Giải Toán 8 sách VNEN bài 6: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

A. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

1. Trò chơi ghép cặp

Ghép một số ở cột A với một số ở cột B để được một cặp số bằng nhau, rồi điền vào bảng kết quả:

Trả lời:

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. b) Điền vào chỗ trống (...) để hoàn thiện lời giải

Ví dụ 2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức:

B = 4x + 5 + $\left | -2x \right |$ khi x $\geq $ 0.

Giải: Khi x $\geq $ 0, ta có - 2x..........0, nên $\left | -2x \right |$ = .........

Vậy B = 4x + 5 + .......= .........

Trả lời: 

B = 4x + 5 + $\left | -2x \right |$ khi x $\geq $ 0.

Giải: Khi x $\geq $ 0, ta có - 2x $\leq $ 0, nên $\left | -2x \right |$ = - 2x

Vậy B = 4x + 5 + (- 2x) = 2x + 5.

2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

b) Điền vào chỗ trống (...) để hoàn thiện lời giải

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\left | x - 3 \right |$ = 9 - 2x.

Giải: Ta có: $\left | x - 3 \right |$= x - 3 khi x - 3 $\geq $ 0 hay x $\geq $ 3 ;

                   $\left | x - 3 \right |$=.........khi..........hay x...........

Vậy để giải phương trình (2) ta quy về giải hai phương trình sau:

* Phương trình x - 3 = 9 - 2x với điều kiện x $\geq $ 3.

 Ta có: x - 3 = 9 - 2x $\Leftrightarrow $ x + 2x = 9 + 3 $\Leftrightarrow $ ........x =............ $\Leftrightarrow $ x =...........

Giá trị x =.........thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 3 nên.............là nghiệm của phương trình (2).

* Phương trình............= 9 - 2x với điều kiện x <........

 Ta có: ........+ 2x = 9...........$\Leftrightarrow $ x =.........

Giá trị.......không thỏa mãn điều kiện x <......nên........không là nghiệm của phương trình (2)

Tổng hợp các kết quả trên, ta có kết quả của tập nghiệm của phương trình (2) là: S = {........}

Trả lời:

Ta có: $\left | x - 3 \right |$= x - 3 khi x - 3 $\geq $ 0 hay x $\geq $ 3 ;

                   $\left | x - 3 \right |$= 3 - x khi x - 3 < 0 hay x < 3

Vậy để giải phương trình (2) ta quy về giải hai phương trình sau:

* Phương trình x - 3 = 9 - 2x với điều kiện x $\geq $ 3.

 Ta có: x - 3 = 9 - 2x $\Leftrightarrow $ x + 2x = 9 + 3 $\Leftrightarrow $ 3x = 12 $\Leftrightarrow $ x = 4

Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 3 nên x = 4 là nghiệm của phương trình (2).

* Phương trình x - 3 = 9 - 2x với điều kiện x < 3.

 Ta có: - x + 2x = 9 - 3 $\Leftrightarrow $ x = 6

Giá trị x = 6 không thỏa mãn điều kiện x < 3 nên x = 6 không là nghiệm của phương trình (2)

Tổng hợp các kết quả trên, ta có kết quả của tập nghiệm của phương trình (2) là: S = {4}.

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức sau:

a) A = 3x + 2 + $\left | 5x \right |$ trong hai trường hợp x $\geq $ 0 và x < 0.

b) B = $\left | - 4x \right |$ - 2x + 12 trong hai trường hợp x $\leq $ 0 và x > 0.

c) C = $\left | x - 4 \right |$- 2x + 12 khi x > 5.

d) D = 3x + 2 + $\left | x + 5 \right |$.

Trả lời:

a) A = 3x + 2 + $\left | 5x \right |$ 

Ta có: A = 3x + 2 + 5x = 8x + 2 khi x $\geq $ 0  

          A = 3x + 2 - 5x = 2 - 2x khi x < 0.

b) B = $\left | - 4x \right |$ - 2x + 12

Ta có: B = - 4x - 2x + 12 = - 6x + 12 khi x  $\leq $ 0

           B = 4x - 2x + 12 = 2x + 12 khi x > 0

c) C = $\left | x - 4 \right |$- 2x + 12 

Ta có: C = x - 4 - 2x + 12 = - x + 8 khi x > 5

d) D = 3x + 2 + $\left | x + 5 \right |$

Ta có: D = 3x + 2 + x + 5 = 4x + 7 khi x + 5 $\geq $ 0 hay x $\geq $ - 5

           D = 3x + 2 -  x - 5 = 2x - 3 khi x + 5 < 0 hay x < - 5.

Câu 2: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Giải các phương trình sau:

a) $\left | 2x \right |$ = x - 6 ;                               b) $\left | - 3x \right |$ = x - 8 ;

c) $\left | 4x \right |$  = 2x + 12 ;                         d) $\left | - 5x \right |$ - 16 = 3x.

Trả lời:

Giải câu a) $\left | 2x \right |$ = x - 6

Ta có: * 2x = x - 6 $\Leftrightarrow $ x = - 6 khi x $\geq $ 0 

Giá trị x = - 6 không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 0 nên x = - 6 không phải là nghiệm của phương trình

           * - 2x = x - 6 $\Leftrightarrow $ x = 2 khi x < 0

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = 2 không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\oslash $

Giải câu b) $\left | - 3x \right |$ = x - 8

Ta có: * 3x = x - 8 $\Leftrightarrow $ x = - 4 khi x $\geq $ 0 

Giá trị x = -4 không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 0 nên x = - 4 không phải là nghiệm của phương trình

          * - 3x = x - 8 $\Leftrightarrow $ x = 2 khi x < 0

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = 2 không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\oslash $

Giải câu c) $\left | 4x \right |$  = 2x + 12 

Ta có: * 4x = 2x + 12 $\Leftrightarrow $ x = 6 khi x $\geq $ 0 

Giá trị x = 6 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 0 nên x = 6 là nghiệm của phương trình

           * - 4x = 2x + 12 $\Leftrightarrow $ x = - 2 khi x < 0

Giá trị x = - 2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = - 2 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; 6}.

Giải câu d) $\left | - 5x \right |$ - 16 = 3x

Ta có: * 5x - 16 = 3x $\Leftrightarrow $ x = - 2 khi x $\geq $ 0 

Giá trị x = 8 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 0 nên x = 8 là nghiệm của phương trình

           * - 5x - 16 = 3x $\Leftrightarrow $ x = - 2 khi x < 0

Giá trị x = - 2 thỏa mãn điều kiện x < 0 nên x = - 2 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; 8}

Câu 3: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Giải các phương trình sau:

a) $\left | x - 7\right |$ = 2x + 3;                                 b) $\left | x + 4 \right |$ = 2x - 5 ;

c) $\left | x + 3\right |$  = 3x - 1;                                d) $\left | x - 4 \right |$ + 3x = 5.

Trả lời:

Giải câu a) $\left | x - 7\right |$ = 2x + 3 

Ta có: * x - 7 = 2x + 3 $\Leftrightarrow $ x = - 10 khi x - 7 $\geq $ 0 hay x $\geq $ 7

Giá trị x = - 10 không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 7 nên x = - 10 không phải là nghiệm của phương trình

           * 7 - x = 2x + 3 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{4}{3}$ khi x - 7 < 0 hay x < 7

Giá trị x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện x < 7 nên x = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{4}{3}$}.

Giải câu b) $\left | x + 4 \right |$ = 2x - 5

Ta có: * x + 4 = 2x - 5 $\Leftrightarrow $ x = 9 khi x + 4 $\geq $ 0 hay x $\geq $ - 4

Giá trị x = 9 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ - 4 nên x = 9 là nghiệm của phương trình

           * - x - 4 = 2x - 5 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{3}$ khi x + 4 < 0 hay x < - 4

Giá trị x = $\frac{1}{3}$ không thỏa mãn điều kiện x < - 4 nên x = $\frac{1}{3}$ không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {9}.

Giải câu c) $\left | x + 3\right |$  = 3x - 1

Ta có: * x + 3 = 3x - 1 $\Leftrightarrow $ x = 2 khi x + 3 $\geq $ 0 hay x $\geq $ - 3

Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ - 3 nên x = 2 là nghiệm của phương trình

           * - x - 3 = 3x - 1 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{-1}{2}$ khi x + 3 < 0 hay x < - 3

Giá trị x = $\frac{-1}{2}$ không thỏa mãn điều kiện x < - 3 nên x = $\frac{-1}{2}$ không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.

Giải câu d) $\left | x - 4 \right |$ + 3x = 5

Ta có: * x - 4 + 3x = 5 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{9}{4}$ khi x - 4 $\geq $ 0 hay x $\geq $ 4

Giá trị x = $\frac{9}{4}$ không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 4 nên x = $\frac{9}{4}$ không phải là nghiệm của phương trình

           * 4 - x + 3x= 5 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{2}$ khi x - 4 < 0 hay x < 4

Giá trị x = $\frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện x < 4 nên x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{1}{2}$}.

Câu 4: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Với giá trị nào của x thì mỗi đẳng thức sau luôn đúng?

a) $\left | x + 1 \right |$ = x + 1 ;                                         b)  $\left |x - 5 \right |$ = 5 - x.

Trả lời:

a) $\left | x + 1 \right |$ = x + 1 khi x + 1 $\geq $ 0 $\Leftrightarrow $ x $\geq $ - 1

Vậy x $\geq $ - 1.

b) $\left |x - 5 \right |$ = 5 - x khi x - 5 $\leq $ 0 $\Leftrightarrow $  x $\leq $ 5

Vậy x $\leq $ 5

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG 

Câu 1: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Từ $\left | x \right |$ = 3 $\Leftrightarrow $ x = 3 hoặc x = - 3 ta mở rộng được:

* $\left | f(x) \right |$ = a $\Leftrightarrow $ f(x) = a hoặc f(x) = - a (với a $\geq $ 0).

* $\left |  f(x) \right |$ = g(x) $\Leftrightarrow $ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x) ( với điều kiện g(x) $\geq $ 0).

Áp dụng kết quả trên, em hãy giải các bất phương trình sau:

a) $\left | 2x - 1 \right |$ = 7 ;                                              b) $\left | 2 - 3x \right |$ = - 8 ;

c)$\left | 3x - 1 \right |$ = x - 1 ;                                         d) $\left | 3 - 2x \right |$ = 5 - x.

Trả lời:

Giải câu a)

$\left | 2x - 1 \right |$ = 7 $\Leftrightarrow $ 2x - 1 = 7 hoặc 2x - 1 = - 7 $\Leftrightarrow $  x = 4 hoặc x = - 3

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 3; 4}. 

Giải câu b) 

$\left | 2 - 3x \right |$ = - 8 $\Leftrightarrow $  2 - 3x = - 8 hoặc 2 - 3x = 8 $\Leftrightarrow $  x = $\frac{10}{3}$ hoặc x = - 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; $\frac{10}{3}$}. 

Giải câu c) $\left | 3x - 1 \right |$ = x - 1 

Ta có: * 3x - 1 = x - 1 $\Leftrightarrow $ x = 0 khi 3x - 1 $\geq $ 0 hay x $\geq $ $\frac{1}{3}$

Giá trị x = 0 không thỏa mãn điều kiện x $\geq $ $\frac{1}{3}$ nên x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

           * - 3x + 1 = x - 1 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{2}$ khi 3x - 1  < 0 hay x < $\frac{1}{3}$

Giá trị x = $\frac{1}{2}$ không thỏa mãn điều kiện x < $\frac{1}{3}$ nên x = $\frac{1}{2}$ không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\oslash $

Giải câu d) $\left | 3 - 2x \right |$ = 5 - x

Ta có: * 3 - 2x = 5 - x $\Leftrightarrow $ x = - 2 khi 3 - 2x $\geq $ 0 hay x $\leq $ $\frac{3}{2}$

Giá trị x = - 2 thỏa mãn điều kiện x $\leq $ $\frac{3}{2}$ nên x = - 2 là nghiệm của phương trình

           * 2x - 3 = 5 - x $\Leftrightarrow $ x = $\frac{8}{3}$ khi 3 - 2x  < 0 hay x > $\frac{3}{2}$

Giá trị x = $\frac{8}{3}$ thỏa mãn điều kiện x > $\frac{3}{2}$ nên x = $\frac{8}{3}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 2; $\frac{8}{3}$ }

Câu 2: Trang 44 sách VNEN 8 tập 2 

Từ biến đổi $\left | a \right |$ = $\left | b \right |$ $\Leftrightarrow $ a = b hoặc a = - b ta mở rộng được:

$\left | f(x) \right |$ = $\left | g(x) \right |$  $\Leftrightarrow $ f(x) = g(x) hoặc f(x) = - g(x).

Em hãy áp dụng kết quả trên để giải các bất phương trình sau:

a) $\left | 3x - 7 \right |$ = $\left | 2x \right |$ ;                                     b) $\left | 1 - 2x \right |$ = $\left | x + 1 \right |$.

Trả lời:

a) Ta có: $\left | 3x - 7 \right |$ = $\left | 2x \right |$

$\Leftrightarrow $ 3x - 7 = 2x hoặc 3x - 7 = - 2x $\Leftrightarrow $ x = 7 hoặc x = $\frac{7}{5}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { 7; $\frac{7}{5}$}.

b) Ta có: $\left | 1 - 2x \right |$ = $\left | x + 1\right |$

$\Leftrightarrow $ 1 - 2x = x + 1 hoặc 1 - 2x = - x - 1 $\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc x = 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = { 0; 2}.

E. HOẠT ĐỘNG TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Người ta đã chứng minh được bất đẳng thức sau: $\left | a + b \right |$ $\leq $ $\left | a \right |$ + $\left | b \right |$

Đẳng thức xảy ra, tức là $\left | a+ b \right |$ = $\left | a \right |$ + $\left | b \right |$, khi và chỉ khi ab > 0.

Áp dụng: Giải các phương trình sau:

a) $\left | x + 1 \right |$ + $\left | 1 - x \right |$ = 2 ;                             b) $\left | 2x - 1 \right |$ + 2$\left | x - 1 \right |$ = 1 ; 

c*) $\left | x + 2 \right |$ + $\left | x - 5 \right |$ = 7 ;                            d*) $\left | 2x \right |$ + $\left | 1 - x \right |$ + $\left | 3 - x \right |$ = 4

Trả lời:

Giải câu a)

$\left | x + 1 \right |$ + $\left | 1 - x \right |$ = 2

* TH1:  x $\leq $ - 1 phương trình $\Leftrightarrow $ - x - 1 + 1 - x = 2 $\Leftrightarrow $ x = -1

* TH2: - 1 < x $\leq $ 1 phương trình $\Leftrightarrow $ x + 1 + 1 - x = 2  $\Leftrightarrow $ thõa mãn với mọi x

* TH3: x $\geq $ 1 phương trình $\Leftrightarrow $ x + 1 + x - 1= 2 $\Leftrightarrow $ x = 1

Vậy nghiệm là x = - 1, x $\in $ ( - 1; 1] $\Leftrightarrow $ x $\in $ [-1; 1]

Giải câu b)

 $\left | 2x - 1 \right |$ + 2$\left | x - 1 \right |$ = 1

* TH1:  x $\leq $ $\frac{1}{2}$ phương trình $\Leftrightarrow $ 1 - 2x + 2(1 - x) = 1 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{1}{2}$ 

* TH2: $\frac{1}{2}$ < x $\leq $ 1 phương trình $\Leftrightarrow $ 2x - 1 + 2(1 - x) = 1  $\Leftrightarrow $ thõa mãn với mọi x

* TH3: x $\geq $ 1 phương trình $\Leftrightarrow $ 2x - 1 + 2(x - 1)= 1 $\Leftrightarrow $ x = 1

Vậy nghiệm là x $\in $ [$\frac{1}{2}$; 1]

Giải câu c)

$\left | x + 2 \right |$ + $\left | x - 5 \right |$ = 7

* TH1:  x $\leq $ - 2 phương trình $\Leftrightarrow $ - x - 2 + 5 -x = 7 $\Leftrightarrow $ x = - 2

* TH2: - 2 < x $\leq $ 5 phương trình $\Leftrightarrow $ x + 2 + 5 - x = 7  $\Leftrightarrow $ thõa mãn với mọi x

* TH3: x $\geq $ 5 phương trình $\Leftrightarrow $ x + 2 + x - 5 = 7 $\Leftrightarrow $ x = 5

Vậy nghiệm là x $\in $ [-2; 5]

Giải câu d)

$\left | 2x \right |$ + $\left | 1 - x \right |$ + $\left | 3 - x \right |$ = 4

* TH1:  x $\leq $ 0 phương trình $\Leftrightarrow $ -2x + 1 - x + 3 - x = 4 $\Leftrightarrow $ x = 0

* TH2: 0 < x $\leq $ 1 phương trình $\Leftrightarrow $ 2x + 1 - x + 3 - x = 4  $\Leftrightarrow $ thõa mãn với mọi x

* TH3: 1 < x $\leq $ 3 phương trình $\Leftrightarrow $ 2x + x - 1 + 3 - x = 4  $\Leftrightarrow $ x = 1

* TH3: x $\geq $ 3 phương trình $\Leftrightarrow $ 2x + x - 1 + x - 3 = 4 $\Leftrightarrow $ x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm là x $\in $ [0; 1]