Giải Toán 8 sách VNEN bài 9: Ôn tập chương III

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

I. ÔN TẬP

Câu 1: Trang 80 sách VNEN 8 tập 2 

(1) Phát biểu và viết tỉ lệ thức biểu thị hai đoạn thẳng AB và CD tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C'D'.

(2) Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta-lét trong tam giác.

(3) Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận của định lí Ta-lét đảo.

(4) Phát biểu, vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận về hệ quả của định lí Ta-lét.

(5) Phát biểu định lí về tính chất của đường phân giác trong tam giác (vẽ hình, ghi giả thiết và kết luận).

(6) Thế nào là hai tam giác đồng dạng.

(7) Phát biểu định lí về đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh (hoặc phần kéo dài của hai cạnh) còn lại.

(8) Nêu các trường hợp đồng dạng của hai tam giác.

(9) Nêu trường hợp đồng dạng đặc biệt của hai tam giác vuông (trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông).

Trả lời:

(1) Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị do.

$\frac{AB}{CD}$ = $\frac{A'B'}{C'D'}$.

(2) Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

(3) Định lí Ta-lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

(4) Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

(5) Định lí về tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy

(6) Tam giác A'B'C' gọi là đồng dạng với tam giác ABC nếu:

$\widehat{A}$ = $\widehat{A'}$; $\widehat{B'}$ = $\widehat{B}$; $\widehat{C'}$ = $\widehat{C}$; $\frac{A'B'}{AB}$ = $\frac{A'C'}{AC}$ = $\frac{B'C'}{BC}$.

(7) Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

(8) Có ba trường hợp đồng dạng của tam giác:

- Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng

- Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng

- Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

(9) Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt tỉ lệ với một cạnh huyền và một cạng góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Câu 2: Trang 82 sách VNEN 8 tập 2 

a) Đoạn thẳng AB, CD tỉ lệ với A'B', C'D' $\Leftrightarrow $ $\frac{.....}{.....}$ = $\frac{.....}{.....}$

Trả lời:

a) Đoạn thẳng AB, CD tỉ lệ với A'B', C'D' $\Leftrightarrow $ $\frac{AB}{A'B'}$ = $\frac{CD}{C'D'}$

I. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2 

Xác định tỉ số của hai đoạn thẳng AB và CD trong các trường hợp sau:

a) AB = 7dm,  CD = 12cm;                 b) AB = 50cm, CD = 12dm;                 c) AB = 7CD.

Trả lời:

a) $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{70}{12}$ = $\frac{35}{6}$.

b) $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{50}{120}$ = $\frac{5}{12}$.

c) $\frac{AB}{CD}$ = $\frac{7CD}{CD}$ = 7.

Câu 2: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2 

Cho tam giác ABC (AB < AC). Vẽ đường cao AH, đường phân giác AD, đường trung tuyến AM. Trong ba điểm H, D, M điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao?

Trả lời:

$\Delta $ AMB và $\Delta $AMC có: AM chung MB = MC và AC > AB 
$\Rightarrow $ $\widehat{AMC}$ > $\widehat{AMB}$ => M thuộc CH (M ở giữa C và H) 
Ta có: AB < AC $\Rightarrow $  $\widehat{B}$ > $\widehat{C}$ $\Rightarrow $ $\widehat{BAH }$ < $\widehat{CAH}$ $\Rightarrow $ D thuộc CH (1) 
Theo tính chất đường phân giác: 
$\frac{BD}{AB}$= $\frac{CD}{AC}$ 
Mặt khác: AC > AB => CD > BD => D thuộc BM (2) 
Từ (1) và (2) $\Rightarrow $ D thuộc HM hay D là điểm nằm giữa H và M.

Câu 3: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2 

Cho tam giác cân ABC (AB = AC), vẽ các đường cao BH, CK (h,60). Chứng minh:

a) Tìm các cặp tam giác đồng dạng có trong hình và giải thích.

b) Cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng HK.

Hướng dẫn câu b):

- Vẽ thêm đường cao AI, xét hai tam giác đồng dạng IAC và HBC rồi tính CH.

- Tiếp theo, xét hai tam giác đồng dạng AKH và ABC rồi tính HK.

Trả lời:

a) * $\Delta $ KCB và $\Delta $ HBC có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân), $\widehat{BKC}$ = $\widehat{BHC}$, BC chung nên             $\Delta $ KCB = $\Delta $ HBC

$\Rightarrow $ BK = HC $\Rightarrow $ AK = AH

* $\Delta $ AKH và $\Delta $ ABC có góc A chung, $\frac{AK}{AB}$ = $\frac{AH}{AC}$ nên $\Delta $ AKH $\sim $ $\Delta $ ABC

* Gọi giao điểm của BH và CK là O

Vì $\frac{AK}{AB}$ = $\frac{AH}{AC}$ nên KH // BC 

$\Delta $ OKH và $\Delta $ OCB có $\widehat{OKH}$ = $\widehat{OCB}$, $\widehat{OHK}$ = $\widehat{OBC}$ (so le trong) nên $\Delta $ OKH $\sim $ $\Delta $ OCB.

b) Vẽ đường cao AI

$\Delta $ IAC và $\Delta $ HBC có góc C chung, $\widehat{AIC}$ = $\widehat{BHC}$ nên $\Delta $ IAC $\sim $ $\Delta $ HBC

$\Rightarrow $ $\frac{HC}{IC}$ = $\frac{BC}{AC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{HC}{\frac{a}{2}}$ = $\frac{a}{b}$ $\Leftrightarrow $ HC = $\frac{a^{2}}{2b}$ $\Rightarrow $ AH = AC - HC = b - $\frac{a^{2}}{2b}$ = $\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}$.

Theo câu a) $\Delta $ AKH $\sim $ $\Delta $ ABC nên 

$\frac{HK}{BC}$ = $\frac{AH}{AC}$ $\Rightarrow $ HK = $\frac{AH.BC}{AC}$ = $\frac{\frac{2b^{2}- a^{2}}{2b}.a}{b}$ = $\frac{(2b^{2}- a^{2}).a}{2b^{2}}$ = a - $\frac{a^{3}}{2b^{2}}$

Câu 4: Trang 83 sách VNEN 8 tập 2 

Hình thang ABCD (AB // CD) có AC và BD cắt nhau tại O, AD và BC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng OK đi qua trung điểm của các cạnh AB và CD.

Trả lời:

Tứ giác ABCD là hình thang nên AB//CD

Gọi N, M lần lượt là giao điểm của KO với AB,CD.

Áp dụng định lý talet ta có:

$\frac{AN}{DM}$ = $\frac{NB}{MC}$ = $\frac{KN}{KM}$ = $\frac{AN + NB}{DM + MC}$ = $\frac{AB}{DC}$ (1)

Vì AB // DC nên $\frac{AB}{DC}$ = $\frac{AO}{OC}$ 

Vì AN // MC nên $\frac{AO}{OC}$ = $\frac{AN}{MC}$ 

$\Rightarrow $ $\frac{AB}{DC}$  = $\frac{AN}{MC}$  (2)

Từ (1) và (2) ta được: $\frac{AN}{DM}$ = $\frac{AN}{MC}$ hay MD = MC

Tương tự ta được: NA = NB

Vậy OK đi qua trung điểm của AB và CD.

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 84 sách VNEN 8 tập 2 

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rằng AD.AC = AE.AB và $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$.

b) Chứng minh rằng $\Delta $ HED và $\Delta $ HBC đồng dạng.

c) Chứng minh rằng BE.BA + CD.CA = $BC^{2}$.

d) Nếu $\Delta $ ABC đều hãy tính tỉ số diện tích $\Delta $ HED và diện tích $\Delta $ ABC.

Trả lời:

a) * $\Delta $ ADB và $\Delta $ AEC có góc A chung, $\widehat{ADB}$ = $\widehat{AEC}$ nên $\Delta $ ADB $\sim $ $\Delta $ AEC

$\Rightarrow $ $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow $ AD.AC = AE.AB.

* $\Delta $ ADE và $\Delta $ ABC có góc A chung, $\frac{AD}{AE}$ = $\frac{AB}{AC}$ nên $\Delta $ ADE $\sim $ $\Delta $ ABC.

$\Rightarrow $ $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ADE}$.

b) 

Ta có: $\widehat{HDE}$ + $\widehat{ADE}$ = $90^{\circ}$

           $\widehat{HCB}$ + $\widehat{ABC}$ = $90^{\circ}$

Mặt khác $\widehat{ADE}$ = $\widehat{ABC}$ (theo câu a) $\Rightarrow $ $\widehat{HDE}$ = $\widehat{HCB}$ (1)

Tương tự ta được $\widehat{HED}$ = $\widehat{HBC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ HED $\sim $ $\Delta $ HBC 

c) Dựng HK vuông góc với BC

Ta có: $\Delta $ BKH $\sim $ $\Delta $ BDC nên $\frac{BK}{BD}$ = $\frac{BH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ BK.BC = BH.BD

           $\Delta $ CKH $\sim $ $\Delta $ CEB nên $\frac{CK}{CE}$ = $\frac{CH}{BC}$ $\Leftrightarrow $ CK.BC = CH.CE

$\Rightarrow $ BK.BC + CK.BC = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ BC.(BK + CK) = BH.BD + CH.CE $\Leftrightarrow $ $BC^{2}$ = BH.BD + CH.CE

Ta có: $\Delta $ BEH $\sim $ $\Delta $ BDA nên: $\frac{BE}{BD}$ = $\frac{BH}{BA}$ $\Leftrightarrow $ BH.BD = BE.BA

Tương tự ta được CH.CE = CD.CA

Suy ra $BC^{2}$ = BE.BA + CD.CA.

d)

Câu 2: Trang 84 sách VNEN 8 tập 2 

Cho $\Delta $ ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC.

a) Chứng minh rằng: $\Delta $ AEF $\Delta $ ABC.

b) Cho AH = 4,8cm; BC = 10cm. Tính S$\Delta $AEF?

c) Lấy điểm I đối xứng với H qua AB. Từ B kẻ đường vuông góc với BC cắt AI ở K. Chứng minh rằng KC, AH, EF đồng quy tại một điểm.

Trả lời:

a) Gọi giao điểm của EF và AH là I 

Ta có: $\widehat{ABH}$ + $\widehat{EAH}$ = $90^{\circ}$ (1) 

Mặt khác: $\widehat{AEF}$ + $\widehat{AFE}$ = $90^{\circ}$ (2)

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên: $\widehat{AEF}$ = $\widehat{EAH}$ (3)

Từ (1), (2),(3) suy ra: $\widehat{ABH}$ = $\widehat{AFE}$

Tương tự ta có:  $\widehat{ACB}$ = $\widehat{AEF}$

Suy ra $\Delta $ AEF $\sim $ $\Delta $ ACB.

b) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật nên AH = EF

Ta có tính chất: Tỉ lệ diện tích hai tam giác bằng bình phương tỉ lệ đồng dạng của hai tam giác đó

Tỉ lệ đồng dạng của $\Delta $ AEF và $\Delta $ ABC là:

$\frac{EF}{BC}$ = $\frac{AH}{BC}$ = $\frac{4,8}{10}$ = $\frac{12}{25}$

Suy ra $\frac{\Delta AEF }{\Delta  ABC}$ = $\frac{144}{625}$ 

S $\Delta $ ABC = $\frac{1}{2}$.AH.BC = 24 $cm^{2}$

Suy ra S$\Delta $ AEF = $\frac{144}{625}$.24 = $\frac{3456}{625}$  $cm^{2}$