Giải toán 10 tập 1 CTST bài tập cuối chương V

1. Cho ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ đều khác vectơ $\vec{0}$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.

b) Nếu hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng ngược hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.

Trả lời: Các khẳng định trên đều đúng.

2. Cho hình chữ nhật ABCD có  là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài các vectơ $\vec{AC}$, $\vec{BD}$.

b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a\sqrt{10}}{2}$.

Trả lời:

a) |$\vec{AC}$| = |$\vec{BD}$| =  $\sqrt{AB^{2} + BC^{2}}$ = $\sqrt{9a^{2} + a^{2}}$ = $\sqrt{10}$

b) Các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{\sqrt{10}}{2}$ là: $\vec{OA}$ và $\vec{OC}$; $\vec{AO}$  và $\vec{CO}$; $\vec{OA}$ và $\vec{AO}$, $\vec{OC}$ và $\vec{CO}$; $\vec{OB}$ và $\vec{OD}$; $\vec{BO}$ và $\vec{DO}$; $\vec{OB}$ và $\vec{BO}$; $\vec{OD}$ và $\vec{DO}$.

3. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng $60^{\circ}$. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$; $\vec{AB}$ - $\vec{AD}$; $\vec{v}$ = 2$\vec{AB}$ - $\vec{AC}$.

Trả lời:

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{p}$ = $\vec{AB}$ + $\vec{AD}$ = $\vec{AC}$

$\Rightarrow$ |$\vec{p}$| = |$\vec{AC}$| = $\sqrt{AB^{2} + AD^{2} + 2.AB.AD. cos\widehat{BAD}}$ =

$\sqrt{a^{2} + a^{2} + 2. a. a.cos60^{\circ}} = \sqrt{3}a$

Ta có: $\vec{u}$ = $\vec{AB}$ - $\vec{AD}$ = $\vec{DB}$

$\Rightarrow$ |$\vec{u}$| = |$\vec{DB}$| = BD = a

Ta có: $\vec{v}$ = 2$\vec{AB}$ - $\vec{AC}$ = $\vec{AB}$ - $\vec{AC}$ + $\vec{AB}$ = $\vec{CB }$ + $\vec{AB}$ = $\vec{DA}$ + $\vec{AB}$ = $\vec{DB}$

$\Rightarrow$ |$\vec{v}$| = |$\vec{DB}$| = BD = a.