Giải Toán 8 sách VNEN bài 2: Luyện tập về định lí Ta-lét

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 54 sách VNEN 8 tập 2

Tìm x, y trong hình 11

Trả lời:

b) Vì GH // NP theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{MG}{MN}$ = $\frac{GH}{NP}$ $\frac{7,5}{7,5 + 15}$ = $\frac{6}{x}$ $\Rightarrow $ x = 18.

c) Vì QP // AB theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{QP}{AB}$ = $\frac{PO}{OA}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{4,2}{x}$ = $\frac{3,5}{7}$  $\Rightarrow $ x = 8,4

$\Delta $ OAB vuông tại A nên $OB^{2}$ = $AO^{2}$ + $AB^{2}$ $\Leftrightarrow $ $y^{2}$ = $7^{2}$ + $x^{2}$ = $7^{2}$ + $8,4^{2}$ $\Rightarrow $ y = 7$\frac{\sqrt{61}}{5}$

Câu 2: Trang 54 sách VNEN 8 tập 2

Tam giác ABC có đường cao AD. Đường thẳng d song song với BC, cắt AB, AC và đường cao AD theo thứ tự tại các điểm B', C', D' (h.12).

a) Chứng minh: $\frac{AD'}{AD}$ = $\frac{B'C'}{BC}$.

b) Áp dụng: Cho biết AD' = $\frac{1}{4}$AD và diện tích tam giác ABC là 73,2 $cm^{2}$. Tính diện tích tam giác AB'C'.

Trả lời:

a) Vì B'C' // BC theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{B'C'}{BC}$ = $\frac{AB'}{AB}$

Vì B'D' // BD theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AD'}{AD}$ = $\frac{AB'}{AB}$

Suy ra: $\frac{AD'}{AD}$ = $\frac{B'C'}{BC}$.

b) Theo kết quả câu a: $\frac{B'C'}{BC}$ = $\frac{AD'}{AD}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{B'C'}{BC}$ = $\frac{1}{4}$ 

Ta có: S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$AD.BC 

           S$\Delta $AB'C' = $\frac{1}{2}$AD'.B'C'

$\Leftrightarrow $ $\frac{ S\Delta ABC }{S\Delta AB'C'}$ = $\frac{\frac{1}{2}AD.BC }{\frac{1}{2}AD'.B'C'}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{73,2}{S\Delta AB'C'}$ = $\frac{AD.BC}{AD'.B'C'}$ = $\frac{AD}{AD'}$. $\frac{BC}{B'C'}$ = 4.4 = 16

Suy ra S$\Delta $AB'C' = $\frac{73,2}{16}$ = 4,575 $cm^{2}$

Câu 3: Trang 54 sách VNEN 8 tập 2

Tam giác ABC có BC = 18cm. Trên đường cao AH lấy các điểm I,K sao cho AK = KI = IH. Qua I và K lần lượt vẽ các đường PQ // BC, MN // BC (h.13).

a) Tính độ dài các đoạn thẳng MN và PQ.

b) Tính diện tích tứ giác MNPQ, biết rằng diện tích của $\Delta $ABC là 360$cm^{2}$.

Trả lời:

a) * Vì MN // BC theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{MN}{BC}$ = $\frac{AM}{AB}$ 

 Vì MK // BH theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{AB}$ = $\frac{AK}{AH}$ = $\frac{1}{3}$ 

$\Rightarrow $ $\frac{MN}{BC}$ = $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{1}{3}$ 

$\Rightarrow $ MN = $\frac{1}{3}$.BC = $\frac{1}{3}$.18 = 6cm.

* Vì PQ // BC theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{PQ}{BC}$ = $\frac{AP}{AB}$ 

 Vì PI // BH theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AP}{AB}$ = $\frac{AI}{AH}$ = $\frac{2}{3}$ 

$\Rightarrow $ $\frac{PQ}{BC}$ = $\frac{AP}{AB}$ = $\frac{2}{3}$ 

$\Rightarrow $ PQ = $\frac{2}{3}$.BC = $\frac{2}{3}$.18 = 12cm.

b) Ta có:

S$\Delta $AMN = $\frac{1}{2}$.AK.MN

S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$.AH.BC

$\Leftrightarrow $ $\frac{S\Delta AMN}{S\Delta ABC}$ = $\frac{\frac{1}{2}.AK.MN}{\frac{1}{2}.AH.BC}$ = $\frac{AK}{AH}$.$\frac{MN}{BC}$ = $\frac{1}{3}$.$\frac{6}{18}$ = $\frac{1}{9}$ 

$\Leftrightarrow $ S$\Delta $AMN = $\frac{1}{9}$.S$\Delta $ABC = $\frac{1}{9}$.360 = 40 $cm^{2}$

$\Rightarrow $ Diện tích tứ giác MNQP = S$\Delta $ABC - S$\Delta $AMN = 360 - 40 = 320 $cm^{2}$

Vậy diện tích tứ giác MNQP là 320 $cm^{2}$

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 55 sách VNEN 8 tập 2

Thực hành chia đoạn thẳng

a) Để chia đoạn thẳng AB thanh 4 đoạn thẳng bằng nhau, người ta đã làm như hình 14. Hãy mô tả lại cách làm trên và giải thích tại sao các đoạn thẳng AC, CD, DE, EB bằng nhau?

b) Bằng cách làm tương tự, hãy chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn bằng nhau. Hỏi có các nào khác với cách làm như trên mà vẫn có thể chia đoạn thẳng AB cho trước thành 5 đoạn thẳng bằng nhau?

Trả lời:

a) * Mô tả cách làm:

Vẽ đường thẳng a // AB, trên a lấy 5 điểm M, N, P, Q, H sao cho MN = NP = PQ = QH = 1 (đơn vị)

Xác định giao điểm O của hai đoạn thẳng MB và HA

Vẽ các đường thẳng NO, PO, QO cắt AB lần lượt tại E, D, C ta được các đoạn AC = CD = DE = EB.

* Giải thích:

Chứng minh AC = CD = DE = EB

* $\Delta $ OMN VÀ $\Delta $ OBE CÓ MN // EB nên:

$\frac{MN}{EB}$ = $\frac{ON}{OE}$ (1)

* $\Delta $ ONP VÀ $\Delta $ OED CÓ MN // DE nên:

$\frac{NP}{DE}$ = $\frac{ON}{OE}$ = $\frac{OP}{OD}$ (2)

* $\Delta $ OPQ VÀ $\Delta $ ODC CÓ PQ // CD nên:

$\frac{PQ}{CD}$ = $\frac{OP}{OD}$ = $\frac{OQ}{OC}$ (3)

* $\Delta $ OQH VÀ $\Delta $ OCA CÓ QH // AC nên:

$\frac{QH}{AC}$ = $\frac{OQ}{OC}$ (4)

Từ (1), (2), (3), (4) ta có $\frac{MN}{EB}$ = $\frac{NP}{DE}$ = $\frac{PQ}{CD}$ = $\frac{QH}{AC}$

Vì MN = NP = PQ = QH nên AC = CD = DE = EB (đpcm).

b) Ta có thể chia đoạn thẳng AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau bằng cách như sau:

Vẽ 6 đường thẳng song song cách đều nhau từ đầu mút A đến đầu mút B thì các đường thẳng đó sẽ cắt AB thành 5 đoạn thẳng bằng nhau.

Câu 2: Trang 55 sách VNEN 8 tập 2

Có thể đo được chiều rộng của một khúc sông mà không cần phải sang bên kia bờ hay không?

Người ta tiến hành đo đạc các yếu tố hình học cần thiết để tính chiều rộng của khúc sông mà không cần qua bờ bên kia (h.15). Nhìn hình vẽ đã cho, hãy mô tả những công việc cần làm và tính khoảng cách AB = x theo BC = a, B'C' = a', BB' = h.

Trả lời:

* Mô tả cách làm:

- Chọn một điểm A cố định bên mép bờ sông bên kia, đặt hai điểm B và B' thẳng hàng với A, điểm B sát mép bờ còn lại, khi đó AB chính là khoảng cách cần đo.

- Kẻ hai đường thẳng vuông góc với AB' tại B và B', lấy C và C' thuộc hai đường thẳng đó và thẳng hàng với A.

- Sau đó đo độ dài các đoạn BB '= h, BC= a, B'C' = a'.

* Giải:

Ta có: BC // B'C' nên:

$\frac{AB}{AB'}$ = $\frac{BC}{B'C'}$ 

$\Leftrightarrow $ $\frac{x}{x + h}$ = $\frac{a}{a'}$

$\Leftrightarrow $ a'x = ax + ah

$\Leftrightarrow $ x(a' - a) = ah

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{ah}{a' - a}$

Vậy AB = $\frac{ah}{a' - a}$

Câu 3: Trang 55 sách VNEN 8 tập 2

Có thể đo gián tiếp chiều cao của một bức tường khá cao bằng các dụng cụ đơn giản được không?

Hình 16 thể hiện cách đo chiều cao AB của một bức tường bằng các dụng cụ đơn giản gồm:

Hai cọc thẳng đứng, cọc 1 cố đinh, cọc 2 có thể di động được với sợi dây FC. Cọc 1 có chiều cao DK = h. Các khoảng cách BC = a, DC = b đo được bằng thước dây thông dụng.

a) Em hãy cho biết người ta tiến hành đo đạc như thế nào?

b) Tính chiều cao AB theo h, a, b.

Trả lời:

a) Mô tả cách làm:

- Di chuyển hai cọc 2 sao cho 3 điểm A, F, K thẳng hàng

- Dùng sợi dây căng qua hai điểm F, K để xác định điểm C trên mặt đất

- Sau đó đo độ dài các đoạn DK = h, BC = a, DC = b.

b) Giải:

Ta có: KD // AB nên:

$\frac{KD}{AB}$ = $\frac{CD}{CB}$ 

$\frac{h}{AB}$ = $\frac{b}{a}$

AB = $\frac{ah}{b}$

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 56 sách VNEN 8 tập 2

Cho hình thang ABCD ( AB // CD, AB < CD). Gọi trung điểm của các đường chéo AC, BD theo thứ tự N và M (h.17). Chứng minh rằng:

a) MN // AB

b) MN = $\frac{CD - AB}{2}$

Trả lời:

a) Gọi H là trung điểm AD, N là trung điểm AC $\Rightarrow $ HN // DC (đường trung bình trong $\Delta $ADC)

           H là trung điểm AD, M là trung điểm BD $\Rightarrow $ HM // AB (đường trung bình trong $\Delta $ABD)

Mặt khác AB // CD $\Rightarrow $ HM // HN // AB $\Rightarrow $ H, M, N thẳng hàng và MN // AB.

b) Ta có: HN là đường trung bình trong $\Delta $ADC

$\Rightarrow $ HN = $\frac{1}{2}$CD

               HM là đường trung bình trong $\Delta $ABD

$\Rightarrow $ HM = $\frac{1}{2}$AB

MN = HN - HM = $\frac{1}{2}$CD - $\frac{1}{2}$AB = $\frac{CD - AB}{2}$

Câu 2: Trang 56 sách VNEN 8 tập 2

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH (H $\in $ BC). Từ H kẻ HE vuông góc với AB (E $\in $ AB) và HF vuông góc với AC (F $\in $ AC). Hỏi khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì $\frac{AE}{AB}$ + $\frac{AF}{AC}$ có thay đổi không? Vì sao?

Trả lời:

Vì HE $\perp $ AB $\Rightarrow $ HE // AC, theo định lí Ta-lét ta có: $\frac{AE}{AB}$ = $\frac{CH}{CB}$

Vì HF $\perp $ AC $\Rightarrow $ HF // AB, theo định lí Ta-lét ta có:  $\frac{AF}{AC}$ = $\frac{BH}{BC}$

$\Rightarrow $ $\frac{AE}{AB}$ + $\frac{AF}{AC}$ = $\frac{CH}{CB}$ + $\frac{BH}{BC}$ = $\frac{CH + BH}{CB}$ = $\frac{BC}{BC}$ = 1 (cố định)

Vậy khi độ dài các cạnh AB, AC thay đổi thì $\frac{AE}{AB}$ + $\frac{AF}{AC}$ không thay đổi