Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Một số phương trình đưa được về dạng phương trình ax + b = 0

A.B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG và HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. Phương trình có hai vế là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn và không chứa ẩn ở mẫu

a) Giải các phương trình sau: x + 8 = 22;       - 5x = 7,5;          $\frac{3}{4}$x = 6.

Trả lời:

* Ta có: x + 8 = 22 $\Leftrightarrow $ x = 22 - 8 $\Leftrightarrow $ x = 14.

* Ta có:  - 5x = 7,5 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{7,5}{-5}$ $\Leftrightarrow $ x = -$\frac{3}{2}$

* Ta có: $\frac{3}{4}$x = 6 $\Leftrightarrow $ x = 6 : $\frac{3}{4}$ $\Leftrightarrow $ x = 8.

b) Giải các phương trình sau (theo mẫu)

(2x + 1) - 6 = 7 - 2x;            2(x - 1) + 3 = (x + 4) - 1.

Trả lời:

* Ta có:

(2x + 1) - 6 = 7 - 2x 

$\Leftrightarrow $ 2x + 1 - 6 = 7 - 2x

$\Leftrightarrow $ 2x + 2x = 7 + 6 - 1

$\Leftrightarrow $ 4x = 12

$\Leftrightarrow $ x = 3.

* Ta có:

2(x - 1) + 3 = (x + 4) - 1 

$\Leftrightarrow $ 2x - 2 + 3 = x + 4 - 1

$\Leftrightarrow $  2x - x = 4 - 1 - 3 + 2

$\Leftrightarrow $  x = 2.

c) Giải các phương trình sau (theo mẫu)

$\frac{3x-1}{2}$ = $\frac{x+2}{3}$ ;                            $\frac{x+1}{3}$ = 5 - $\frac{2x+5}{5}$.

Trả lời:

* Ta có:

$\frac{3x-1}{2}$ = $\frac{x+2}{3}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{9x-3}{6}$ = $\frac{2x+4}{6}$ 

$\Leftrightarrow $ 9x - 3 = 2x + 4

$\Leftrightarrow $ 9x - 2x = 4 + 3

$\Leftrightarrow $ 7x = 7

$\Leftrightarrow $ x = 1.

* Ta có:

$\frac{x+1}{3}$ = 5 - $\frac{2x+5}{5}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{5x+5}{15}$ = $\frac{75- 6x - 15}{15}$

$\Leftrightarrow $ 5x + 5 = 75 - 6x - 15

$\Leftrightarrow $ 5x + 6x + 75 -15 -5 

$\Leftrightarrow $ 11x = 55

$\Leftrightarrow $ x = 5.

2. Phương trình tích

c) Giải các phương trình sau

(-2x + 4)(9 - 3x) = 0;                        ($\frac{2}{3}$x - 4)(- 0,5x + 0,2) = 0.

Trả lời:

 *  Ta có:

(-2x + 4)(9 - 3x) = 0 

$\Leftrightarrow $ -2x + 4 = 0 hoặc 9 - 3x =0

$\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = 3.

Tập nghiệm của phương trình là S = {2; 3}

* Ta có:

 ($\frac{2}{3}$x - 4)(- 0,5x + 0,2) = 0

$\Leftrightarrow $ $\frac{2}{3}$x - 4 = 0 hoặc - 0,5x + 0,2 = 0

$\Leftrightarrow $ x = 6 hoặc x = $\frac{2}{5}$.

Tập nghiệm của phương trình là S = {6; $\frac{2}{5}$}.

3. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

c) Giải các phương trình sau

 $\frac{2x-1}{x+3}$ = $\frac{2x+1}{x-3}$ ;                      $\frac{x^{2}+3}{x-2}$ = x + 5.

Trả lời:

 * Ta có:  $\frac{2x-1}{x+3}$ = $\frac{2x+1}{x-3} $

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ -3 và x $\neq $ 3.

Với điều kiện trên ta có

 $\frac{2x-1}{x+3}$ = $\frac{2x+1}{x-3} $ $\Leftrightarrow $ $\frac{(2x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)}$ = $\frac{(2x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)}$

                        $\Leftrightarrow $ (2x-1)(x-3) = (2x+1)(x+3)

                        $\Leftrightarrow $ 2$x^{2}$ - 6x - x + 3 = 2$x^{2}$ + 6x + x + 3

                        $\Leftrightarrow $ 2$x^{2}$ - 6x - x - 2$x^{2}$ - 6x - x = 0

                        $\Leftrightarrow $ - 12x = 0

                        $\Leftrightarrow $ x = 0

Đối chiếu x = 0 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={0}.

* Ta có: $\frac{x^{2}+3}{x-2}$ = x + 5

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ 2.

Với điều kiện trên ta có:

 $\frac{x^{2}+3}{x-2}$ = x + 5 $\Leftrightarrow $ $\frac{x^{2}+3}{x-2}$ = $\frac{(x+5)(x-2)}{x-2}$

                      $\Leftrightarrow $ $x^{2}$+3 = (x+5)(x-2)

                      $\Leftrightarrow $ $x^{2}$+3 = $x^{2}$ -  2x + 5x - 10

                      $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - $x^{2}$ +  2x - 5x = - 10 - 3

                      $\Leftrightarrow $ - 3x = - 13

                      $\Leftrightarrow $ x = $\frac{13}{3}$

Đối chiếu x = $\frac{13}{3}$ thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={$\frac{13}{3}$}.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 15 sách VNEN 8 tập 2

a) 4x - 3 = 4 - 3x ;                                          b) 3 + (x - 5) = 2(3x - 2) ;

c) 2(x - 0,5) + 3 = 0,25 (4x - 1);                     d) 2(x - $\frac{1}{4}$) - 4 = - 6( -$\frac{1}{3}$x + 0.5) + 2.

Trả lời:

a) Ta có: 4x - 3 = 4 - 3x

$\Leftrightarrow $ 4x + 3x = 4 + 3

$\Leftrightarrow $ 7x = 7

$\Leftrightarrow $ x = 1.

b) Ta có: 3 + (x - 5) = 2(3x - 2) 

$\Leftrightarrow $ 3 + x - 5 = 6x - 4

$\Leftrightarrow $ 3 - 5 + 4 = 6x - x

$\Leftrightarrow $ 2 = 5x

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{2}{5}$

c) Ta có: 2(x - 0,5) + 3 = 0,25 (4x - 1)

$\Leftrightarrow $  2x - 1 + 3 = x - 0,25

$\Leftrightarrow $  2x - x = - 0,25 - 3 + 1

$\Leftrightarrow $  x = - $\frac{9}{4}$

d) Ta có: 2(x - $\frac{1}{4}$) - 4 = - 6( - $\frac{1}{3}$x + 0.5) + 2

$\Leftrightarrow $ 2x - $\frac{1}{2}$ - 4 = 2x - 3 + 2

$\Leftrightarrow $ 2x - 2x = - 3 + 2 + 4 + $\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow $ 0x = $\frac{7}{2}$

Suy ra phương trình vô nghiệm

Vậy tập nghiệm S = $\oslash $

Câu 2: Trang 15 sách VNEN 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) $\frac{3x-2}{2}$ = $\frac{1-2x}{3}$ ;                              b) $\frac{x-1}{3}$ + 2  = 3 - $\frac{2x + 5}{4}$ ; 

c) $\frac{x - 1}{5}$ + x = $\frac{x+1}{7}$ ;                         d) 2(x - 2,5) = 0,25 + $\frac{4x - 3}{8}$.

Trả lời:

a) $\frac{3x-2}{2}$ = $\frac{1-2x}{3}$

* Ta có:  $\frac{3x-2}{2}$ = $\frac{1-2x}{3}$

              $\Leftrightarrow $  $\frac{(9x-6}{6}$ = $\frac{2-4x}{6}$

              $\Leftrightarrow $ 9x - 6 = 2 - 4x

              $\Leftrightarrow $ 9x + 4x = 2 + 6

              $\Leftrightarrow $ 13x = 8

              $\Leftrightarrow $ x = $\frac{8}{13}$

b) Ta có: $\frac{x-1}{3}$ + 2  = 3 - $\frac{2x + 5}{4}$

               $\Leftrightarrow $ $\frac{x - 1 + 6}{3}$ = $\frac{12 - 2x - 5}{4}$

               $\Leftrightarrow $ $\frac{4x - 4 + 24}{12}$ = $\frac{36 - 6x - 15}{12}$

               $\Leftrightarrow $ 4x - 4 + 24 = 36 - 6x - 15

               $\Leftrightarrow $ 4x + 6x = 36 - 15 - 24 + 4

               $\Leftrightarrow $ 10x = 1

               $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{10}$

c) Ta có: $\frac{x - 1}{5}$ + x = $\frac{x+1}{7}$

               $\Leftrightarrow $ $\frac{x - 1 + 5x}{5}$ = $\frac{x+1}{7}$

               $\Leftrightarrow $ $\frac{7x - 7 + 35x}{35}$ = $\frac{5x+5}{35}$

               $\Leftrightarrow $ 7x - 7 + 35x = 5x + 5

               $\Leftrightarrow $ 7x + 35x - 5x = 5 +7

               $\Leftrightarrow $ 37x = 12

               $\Leftrightarrow $ x = $\frac{12}{37}$

d) Ta có: 2(x - 2,5) = 0,25 + $\frac{4x - 3}{8}$

               $\Leftrightarrow $ $\frac{16x - 40}{8}$ = $\frac{2 + 4x - 3}{8}$ 

               $\Leftrightarrow $ 16x - 40 = 2 + 4x - 3

               $\Leftrightarrow $ 16x - 4x = 2 - 3 + 40

               $\Leftrightarrow $ 12x = 39

               $\Leftrightarrow $ x = $\frac{39}{12}$

Câu 3: Trang 15 sách VNEN 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) (x - 2)(2x - 5) = 0 ;                                             b) (0,2x - 3)(0,5x - 8) = 0 ;

c) 2x(x - 6) + 3(x - 6) =0 ;                                      d) (x - 1)(2x - 4)(3x - 9) = 0.

Trả lời:

a) Ta có: (x - 2)(2x - 5) = 0  

               $\Leftrightarrow $ x - 2 = 0 hoặc 2x - 5 = 0

               $\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = $\frac{5}{2}$ 

Tập nghiệm của phương trình là S = {2; $\frac{5}{2}$}

b) Ta có: (0,2x - 3)(0,5x - 8) = 0 

               $\Leftrightarrow $ 0,2x - 3 = 0 hoặc 0,5x - 8 = 0

               $\Leftrightarrow $ x = 15 hoặc x  = 16

Tập nghiệm của phương trình là S = {15; 16} 

 c) Ta có: 2x(x - 6) + 3(x - 6) =0 

                $\Leftrightarrow $ 2x(x - 6) = 0 hoặc 3(x - 6) = 0

                $\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc x = 6 

Tập nghiệm của phương trình là S = {0; 6}

d) Ta có:  (x - 1)(2x - 4)(3x - 9) = 0

                $\Leftrightarrow $ x - 1 = 0 hoặc 2x - 4 = 0 hoặc 3x - 9 = 0

                $\Leftrightarrow $ x = 1 hoặc x = 2 hoặc x = 3

Tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2; 3}.

Câu 4: Trang 15 sách VNEN 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) $\frac{1}{x+2}$ = $\frac{2}{x-2}$ ;                       b) $\frac{x-8}{x+6}$ = 2 ;                     c) $\frac{x^{2} - 1}{x+1}$ = x + 5.

Trả lời:

a) Ta có: $\frac{1}{x+2}$ = $\frac{2}{x-2}$

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ -2 và x $\neq $ 2

Với điều kiện trên ta có

$\frac{1}{x+2}$ = $\frac{2}{x-2}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{x - 2}{(x+2)(x-2)}$ = $\frac{2x + 4}{(x+2)(x-2)}$ 

                    $\Leftrightarrow $ x - 2 = 2x + 4

                    $\Leftrightarrow $ - 2 - 4 = 2x - x

                    $\Leftrightarrow $ x = - 6                                                   

Đối chiếu x = - 6 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={- 6}.

b) Ta có: $\frac{x-8}{x+6}$ = 2 

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ - 6

Với điều kiện trên ta có

$\frac{x-8}{x+6}$ = 2  $\Leftrightarrow $ $\frac{x - 8}{x+6}$ = $\frac{2x + 12}{x+6}$

               $\Leftrightarrow $ x - 8 = 2x + 12 

               $\Leftrightarrow $ - 8 - 12 = 2x - x

               $\Leftrightarrow $ x = - 20                                              

Đối chiếu x = - 20 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={- 20}.

c) Ta có: $\frac{x^{2} - 1}{x+1}$ = x + 5

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ - 1

Với điều kiện trên ta có

$\frac{x^{2} - 1}{x+1}$ = x + 5  $\Leftrightarrow $ $\frac{x^{2} - 1}{x+1}$ = $\frac{(x + 5)(x + 1)}{x+1}$

                       $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 1 = (x + 5)(x + 1)

                       $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 1 = $x^{2}$ + x + 5x + 5

                       $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - $x^{2}$ - x - 5x = 5 + 1

                       $\Leftrightarrow $ - 6x = 6

                       $\Leftrightarrow $ x = - 1

Đối chiếu x = - 1 không thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S = $\oslash $.

Câu 5: Trang 15 sách VNEN 8 tập 2

Giải các phương trình:

a) $\frac{x+3}{x}$ = $\frac{2x+2}{2x-1}$ ;               b) $\frac{5x}{2x + 2}$ + 1 = $\frac{- 6}{x + 1}$ ;               c) $\frac{x + 3}{x + 1}$ + $\frac{x - 3}{x}$ = 2 

Trả lời:

a) Ta có: $\frac{x+3}{x}$ = $\frac{2x+2}{2x-1}$

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ 0 và x $\neq $ $\frac{1}{2}$

Với điều kiện trên ta có

$\frac{x+3}{x}$ = $\frac{2x+2}{2x-1}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{(x + 3)(2x - 1)}{x(2x - 1)}$ = $\frac{x(2x + 2)}{x(2x - 1)}$ 

                     $\Leftrightarrow $ (x + 3)(2x - 1) = x(2x + 2)

                     $\Leftrightarrow $ 2$x^{2}$ - x + 6x - 3 = 2$x^{2}$ + 2x

                     $\Leftrightarrow $ 2$x^{2}$ - x + 6x - 2$x^{2}$ - 2x = 3

                     $\Leftrightarrow $ 3x = 3

                     $\Leftrightarrow $ x = 1

Đối chiếu x = 1 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={1}

b) Ta có: $\frac{5x}{2x + 2}$ + 1 = $\frac{- 6}{x + 1}$

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ - 1 

Với điều kiện trên ta có

$\frac{5x}{2x + 2}$ + 1 = $\frac{- 6}{x + 1}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{5x + 2x + 2}{x(2x + 2)}$ = $\frac{-12}{2x + 2)}$ 

                           $\Leftrightarrow $ 5x + 2x + 2 = - 12

                           $\Leftrightarrow $ 7x = - 14

                           $\Leftrightarrow $ x = - 2                                                        

Đối chiếu x = - 2 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={-2}

c) Ta có: $\frac{x + 3}{x + 1}$ + $\frac{x - 3}{x}$ = 2 

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ - 1 và x $\neq $ 0

Với điều kiện trên ta có

$\frac{x + 3}{x + 1}$ + $\frac{x - 3}{x}$ = 2 $\Leftrightarrow $ $\frac{x(x + 3) + (x - 3)(x + 1)}{x(x + 1)}$ = $\frac{2x(x + 1)}{x(x + 1)}$ 

                         $\Leftrightarrow $ x(x + 3) + (x - 3)(x + 1) = 2x(x + 1)

                         $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ + 3x + $x^{2}$ + x - 3x - 3 = 2$x^{2}$ + 2x

                         $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ + 3x + $x^{2}$ + x - 3x - 2$x^{2}$ - 2x = 3                           

                         $\Leftrightarrow $ x = - 3

Đối chiếu x = - 3 thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S ={- 3}

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 16 sách VNEN 8 tập 2

Hai đội công nhân cùng làm xong một công việc trong 8 ngày. Tính xem nếu mỗi đội phải làm một mình thì bao lâu xong công việc đó, biết rằng để hoàn thành công việc một mình, đội Hai cần nhiều hơn đội Một là 12 ngày.

Trả lời:

Gọi số ngày đội Một cần để làm xong công việc một mình là x (x>0)

Do đội Hai cần nhiều hơn đội Một là 12 ngày nên số ngày đội Hai cần để làm xong công việc một mình là x + 12

Một ngày đội Một làm được $\frac{1}{x}$ công việc

Một ngày đội Hai làm được $\frac{1}{x + 12}$ công việc

Một ngày hai đội làm được $\frac{1}{8}$ công việc

Suy ra: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{x + 12}$  = $\frac{1}{8}$

            $\Leftrightarrow $ $\frac{8(x + 12 + x)}{8x(x + 12)}$ =  $\frac{x(x + 12)}{8x(x + 12)}$

            $\Leftrightarrow $ 8x + 96 + 8x = $x^{2}$ + 12x

            $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ + 12x - 8x - 8x = 96

            $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 4x = 96

            $\Rightarrow $ x = 12

Vậy đội Một cần 12 ngày, đội Hai cần 24 ngày.

Câu 2: Trang 16 sách VNEN 8 tập 2

Cho phương trình ẩn x: 1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$ (a,b là tham số)

a) Giải phương trình theo b khi a = 3

b) Tìm a và b để x = 4 và x = 6 là hai nghiệm của phương trình.

Trả lời:

a) Thay a = 3 vào phương trình ta có

1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{9 - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{x - b - 2b}{x - b}$ = $\frac{9 - b^{2}}{(x - b)^{2}}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{(x - 3b)(x - b)}{(x - b)^{2}}$ = $\frac{9 - b^{2}}{(x - b)^{2}}$

$\Leftrightarrow $ (x - 3b)(x - b) = 9 - $b^{2}$

$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - xb - 3xb + 3$b^{2}$ = 9 - $b^{2}$

$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 4xb + 4$b^{2}$ = 9 

$\Leftrightarrow $ $(x - 2b)^{2}$ = 9 

$\Leftrightarrow $ x - 2b = 3 hoặc x - 2b = - 3

$\Leftrightarrow $ x = 2b + 3 hoặc x = 2b - 3

b) Ta có: 1 - $\frac{2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{b^{2} + x^{2} - 2bx}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{x - b - 2b}{x - b}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{(x - b)^{2}}$

$\Leftrightarrow $ $\frac{(x - 3b)(x - b)}{(x - b)^{2}}$ = $\frac{a^{2} - b^{2}}{(x - b)^{2}}$

$\Leftrightarrow $ (x - 3b)(x - b) = $a^{2}$  - $b^{2}$ 

$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - xb - 3xb + 3$b^{2}$ = $a^{2}$ - $b^{2}$

$\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - 4xb + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (1)

Để x = 4 và x = 6 là nghiệm của phương trình thì x = 4 và x = 6 phải thõa mãn phương trình (1)

* Thay x = 4 vào (1) ta được: 16 - 16b + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (2)

* Thay x = 6 vào (1) ta được: 36 - 24b + 4$b^{2}$ = $a^{2}$ (3)

Lấy (2) - (3) theo vế: 16 - 16b + 4$b^{2}$ - 36 + 24b - 4$b^{2}$ = $a^{2}$  - $a^{2}$ 

                                  $\Leftrightarrow $ 8b - 20 = 0

                                  $\Leftrightarrow $ b = $\frac{20}{8}$

Thay b = $\frac{20}{8}$ vào (2) ta có: 16 - 40 + 25= $a^{2}$

                                                            $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ = 1 

                                                            $\Leftrightarrow $ a = 1 hoặc a = - 1 

Vậy (a; b) = (1 ; $\frac{20}{8}$) , (- 1; $\frac{20}{8}$).