Giải Toán 8 sách VNEN bài 8: Ôn tập cuối năm

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

PHẦN ĐẠI SỐ

Câu 1: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) $x^{2}$ - 3x + 2 ;                   b) $x^{2}$ + 4x - 12 ;                     c) $x^{3}$ + 27 ;

d) $x^{2}$ + 4xy + 3$y^{2}$ ;            e) $x^{2}$ + xy - 2$y^{2}$ ;           f) $x^{3}$ - 8$y^{3}$.

Trả lời:

Giải câu a) 

$x^{2}$ - 3x + 2 = $x^{2}$ - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2).

Giải câu b) 

$x^{2}$ + 4x - 12 = $x^{2}$ - 2x + 6x - 12 = x(x - 2) + 6(x - 2) = (x - 2)(x + 6).

Giải câu c) 

$x^{3}$ + 27 = (x + 3)($x^{2}$ - 3x + 9).

Giải câu d)  

$x^{2}$ + 4xy + 3$y^{2}$ = $x^{2}$ + xy + 3xy + 3$y^{2}$ = x(x + y) + 3y(x + y ) = (x+ y)(x + 3y)

Giải câu e)  

$x^{2}$ + xy - 2$y^{2}$ = $x^{2}$ - xy + 2xy - 2$y^{2}$ = x(x - y) + 2y(x - y) = (x - y)(x + 2y)

Giải câu f) 

$x^{3}$ - 8$y^{3}$ = (x - 2y)($x^{2}$ + 2xy + 4$y^{2}$).

Câu 2: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Thực hiện phép chia đa thức ($x^{4}$ - 2x$^{3}$ + 3$x^{2}$ + x - 5) : ($x^{2}$ - x - 2).

Trả lời:

Ta thực hiện phép chia:

Vậy ($x^{4}$ - 2x$^{3}$ + 3$x^{2}$ + x - 5) : ($x^{2}$ - x - 2) = $x^{2}$ - x + 4 dư 3x + 3

Câu 3: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Rút gọn biểu thức P = $\frac{a^{2} + 1}{a}$ + $\frac{a^{3} - 1}{a^{2} - a}$ - $\frac{a^{3} + 1}{a^{2} + a}$, với 0 < a, a $\neq $ 1

Trả lời:

P = $\frac{a^{2} + 1}{a}$ + $\frac{a^{3} - 1}{a^{2} - a}$ - $\frac{a^{3} + 1}{a^{2} + a}$ 

   = $\frac{a^{2} + 1}{a}$ + $\frac{(a - 1)(a^{2} + a + 1)}{a(a - 1)}$ - $\frac{(a + 1)(a^{2} - a + 1)}{a(a + 1)}$ 

   = $\frac{a^{2} + 1}{a}$ + $\frac{a^{2} + a + 1}{a}$ - $\frac{a^{2} - a + 1}{a}$ 

   = $\frac{a^{2} + 1 + a^{2} + a + 1 - a^{2} + a - 1 }{a}$

   = $\frac{a^{2} + 2a + 1}{a}$

   = $\frac{(a + 1)^{2}}{a}$

Câu 4: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2x + 3}{4}$ - $\frac{3x + 4}{5}$ = x - 6;                   b) $\frac{x + 5}{x + 1}$ + $\frac{x + 6}{x - 1}$ = 2 ; 

c) $\left |2x + 3 \right |$ = 5 ;   d) 2x + $\left | x - 1 \right |$ = 3 ;    e) $x^{2}$ - 4x = 0 ;  f) $x^{2}$ - 3x + 2 = 0.

Trả lời:

Giải câu a) 

$\frac{2x + 3}{4}$ - $\frac{3x + 4}{5}$ = x - 6

$\Leftrightarrow $ $\frac{10x + 15}{20}$ - $\frac{12x + 16}{20}$ = $\frac{20x - 120}{20}$

$\Leftrightarrow $ 10x + 15 - 12x - 16 = 20x - 120

$\Leftrightarrow $ 10x - 12x - 20x = - 120 + 16 - 15

$\Leftrightarrow $ - 22x = - 119

$\Leftrightarrow $ x = $\frac{119}{22}$

Giải câu b) 

 * Ta có:  $\frac{x + 5}{x + 1}$ + $\frac{x + 6}{x - 1}$ = 2 

Điều kiện xác định của phương trình: x $\neq $ - 1 và x $\neq $ 1

Với điều kiện trên ta có:

 $\frac{x + 5}{x + 1}$ + $\frac{x + 6}{x - 1}$ = 2  $\Leftrightarrow $  $\frac{(x + 5)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$ + $\frac{(x + 6)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)}$ = $\frac{2(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)}$.

                        $\Leftrightarrow $ (x + 5)(x - 1) + (x + 6)(x + 1) = 2(x + 1)(x - 1)

                        $\Leftrightarrow $ $x^{2}$ - x + 5x - 5 + $x^{2}$ + x + 6x + 6 = 2$x^{2}$ - 2

                        $\Leftrightarrow $ 11x = - 3

                        $\Leftrightarrow $ x = $\frac{- 3}{11}$

Đối chiếu x = $\frac{-3}{11}$ thõa mãn điều kiện xác định

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{-3}{11}$}.

Giải câu c) 

$\left |2x + 3 \right |$ = 5

Ta có: * 2x + 3 = 5 $\Leftrightarrow $ x = 1 khi x $\geq $ - $\frac{3}{2}$

Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x $\geq $ - $\frac{3}{2}$ nên x = 1 là nghiệm của phương trình

           * 2x + 3 = - 5 $\Leftrightarrow $ x = - 4 khi x < - $\frac{3}{2}$

Giá trị x = - 4 thỏa mãn điều kiện x <  - $\frac{3}{2}$ nên x = - 4 là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {- 4; 1}.

Giải câu d) 

 2x + $\left | x - 1 \right |$ = 3

Ta có: * 2x + x - 1 = 3 $\Leftrightarrow $ x = $\frac{4}{3}$ khi x $\geq $ 1

Giá trị x = $\frac{4}{3}$ thỏa mãn điều kiện x $\geq $ 1 nên x = $\frac{4}{3}$  là nghiệm của phương trình

           * 2x + 1 - x = 3 $\Leftrightarrow $ x = 2 khi x < 1

Giá trị x = 2 không thỏa mãn điều kiện x < 1 nên x = 2 không phải là nghiệm của phương trình

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {$\frac{4}{3}$}.

Giải câu e) 

$x^{2}$ - 4x = 0 

$\Leftrightarrow $ x(x - 4) = 0

$\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc x - 4 = 0 

$\Leftrightarrow $ x = 0 hoặc x = 4

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4; 0}.

Giải câu f) 

$x^{2}$ - 3x + 2 = 0

$\Leftrightarrow $ (x - 2)(x - 1) = 0 

$\Leftrightarrow $ x - 2 = 0 hoặc x - 1 = 0 

$\Leftrightarrow $ x = 2 hoặc x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2; 1}.

Câu 5: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Giải các bất phương trình sau:

a) 4x - 5 > x + 1 ;                          b) 8x + 7 < 2x - 3.

Trả lời:

a) 4x - 5 > x + 1

$\Leftrightarrow $ 4x - x > 1 + 5

$\Leftrightarrow $ 3x > 6

$\Leftrightarrow $ x > 2

b) 8x + 7 < 2x - 3

$\Leftrightarrow $ 8x - 2x < - 3 - 7

$\Leftrightarrow $ 6x < - 10

$\Leftrightarrow $ x < $\frac{- 10}{6}$

$\Leftrightarrow $ x < $\frac{- 5}{3}$

Câu 6: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Cho biểu thức: Q = $\frac{2x - 9}{x^{2} - 5x + 6}$ - $\frac{x + 3}{x - 2}$ + $\frac{2x + 1}{x - 3}$.

a) Rút gọn biểu thức; 

b) Tìm điều kiện của x để $\left | Q \right |$ = 1;

c) Tìm số tự nhiên x để Q nhận giá trị nguyên;

d) Tìm điều kiện của x để Q nhận giá trị âm.

Trả lời:

Giải câu a)

Điều kiện xác định: x $\neq $ 2, x $\neq $ 3.

Q = $\frac{2x - 9}{x^{2} - 5x + 6}$ - $\frac{x + 3}{x - 2}$ + $\frac{2x + 1}{x - 3}$

   = $\frac{2x - 9}{(x - 2)(x - 3)}$ - $\frac{x + 3}{x - 2}$ + $\frac{2x + 1}{x - 3}$

   = $\frac{2x - 9 - (x + 3)(x - 3) + (2x + 1)(x - 2)}{(x - 2)(x - 3)}$

   =  $\frac{2x - 9 - x^{2} + 9 + 2x^{2} - 4x +  x - 2}{(x - 2)(x - 3)}$

   =  $\frac{x^{2} - x - 2}{(x - 2)(x - 3)}$

   =  $\frac{(x - 2)(x + 1)}{(x - 2)(x - 3)}$

   = $\frac{x + 1}{x - 3}$

Giải câu b) $\left | Q \right |$ = 1

$\Leftrightarrow $ $\left |\frac{x + 1}{x - 3} \right |$ = 1

Điều kiện x $\neq $ 3

* Ta có: $\frac{x + 1}{x - 3}$ = 1 khi $\frac{x + 1}{x - 3}$ > 0 $\Leftrightarrow $ x > 3 hoặc x < -1

$\frac{x + 1}{x - 3}$ = 1 

$\Leftrightarrow $ x + 1 = x - 3

$\Leftrightarrow $ 0x = - 4  

$\Rightarrow $ vô nghiệm.

* Ta có: $\frac{x + 1}{x - 3}$ = - 1 khi $\frac{x + 1}{x - 3}$ < 0 $\Leftrightarrow $ - 1 < x < 3

 $\frac{x + 1}{x - 3}$ = - 1 

$\Leftrightarrow $ x + 1 = 3 - x

$\Leftrightarrow $ 2x = 2

$\Leftrightarrow $ x = 1 (thỏa mãn)

Vậy x = 1.

Giải câu c) Q = $\frac{x + 1}{x - 3}$ = 1 + $\frac{4}{x - 3}$

Q nhận giá trị nguyên khi 4 chia hết cho x - 3 hay x - 3 là nghiệm của 4

* TH1: x - 3 = - 4 $\Leftrightarrow $ x = - 1

* TH2: x - 3 = - 2 $\Leftrightarrow $ x = 1

* TH3: x - 3 = - 1 $\Leftrightarrow $ x = 2

* TH4: x - 3 = 1 $\Leftrightarrow $ x = 4

* TH5: x - 3 = 2 $\Leftrightarrow $ x = 5

* TH5: x - 3 = 4 $\Leftrightarrow $ x = 7.

Vậy tập nghiệm x là S = {-1; 1; 2; 4; 5; 7}.

Giải câu d)  Q = $\frac{x + 1}{x - 3}$ 

Q nhận giá trị âm: Q < 0 $\Leftrightarrow $ $\frac{x + 1}{x - 3}$  < 0

* TH1: x + 1 > 0 và x - 3 < 0 $\Leftrightarrow $ x > - 1 và x < 3 suy ra - 1 < x < 3.

* TH2: x + 1 < 0 và x - 3 > 0 $\Leftrightarrow $ x < - 1 và x > 3 suy ra vô nghiệm.

Vậy Q âm khi - 1 < x < 3.

PHẦN HÌNH HỌC

Câu 1: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình thang ABCD, hai cạnh đáy AB và CD. Hai đường chéo cắt nhau tại O. Biết rằng OA = 2cm, OC = 6cm, OB = 4cm. Tính OD.

Trả lời:

Ta có: AB // DC, theo đính lí Ta-lét:

$\frac{OA}{OC}$ = $\frac{OB}{OD}$ 

$\Leftrightarrow $ OD = $\frac{OC.OB}{OA}$ = 12cm

Câu 2: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh AB và CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:

a) AMCN là hình bình hành.

b) Ba đường thẳng AC, BD, MN đồng quy.

Trả lời:

a) Tứ giác AMCN có AM // CN và AM = CN (theo bài ra)

Suy ra AMCN là hình bình hành.

b) Ta có: ABCD là hình bình hành $\Rightarrow $ đường chéo BD đi qua trung điểm O của đường chéo AC (1)

              AMCN là hình bình hành $\Rightarrow $ đường chéo MN đi qua trung điểm O của đường chéo AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC, BD, MN đông quy tại điểm O.

Câu 3: Trang 116 sách VNEN 8 tập 2 

Cho tứ giác ABCD có AB $\perp $ BD, AC $\perp $ CD. Hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.

Trả lời:

Xét $\Delta $ ABI và $\Delta $ CDI có $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACD}$ = $90^{\circ}$,  $\widehat{BIA}$ = $\widehat{CID}$

nên $\Delta $ ABI $\sim $ $\Delta $ CDI 

Suy ra: $\frac{IA}{ID}$ = $\frac{IB}{IC}$

$\Leftrightarrow $ IA.IC = IB.ID

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Câu 1: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Một ô tô tải đi từ A đến B với vận tốc 45km/h. Sau đó 1 giờ 30 phút thì một xe khác cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc 60km/h và đến B cùng lúc với xe tải. Tính quãng đường AB.

Trả lời:

Giả sử thời gian xe ô tô từ A đến B là x giờ 

Do ô tô khởi hành trước xe kia 1 giờ 30 phút nên xe kia đến B sau x - 1,5 giờ

Quãng đường AB ô tô đi được là: 45x (km)

Quãng đường AB xe kia đi được là: 60(x - 1,5) (km)

$\Rightarrow $ 45x = 60(x - 1,5)  $\Leftrightarrow $ x = 6 giờ

Suy ra quãng đường AB = 6.45 = 270km.

Câu 2: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Trong tuần đầu, hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ hai, tổ A sản xuất vượt mức 25%, tổ B giảm mức 18% nên trong tuần này, cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?

Trả lời:

Gọi số sản phẩm mà tổ 1 làm được trong tuần đầu là x (sản phẩm)

       Số sản phẩm mà tổ 2 làm được trong tuần đầu là 1500 - x (sản phẩm) ( 0 < x < 1500)

Vi sang tuần 2 tổ A vượt mức 25%, tổ B giảm 18% và hai tổ làm được 1617 bộ quần áo nên ta có phương trình:

x(1 + 25%) + (1500 - x)(1 - 18%) = 1617 

Giải phương trình ta được x = 900

Vậy trong tuần đầu tổ 1 sản xuất được 900 sản phẩm, tổ 2 sản xuất được 600 sản phẩm.

Câu 3: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Trong hình 128, đoạn thẳng AH biểu diễn một cái cột mà người ta cần đo chiều cao. Ba điểm O, H, K thẳng hàng và ba điểm O, A, B thẳng hàng. Biết rằng OK = 1m, OH = 100m, BK = 1,5m. Tính chiều cao của cột.

Trả lời:

$\Delta $ OBK và $\Delta $ OAH có góc O chung $\widehat{OKB}$ = $\widehat{OHA}$ = $90^{\circ}$

nên $\Delta $ OBK $\sim $ $\Delta $ OAH 

Suy ra: $\frac{OK}{OH}$ = $\frac{BK}{AH}$

$\Rightarrow $ $\frac{1}{100}$ = $\frac{1,5}{AH}$  

$\Rightarrow $ AH = 150m

Vậy chiều cao cột cần đo là 150m.

Câu 4: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Một miếng bìa hình chữ nhật có đường chéo là 1m và một cạnh là 6dm. Tính diện tích của miếng bìa.

Trả lời:

Áp dụng định lí Py-ta-go, độ dài cạnh còn lại là

$\sqrt{10^{2} - 6^{2}}$ = 8dm

Diện tích miếng bìa là

S = 6.8 = 48 $dm^{2}$

Vậy diện tích miếng bìa là 48 $dm^{2}$.

Câu 5: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Một mảnh giấy có dạng hình thoi với hai đường chéo là 12cm và 16cm. Tính diện tích của mảnh giấy này.

Trả lời:

Diện tích của mảnh giấy hình thoi này là:

S = $\frac{1}{2}$.12.16 = 96 $cm^{2}$

Câu 6: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Một hộp đựng thực phẩm có dạng hình lập phương và có diện tích toàn phần bằng 96$dm^{2}$. Tính thể tích của hộp.

Trả lời:

Gọi cạnh hình lập phương là a

Theo bài ra: diện tích toàn phần của hộp đựng thực phẩm hình lập phương là 96$dm^{2}$

Tức là 6$a^{2}$ = 96 $\Leftrightarrow $ a = 4dm

Thể tích của hộp la:

V = $a^{3}$ = $4^{3}$ = 64 $dm^{3}$

Câu 7: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Một dụng cụ đựng chất lỏng có dạng một hình chóp tứ giác đều với đường cao là 20cm và đường chéo của mặt đáy là 15$\sqrt{2}$. Tính thể tích của dụng cụ.

Trả lời:

Độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều là:

a = $\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ = 15cm

Thể tích của dụng cụ là:

V = $\frac{1}{3}$.20.$15^{2}$ = 1500 $cm^{3}$

Vậy thể tích của dụng cụ là 1500 $cm^{3}$.

Câu 8: Trang 117 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 18cm va trung đoạn bằng 15cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp đều.

b) Tính đường cao của hình chóp đều và thể tích của hình chóp đều.

c) Cắt hình chóp đều bởi mặt phẳng (P) song song với đáy (ABCD) ta được hình chóp cụt đều MNPQ.ABCD (h.106). Biết rằng $\frac{SM}{SA}$ = $\frac{2}{5}$. Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt đều.

Trả lời:

a) Diện tích xung quanh của hình chóp đều là:

Sxq = 2.18.15 = 540 $cm^{2}$

b) Đường cao của hình chóp đều là:

h = SO = $\sqrt{SM^{2} - OM^{2}}$ = $\sqrt{15^{2} - 9^{2}}$ = 12cm

Thể tích của hình chóp đều là:

V = $\frac{1}{3}$.h.Sđ = $\frac{1}{3}$.12.$18^{2}$  = 1296 $cm^{3}$

c) 

Xét tam giác SAB ta có: SH = 15cm

$\frac{SI}{SH}$ =  $\frac{SM}{SA}$ = $\frac{2}{5}$

Suy ra SK = 6cm.

Ta có: $\frac{MN}{AB}$ = $\frac{SM}{SA}$ = $\frac{2}{5}$ 

Suy ra MN = $\frac{36}{5}$ cm

Diện tích xung quang của hình chóp S.MNPQ là:

2.$\frac{36}{5}$.6=  $\frac{432}{5}$ $cm^{2}$

Diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD là:

2.18.15 = 540 $cm^{2}$

Diện tích xung quanh của hình chóp cụt bằng hiệu diện tích xung quang của hình chóp S.ABCD và diện tích xung quang của hình chóp S.MNPQ

Sxq = 540 - $\frac{432}{5}$  = $\frac{2268}{5}$ $cm^{2}$