Giải toán 10 tập 1 CTST bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ

1. Giá trị lượng giác

Khám phá 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1 nằm phía trên trục hoành được gọi là nửa đường tròn đơn vị. Cho trước một góc nhọn $\alpha$, lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = $\alpha$. Giả sử điểm M có tọa độ ($x_{0}$; $y_{0}$). Trong tam giác vuông OHM, áp dụng cách tính các tỉ số lượng giác của một góc nhọn đã học ở lớp 9, chứng tỏ rằng:

sin$\alpha$ = $y_{0}$; cos$\alpha$ = $x_{0}$; tan$\alpha$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$; cot$\alpha$ = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$

Trả lời:

Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:

sin$\alpha$ = $\frac{MH}{OM}$ = $\frac{y_{0}}{R}$ = $\frac{y_{0}}{1}$ = $y_{0}$

cos$\alpha$ = $\frac{OH}{OM}$ = $\frac{x_{0}}{R}$ = $\frac{x_{0}}{1}$ = $x_{0}$

tan$\alpha$ = $\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$ = $\frac{y_{0}}{x_{0}}$

cot$\alpha$ = $\frac{cos\alpha}{sin\alpha}$ = $\frac{x_{0}}{y_{0}}$

Thực hành 1:

Tìm giá trị lượng giác góc $135^{\circ}$

Trả lời:

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$ = $135^{\circ}$. Ta có: $\widehat{MOy}$ = $135^{\circ}$ - $90^{\circ}$ = $45^{\circ}$.

 Tam giác OMH vuông cân tại H nên OH = MH = $\frac{OM}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow$ Tọa độ điểm M là $\left ( - \frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.

Vậy theo định nghĩa ta có: 

sin$135^{\circ}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; cos$135^{\circ}$ = - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

tan$135^{\circ}$ = -1; cot$135^{\circ}$ = -1

2. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

Khám phá 2: Trên nửa đường tròn đơn vị, cho dây cung NM song song với trục Ox (Hình 4). Tính tổng số đo của hai góc $\widehat{xOM}$ và $\widehat{xON}$.

Trả lời: 

Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ N xuống Ox.

Vì $\widehat{xOM}$ = $\widehat{HON}$ nên $\widehat{xOM}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HON}$ + $\widehat{xON}$ = $\widehat{HOx}$ = $180^{\circ}$

Thực hành 2: Tính các giá trị lượng giác: sin$120^{\circ}$; cos$150^{\circ}$, cot$135^{\circ}$

Trả lời:

sin$120^{\circ}$ = sin$(180^{\circ} - 60^{\circ})$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

cos$150^{\circ}$ = -cos$30^{\circ}$ = - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

cot$135^{\circ}$ = -cot$45^{\circ}$ = -1

Vận dụng 1: Cho biết sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$, tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) bằng cách vẽ nửa đường tròn đơn vị).

Trả lời:

Theo định nghĩa, sin$\alpha$ = $y_{0}$ = $\frac{1}{2}$. Ta có hình vẽ:

Do sin$\alpha = \frac{1}{2}$ nên tung độ của M bằng $\frac{1}{2}$.

Vậy ta xác định được hai điểm N và M thỏa mãn sin$\widehat{xON}$ = sin$\widehat{xOM}$ = $\frac{1}{2}$.

Đặt $\beta$ = $\widehat{xOM}$ $\Rightarrow$ $\widehat{xON}$ = $180^{\circ}$ - $\beta$

Xét tam giác OHM vuông tại H ta có: MH = $\frac{1}{2}$ = $\frac{OM}{2}$ $\Rightarrow$ $\beta$ = $30^{\circ}$

$\Rightarrow$ $\widehat{xON}$ = $180^{\circ}$ - $30^{\circ}$ = $150^{\circ}$

Vậy $\alpha$ = $30^{\circ}$ hoặc $\alpha$ = $150^{\circ}$

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Thực hành 3: Tính: A = sin$150^{\circ}$ + tan$135^{\circ}$ + cot$45^{\circ}$;        B = 2cos$30^{\circ}$ - 3tan$150^{\circ}$ + cot$135^{\circ}$

Trả lời:

A = sin$150^{\circ}$ + tan$135^{\circ}$ + cot$45^{\circ}$

   = $\frac{1}{2}$ + (-1) + 1 = $\frac{1}{2}$

B = 2cos$30^{\circ}$ - 3tan$150^{\circ}$ + cot$135^{\circ}$

   = 2.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - 3.(- $\frac{\sqrt{3}}{3}$) + (-1) = -1 + 2$\sqrt{3}$

Vận dụng 2: Tìm góc $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$) trong mỗi trường hợp sau:

a) sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$;     b) cos$\alpha$ = $\frac{-\sqrt{2}}{2}$;      c) tan$\alpha$ = -1;       d) cot$\alpha$ = -$\sqrt{3}$

Trả lời:

a) $\alpha$ =  $60^{\circ}$ hoặc $\alpha$ =  $120^{\circ}$          b) $\alpha$ =  $135^{\circ}$

c) $\alpha$ =  $135^{\circ}$                                          d) $\alpha$ =  $150^{\circ}$

4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc

Thực hành 4:

a) Tính cos$80^{\circ}$43'51''; tan$47^{\circ}$12'25''; cot$99^{\circ}$9'19''.

b) Tìm $\alpha$ ($0^{\circ} \leq \alpha \leq 180^{\circ}$), biết cos$\alpha$ = -0.723

Trả lời:

a) cos$80^{\circ}$43'51'' $\approx$ 0,161

tan$47^{\circ}$12'25'' $\approx$ 1,08

cot$99^{\circ}$9'19'' $\approx$ -0,161

b) $\alpha$ $\approx$ $136^{\circ}$18'10''