Giải Toán 8 sách VNEN bài 3: Luyện tập chung

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 32 sách VNEN 8 tập 2

Điền dấu thích hợp (<, >, $\leq $, $\geq $) vào ô vuông:

Trả lời:

Ta có:

Câu 2: Trang 32 sách VNEN 8 tập 2

a) So sánh (- 2) . 3 và - 4,5.

b) Từ kết quả câu a) hãy suy ra các bất đẳng thức sau:

             (- 2) . 30 < - 45 ;                                 (- 2) . 3 + 4,5 < 0

Trả lời:

a) So sánh: (- 2) . 3 < - 4,5.

b) * Ta có: (- 2) . 3 < - 4,5

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với 10 ta được:

(- 2) . 3 . 10 < - 4,5 . 10 $\Leftrightarrow $ (- 2) . 30 < - 45 

    *  Ta có: (- 2) . 3 < - 4,5 

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với 4,5 ta được:

(- 2) . 3 +  4,5 < - 4,5 + 4,5 $\Leftrightarrow $ (- 2) . 3 + 4,5 < 0

Câu 3: Trang 32 sách VNEN 8 tập 2

Cho a $\leq $ b, hãy so sánh:

a) - 9a và - 9b ;                                        b) $\frac{a}{5}$ và $\frac{b}{5}$ ; 

c) a + 1 và b + 2 ;                                    d) 2a - 1 và 2b + 1.

Trả lời:

a) Ta có: a $\leq $ b 

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với (- 9) ta được:

- 9a $\geq $ - 9b

b) Ta có: a $\leq $ b 

Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên với 5 ta được:

$\frac{a}{5}$ $\leq $ $\frac{b}{5}$

c) Ta có: a $\leq $ b 

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức trên với 1 ta được:

a + 1  $\leq $ b + 1 < b + 2 

Vậy a + 1 < b + 2

d) Ta có: a $\leq $ b (1)

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức (1) với 2 ta được:

2a $\leq $ 2b (2)

Cộng cả hai vế của bất đẳng thức (2) với (- 1) ta được:

2a - 1 $\leq $ 2b - 1 < 2b + 1

Vậy 2a - 1 < 2b + 1.

Câu 4: Trang 33 sách VNEN 8 tập 2

Cho a < b, chứng tỏ rằng:

a) 3 - 6a > 1 - 6b ;                               b) 7(a - 2) < 7(b - 2) ;                                c) $\frac{1 - 2a}{3}$  > $\frac{1 - 2b}{3}$

Trả lời:

Giải câu a) Ta có: a < b

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với (- 6) ta được:

- 6a > - 6b 

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 1 ta được:

1 - 6a > 1 - 6b 

Mặt khác 3 - 6a > 1 - 6a suy ra 3 - 6a > 1 - 6b.

Giải câu b) Ta có: a < b

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với 7 ta được:

7a < 7b 

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với (- 14) ta được:

7a - 14 < 7b - 14 $\Leftrightarrow $ 7(a - 2) < 7(b - 2).

Giải câu c) Ta có: a < b 

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với (- 2) ta được:

- 2a > - 2b 

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 1 ta được:

1 - 2a > 1 - 2b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với 3 ta được:

$\frac{1 - 2a}{3}$  > $\frac{1 - 2b}{3}$.

Câu 5: Trang 33 sách VNEN 8 tập 2

So sánh a và b nếu:

a) a + 23 < b + 23 ;                                                                 b) - 12a > - 12b

c) 5a  - 6 $\geq $ 5b - 6 ;                                                                d) $\frac{- 2a + 3}{5}$ $\leq $ $\frac{- 2b + 3}{5}$.

Trả lời:

a) Ta có: a + 23 < b + 23

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với (- 23) ta được:

a + 23 + (- 23) < b + 23 + (- 23) $\Leftrightarrow $ a < b.

b) Ta có: - 12a > - 12b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với (- 12) ta được:

$\frac{- 12a}{- 12}$ < $\frac{- 12b}{- 12}$

$\Leftrightarrow $ a < b

c) 5a - 6 $\geq $ 5b - 6

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với 6 ta được:

5a - 6 + 6 $\geq $ 5b - 6 + 6 $\Leftrightarrow $ 5a $\geq $  5b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với 5 ta được:

a $\geq $  b

d) Ta có: $\frac{- 2a + 3}{5}$ $\leq $ $\frac{- 2b + 3}{5}$

Nhân cả hai vế của bất phương trình trên với 5 ta được:

- 2a + 3 $\leq $ -2b + 3 

Cộng cả hai vế của bất phương trình trên với ( - 3) ta được:

- 2a $\leq $  - 2b

Chia cả hai vế của bất phương trình trên với ( -2) ta được:

a $\geq $ b

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 33 sách VNEN 8 tập 2

Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa mãn $\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$. Chứng minh rằng:

a) ad < bc ;                                                            b) $\frac{b}{a}$ > $\frac{d}{c}$.

Trả lời:

Giải câu a) Ta có: 

$\frac{a}{b}$ < $\frac{c}{d}$

Nhân hai vế của bất phương trình trên với b (b > 0) ta được: 

b . $\frac{a}{b}$ < b . $\frac{c}{d}$ $\Leftrightarrow $ a < $\frac{bc}{d}$ 

Nhân hai vế của bất phương trình trên với d (d > 0) ta được: 

d.a < d . $\frac{bc}{d}$ $\Leftrightarrow $ ad < bc.

Vậy ad < bc.

Giải câu b)

Ta có tính chất: nếu a > b > 0 thì $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$

Ta có: $\frac{c}{d}$ $ > \frac{a}{b}$  >0 suy ra $\frac{b}{a}$ > $\frac{d}{c}$.

Vậy $\frac{b}{a}$ > $\frac{d}{c}$.

Câu 2: Trang 33 sách VNEN 8 tập 2

Chứng minh rằng với mọi số a ta luôn có: 

a) $a^{2}$ + a + 1 $\geq $ 0 ;                                                b) - $a^{2}$ - 6a $\leq $ 9 

Trả lời:

a) Ta có:  $a^{2}$ + a + 1 = $a^{2}$ + 2.a.$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $(a - \frac{1}{2})^{2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi a

Vậy $a^{2}$ + a + 1 > 0

b) Xét hiệu: (- $a^{2}$ - 6a) - 9 = - ($a^{2}$ + 6a + 9) = - $(a + 3)^{2}$ $\leq $ 0 với mọi a

Vậy - $a^{2}$ - 6a - 9 $\leq $ 0 hay - $a^{2}$ - 6a $\leq $ 9 

Câu 3: Trang 33 sách VNEN 8 tập 2

Chứng minh rằng với mọi số a, b, c ta luôn có:

a) $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq $ 2ab ;                                             b) $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ $\geq $ ab + bc + ca.

Trả lời:

a) Xét hiệu: ($a^{2}$ + $b^{2}$) - 2ab = $(a - b)^{2}$ $\geq $ 0 với mọi a, b

Vậy $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq $ 2ab với mọi a, b.

b) Ta có:

$a^{2}$ + $b^{2}$  $\geq $ 2ab

$b^{2}$ + $c^{2}$ $\geq $ 2bc

$c^{2}$ + $a^{2}$ $\geq $ 2ca

Cộng 3 bất phương trình theo vế ta được:

2($a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$) $\geq $ 2(ab + bc + ca) 

$\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ $\geq $ ab + bc + ca

Vậy $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ $\geq $ ab + bc + ca. với mọi a, b, c

D. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

1. Bất đẳng thức Cô-si

Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm a và b:

$\frac{a + b}{2}$ $\geq $ $\sqrt{ab}$ hay $(\frac{a + b}{2})^{2}$ $\geq $ ab ; 

( Trung bình cộng của hai số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng).

Đẳng thức xảy ra khi a = b.

Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Pháp Cô-si (Augustin Louis Cauchy, 1789 - 1857).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, chứng minh các bất đẳng thức sau với a,b là hai số dương:

a) $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2 ;                                     b) $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{4}{a + b}$.

Trả lời:

a) Theo bất đẳng thức Cô-si:

$\frac{a + b}{2}$ $\geq $ $\sqrt{ab}$ $\Leftrightarrow $ a + b $\geq $ $\sqrt{2ab}$ (a, b là số dương), ta có: 

$\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2$\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}$ = 2

Vậy $\frac{a}{b}$ + $\frac{b}{a}$ $\geq $ 2.

b)  Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ 2$\sqrt{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}$ = 2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$ = $\frac{2}{\sqrt{ab}}$

Mặt khác ta có theo bất đẳng thức Cô-si: $(\frac{a + b}{2})^{2}$ $\geq $ ab $\Leftrightarrow $ $\sqrt{ab}$ $\leq $ $\frac{a + b}{2}$

Suy ra: $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{2}{\sqrt{ab}}$ $\geq $ $\frac{2}{\frac{a + b}{2}}$= $\frac{4}{a + b}$

Vậy $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ $\geq $ $\frac{4}{a + b}$.

2. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai cặp số (a; b) và (x; y):

$(ax + by)^{2}$ $\leq $ ($a^{2}$ + $b^{2}$)($x^{2}$ + $y^{2}$); 

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ay = bx, hay $\frac{x}{a}$ = $\frac{y}{b}$ (khi ab $\neq $ 0).

Bất đẳng thức này mang tên nhà toán học người Nga Bu-nhi-a-cốp-xki (Viktor Bunyakovsky, 1804 - 1889).

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ ; 

b) $a^{4}$ + $b^{4}$  $\geq $ 2, biết rằng a + b = 2.

Trả lời:

a) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1 ; 1) và (a; b)ta có:

($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(1.a + 1.b)^{2}$ = $(a + b)^{2}$

Dấu bằng xảy ra khi a = b.

Vậy 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$

b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp số (1; 1) và ($a^{2}$; $b^{2}$) ta có:

($1^{2}$ + $1^{2}$)($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $(1.a^{2} + 1.b^{2})^{2}$ = $(a^{2} + b^{2})^{2}$ 

Theo câu a: 2($a^{2}$ + $b^{2}$) $\geq $ $(a + b)^{2}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + $b^{2}$ $\geq $ $\frac{(a + b)^{2}}{2}$ 

$\Rightarrow $ 2($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ $\frac{(a + b)^{4}}{4}$ = $\frac{2^{4}}{4}$ = 4

$\Rightarrow $ ($a^{4}$ + $b^{4}$) $\geq $ 2.