Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Tính chất đường phân giác trong tam giác

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

Thực hiện các hoạt động sau

a) Cho tam giác ABC. Có thể lấy điểm D trên BC sao cho $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{DC}{AC}$ được không? Dự đoán vị trí điểm D.

b) Vẽ tam giác ABC thỏa mãn AB = 2cm, AC = 4cm và $\widehat{A}$ = $80^{\circ}$ (h.8).

- Dựng đường phân giác AD của góc A ( bằng thước thẳng và compa).

- Đo độ dài các đoạn thẳng BD và DC rồi so sánh các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{DB}{DC}$.

Trả lời:

a) Có thể lấy điểm D trên BC sao cho $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{DC}{AC}$. 

Dự đoán: điểm D là giao điểm giữa đường phân giác góc A của tam giác ABC với cạnh BC.

b) Ta đo được BD = 1,2cm, DC = 2,4cm

$\Rightarrow $ $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{1,2}{2,4}$ = $\frac{1}{2}$

$\frac{AB}{AC}$ = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$

Vậy $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

b. Điền vào chỗ trống (...) để hoàn thiện giả thiết - kết luận và chứng minh định lí trên.

Chứng minh

Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại E (h.19).

Ta có: $\widehat{BAE}$ =      (...)

Vì BE // AC, nên $\widehat{BAE}$ = .......(so le trong).

Suy ra.................................Do đó $\Delta $ABE cân tạ B, suy ra BE = BA.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta -lét đối với $\Delta $DAC, ta có: $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{....}{....}$.

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.

Trả lời:

Chứng minh

Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC cắt AD tại E (h.19).

Ta có: $\widehat{BAE}$ = $\widehat{EAC}$ 

Vì BE // AC, nên $\widehat{BEA}$ = $\widehat{EAC}$ (so le trong).

Suy ra $\widehat{BEA}$ = $\widehat{BAE}$. Do đó $\Delta $ABE cân tạ B, suy ra BE = BA.

Áp dụng hệ quả của định lí Ta -lét đối với $\Delta $DAC, ta có: $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{BE}{AC}$.

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{DB}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.

c) Cho hình 20. Tính x, y, z.

- Hướng dẫn (h.20): Xét $\Delta $ABC, ta có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$, suy ra $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.

Hay $\frac{x}{3,6}$ = $\frac{3}{7,2}$, suy ra x = $\frac{3,6.3}{7,2}$ = 1,5.

Trả lời:

* Xét $\Delta $MNP, ta có NQ là phân giác của $\widehat{MNP}$, suy ra $\frac{QM}{QP}$ = $\frac{NM}{NP}$.

Hay $\frac{2}{z}$ = $\frac{5}{8,1}$, suy ra z = $\frac{2.8.1}{5}$ = 3.24

Suy ra: y = z + 2 = 5,24.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 58 sách VNEN 8 tập 2 

Tính x trong hình 21 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.

Trả lời:

a) Xét $\Delta $ABC, ta có AD là phân giác của $\widehat{BAC}$, suy ra $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$.

Hay $\frac{3,5}{x}$ = $\frac{4,5}{7,2}$ suy ra x = $\frac{3,5.7,2}{4,5}$ = 5,6.

b) Xét $\Delta $MNP, ta có PQ là phân giác của $\widehat{MPN}$, suy ra $\frac{MQ}{QN}$ = $\frac{PM}{PN}$.

Hay $\frac{12,5 - x}{x}$ = $\frac{6}{8,5}$, suy ra x = 7,3.

Câu 2: Trang 58 sách VNEN 8 tập 2 

Tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = a, AC = b và AD là đường phân giác. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD bằng $\frac{a}{b}$.

Trả lời:

Từ A kẻ AH vuông góc với BC => AH là đường cao của tam giác ABD và tam giác ADC.

$\frac{\Delta ABD}{\Delta ADC}$ = $\frac{\frac{1}{2}.AH.BD}{\frac{1}{2}.AH.DC}$ = $\frac{BD}{DC}$ (1)

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có: $\frac{BD}{DC}$ = $\frac{AB}{AC}$ = $\frac{a}{b}$ (2)

Từ (1), (2) ta có $\frac{\Delta ABD}{\Delta ADC}$  = $\frac{a}{b}$ 

Hay tỉ số diện tích của tam giác ABD và tam giác ACD bằng $\frac{a}{b}$

Câu 3: Trang 58 sách VNEN 8 tập 2 

Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc AMB cắt cạnh AB ở D, tia phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E (h.22). Chứng minh rằng DE // BC.

Gợi ý bài 3: Chứng minh $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$.

Trả lời:

* Xét $\Delta $AMB, ta có MD là phân giác của $\widehat{AMB}$, suy ra $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{MA}{MB}$ (1)

* Xét $\Delta $AMC, ta có ME là phân giác của $\widehat{AMC}$, suy ra $\frac{AE}{EC}$ = $\frac{MA}{MC}$ (2)

Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC (3)

Từ (1), (2), (3) ta có:  $\frac{AD}{DB}$ = $\frac{AE}{EC}$ => DE // BC.

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 58 sách VNEN 8 tập 2 

a) Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AM và đường phân giác AD. Tính diện tích tam giác ADM, biết AB = a, AC = b (a> b) và diện tích của tam giác ABC là S.

b) Cho a = 6cm, b = 2cm. Hỏi diện tích tam giác ADM chiếm bao nhiêu phần trăm diện tích tam giác ABC?

Trả lời:

a)

S$\Delta $AMB = $\frac{1}{2}$S$\Delta $ABC = $\frac{1}{2}$S

Kẻ AH vuông góc với đường thẳng CB

Vì AD là phân giác của tam giác ABC nên $\frac{DC}{DB}$ = $\frac{b}{a}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{DC}{DB}$ + 1 = $\frac{b}{a}$ + 1 $\Leftrightarrow $ $\frac{BC}{DB}$ = $\frac{b + a}{a}$ 

$\frac{S\Delta ADB}{S\Delta ABC}$ = $\frac{\frac{1}{2}.AH.DB}{\frac{1}{2}.AH.BC}$ = $\frac{DB}{BC}$ = $\frac {a}{a + b}$ 

$\Rightarrow $ S$\Delta $ADB = $\frac {a}{a + b}$. S$\Delta $ABC = $\frac {a}{a + b}$.S

Ta có: S$\Delta $ADM =  S$\Delta $ADB - S$\Delta $AMB =  $\frac {a}{a + b}$S - $\frac{1}{2}$S = $\frac{a - b}{2(a + b)}$S

b) Với a = 6cm, b = 2cm

S$\Delta $ADM = $\frac{6 - 2}{2(6 + 2)}$S = $\frac{1}{4}$S= 25%S.

Câu 2: Trang 59 sách VNEN 8 tập 2 

Đố:

Hình 23 cho biết có 6 góc bằng nhau:

$\widehat{O1}$ = $\widehat{O2}$ = $\widehat{O3}$ = $\widehat{O4}$ = $\widehat{O5}$ = $\widehat{O6}$.

Kích thước các đoạn thẳng đã được ghi trên hình. Hãy thiết lập những tỉ lệ thức từ các kích thước đã cho.

Trả lời:

* Xét OB là phân giác của $\widehat{AOC} $ suy ra: $\frac{x}{y}$ = $\frac{a}{c}$

Tương tự ta có:

$\frac{y}{z}$ = $\frac{b}{d}$;  $\frac{z}{t}$ = $\frac{c}{e}$;  $\frac{t}{u}$ = $\frac{d}{f}$;  $\frac{u}{v}$ = $\frac{e}{g}$; 

$\frac{x + y}{z + t}$ = $\frac{a}{e}$;  $\frac{y + z}{t + u}$ = $\frac{b}{f}$;  $\frac{z + t}{u + v}$ = $\frac{c}{g}$;  $\frac{x + y + z}{t + u + v}$ = $\frac{a}{g}$

Câu 3: Trang 59 sách VNEN 8 tập 2 

Tam giác ABC có AB = 5,1cm, AC= 6cm và BC = 7,2cm. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại E. Tính các đoạn EB, EC.

Trả lời:

Gọi cạnh BE = x $\Rightarrow $ EC = 7,2 - x

AE là đường phân giác nên $\frac{BE}{EC}$ = $\frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{x}{7,2 - x}$= $\frac{5,1}{6}$ $\Leftrightarrow $ x $\approx $ 3,3 

Vậy EB $\approx $ 3,3cm, EC $\approx $ 3,9cm.

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 59 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại M và N.

Chứng minh rằng:

a) $\frac{AM}{MD}$ = $\frac{BN}{NC}$ ;                  b) $\frac{AM}{AD}$ = $\frac{BN}{BC}$;                  c) $\frac{DM}{DA}$ = $\frac{CN}{CB}$.

Trả lời:

Gọi H là giao điểm của BD và MN, 

       K là giao điểm của AC và MN

a) Theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{MD}$ = $\frac{AK}{KC}$

$\frac{AK}{KC}$ = $\frac{BN}{NC}$

$\Rightarrow $ $\frac{AM}{MD}$ =  $\frac{BN}{NC}$

b) Theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AM}{AD}$ = $\frac{AK}{AC}$

$\frac{AK}{AC}$ = $\frac{BN}{BC}$

$\Rightarrow $ $\frac{AM}{AD}$ =  $\frac{BN}{BC}$

c)  Theo câu b)

$\frac{AM}{AD}$ =  $\frac{BN}{BC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{AM}{AD}$ =  $\frac{BN}{BC}$ $\Leftrightarrow $ 1 - $\frac{AM}{AD}$  = 1 - $\frac{BN}{BC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{DM}{AD}$ = $\frac{CN}{BC}$.

Câu 2: Trang 59 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Đường thẳng a qua O và song song với đáy của hình thang cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại E và F (h.24).

So sánh OE và OF.

Trả lời:

Vì OE // DC theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{AE}{AD}$ = $\frac{OE}{DC}$

Vì OF // DC theo định lí Ta-lét ta có:

$\frac{BF}{BC}$ = $\frac{OF}{DC}$

Theo câu 1 ta có khi EF // DC thì $\frac{AE}{AD}$ = $\frac{BF}{BC}$ 

$\Rightarrow $  $\frac{OE}{DC}$ = $\frac{OF}{DC}$ $\Leftrightarrow $ OE = OF

Vậy OE= OF