mặt phẳng (P) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Qua A có vô số mặt phẳng song song với (P)                   

B. Qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P)                       

C. Qua A không có mặt phẳng song song với (P)                            

D. Qua A có đúng hai mặt phẳng song song với (P)

Hướng dẫn trả lời:

Đáp án B.

Vì điểm A nằm ngoài mặt phẳng (P) nên qua A có đúng một mặt phẳng song song với (P).

TỰ LUẬN

4.57. Cho hình chóp ngũ giác S.ABCDE. Giả sử AB song song với DE.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE).

c) Giả sử giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) song song với đường thẳng AE. Chứng minh AE//BC

Hướng dẫn trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng AD và BE thì SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBE).

b) Vì AB//DE nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDE) là đường thẳng m đi qua S và song song với AB.

c) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAE) và (SBC) thì d//AE. Vì d nằm trong mặt phẳng (SBC) nên AE//(SBC). Mặt phẳng (SBC) song song với đường thẳng AE nằm trong mặt phẳng (ABCDE) nên giao tuyến BC của hai mặt phẳng đó song song với AE.

4.58. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, AB, AC

a) Chứng minh rằng BC//(MNP).

b) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNP) và (A’B’C’)

c) Chứng minh rằng d//NP

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì NP là đường trung bình của tam giác ABC nên BC//NP, suy ra BC//(MNP).

b) Trong mặt phẳng (ABB’A’), gọi E là giao điểm của MN và A’B’. 

Trong mặt phẳng (ACC’A’) gọi F là giao điểm của MP và A’C’. 

Khi đó, EF là giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (A’B’C’).

c) Vì BC//NP và BC//B’C’ nên NP//B’C’, suy ra NP//(A’B’C’). 

Mặt phẳng (MNP) chứa đường thẳng NP//(A’B’C’) 

Suy ra giao tuyến d của hai mặt phẳng đó song song với B’C’, Hay d//NP.

4.59. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD và cắt hai cạnh SB, SC lần lượt tại E, F.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).

b) Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình thang.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB).

d) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) song song với giao tuyến của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD).

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì AB//CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (EAB) và (FCD) là đường thẳng m đi qua S và song song với AB.

b) Vì AD//BC nên AD//(SBC)

Vì mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AD song song với mặt phẳng (SBC) nên giao tuyến EF của hai mặt phẳng đó song song với AD. Do đó, tứ giác AEFD là hình thang.

c) Trong mặt phẳng (AEDF), gọi L là giao điểm của AF và ED.

Trong mặt phẳng (SBC), gọi K là giao điểm của BF và CE.

Khi đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) là đường thẳng KL.

d) Hai mặt phẳng (ECD) và (FAB) lần lượt chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến KL của hai mặt phẳng đó song song với AB. Do đó, KL//m.

4.60. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB//CD). Gọi O là một điểm nằm trong tam giác SAD.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng AO và mặt phẳng (SCD).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).

c) Xác định giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

Hướng dẫn trả lời:

a) Trong mặt phẳng (SAD), gọi E là giao điểm của AO và SD thì E là giao điểm của AO và mặt phẳng (SCD).

b) Trong mặt phẳng (SAD), gọi F là giao điểm của SO và AD. Trong hình thang ABCD, đường thẳng AC cắt BF tại G. Khi đó, SG là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBO) và (SAC).

c) Trong mặt phẳng (SBO), gọi H là giao điểm của BO và SG thì H là giao điểm của đường thẳng BO và mặt phẳng (SAC).

4.61. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, M’, N’ lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, A’B’, C’D’.

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M’, N’ đồng phẳng và tứ giác MNN’M’ là hình bình hành

b) Giả sử MN không song song với BC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MNN’M’) và (BCC’B’).

Hướng dẫn trả lời:

a) Vì M, M’ lần lượt là trung điểm của AB, A’B’ của hình bình hành ABB’A’ nên MM’//AA’ và MM′ = AA′

Tương tự ta có: NN’//DD’ và NN′ = DD′

Tứ giác ADD’A’ là hình bình hành nên AA’//DD’ và AA′ = DD′.

Do đó, MM′ = NN′ và MM’//NN’, suy ra bốn điểm M, N, M’, N’ đồng phẳng và tứ giác MNN’M’ là hình bình hành.

b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MN và BC.

Vì BB’// MM’ nên giao tuyến của hai mặt phẳng (MNN’M’) và (BCC’B’) là đường thẳng d qua P và song song với BB’.

4.62. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’, DD’. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng và MNPQ là hình bình hành.

Hướng dẫn trả lời:

Vì M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA’, BB’ của hình bình hành ABB’A’ nên MN//AB, mà AB nằm trong mặt phẳng ABCD nên MN//(ABCD)

Tương tự ta có: NP//(ABCD)

Do đó, (MNP)//(ABCD)

Tương tự ta có: (NPQ)//(ABCD)

Qua N có hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) cùng song song với mặt phẳng (ABCD) nên hai mặt phẳng (MNP) và (NPQ) trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Chứng minh được: MN//PQ và $MN=PQ(=\frac{1}{2}AB)$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

4.63. Một người thợ đang cố gắng đặt tấm kính ABCD (mép AB không song song với CD) dựa vào tường sao cho mép kính CD song song với đường chân tường, còn mép AB nằm hoàn toàn trên tường. Sau một hồi loay hoay, người thợ vẫn không thể đặt được tấm kính như mong muốn. Hãy giải thích tại sao.

Có cách nào để đặt tấm kính để một mép kính song song với đường chân tường, một mép kính khác nằm hoàn toàn trên tường không?

Hướng dẫn trả lời:

Áp dụng định lí ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng gồm: mặt đất, mặt tường và mặt kính. Khi đó ba giao tuyến là mép chân tường và hai mép kính AB, CD. Vì AB không song song với CD nên ba giao tuyến đồng quy, vì vậy, không thể đặt tấm kính sao cho mép CD song song với chân tường.

Có thể đặt tấm kính sao cho mép kính BC nằm trên tường và mép kính AD nằm trên mặt đất. Khi đó, cả hai mép kính đều song song với đường chân tường.