Tải giáo án điện tử dạy thêm Toán 11 KNTT Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI TIẾT HỌC HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

Thế nào là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) trong không gian? 

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ  

VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 

BÀI 24: PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ  

MẶT PHẲNG 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Phép chiếu vuông góc

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương Δ vuông góc với (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).  

Chú ý: 

Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng có mọi tính chất của phép chiếu song song. 

Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng (P). Hình chiếu vuông góc của ℋ, kí hiệu ℋ^′. 

Định lí ba đường vuông góc 

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng a khi và chỉ khi b vuông góc với hình chiếu vuông góc a′ của a trên (P). 

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phằng (P) bằng 90^∘. 

Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a^′ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P). 

Chú ý. Nếu α là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) thì 0≤α≤90^∘. 

Nhận xét. Cho điểm A có hình chiếu H trên mặt phẳng (P). Lấy điểm O thuộc mặt phẳng (P), O không trùng H. Khi đó góc giữa đường thẳng AO và mặt phẳng (P) bằng góc AOH. 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Bài toán xác định hình chiếu vuông góc của điểm trên mặt phẳng. Bài toán sử dụng định lí ba đường vuông góc 

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB,AC, AD đôi một vuông góc. 

1. a) Chứng minh hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm của tam giác BCD.
2. b) Chứng minh rằng 1/AH^2=1/AB^2+1/AC^2+1/AD^2.
3. c) Chứng minh rằng tam giác BCD có 3 góc nhọn.

Giải 

1. a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD) thì AH⊥(BCD)

Ta có: {■(AD⊥AB@AD⊥AC)⇒AD⊥(ABC)⇒AD⊥BC┤ 

Mặt khác AH⊥BC⇒BC⊥(ADH)⇒BC⊥DH 

Tương tự chứng minh trên ta có: BH⊥CD 

Do đó H là trực tâm của tam giác BCD. 

1. b) Gọi E=DH∩BC, do BC⊥(ADH)

⇒BC⊥AE  

Xét △ABC vuông tại A có đường cao AE ta có: 

1/AE^2=1/AB^2+1/AC^2 

Lại có:  

1/AH^2=1/AD^2+1/AE^2=1/AB^2+1/AC^2+1/AD^2(đpcm) 

Ta có: {■(BC=√x^2+y^2@BD=√x^2+z^2@CD=√y^2+z^2)┤ 

Khi đó cosB=BC^2+BD^2−CD^2/2.BC.BD=x^2/BC.BD>0 

⇒(CBD) ̂<90^∘ 

Tương tự chứng minh trên ta cũng có {■((BDC) ̂<90^∘@(BCD) ̂<90^∘)⇒┤ tam giác BCD có 3 góc nhọn. 

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tâm O, các cạnh bên bằng nhau;SO=2a. Gọi M là điểm thuộc đoạn AO(M≠A;M≠O). Mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với AO. Đặt AM=x.  

1. a) Xác định hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC).
2. b) Tính diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt phẳng (SAB), (ABC), (SAC).

Giải 

1. a) Gọi O′ là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC), tức là SO′⊥(ABC)

Khi đó ta có ΔSO′A=ΔSO′B=ΔSO′C 

⇒O′A=O′B=O′C 

Mà tam giác ABC đều có tâm O. 

Suy ra O≡O′, hay hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm O. 

1. b) SO⊥(ABC)

Do đó SO⊥AA^′ mà (α)⊥AA^′ suy ra SO//(α) 

Tương tự ta cũng có BC//(α). 

Qua M kẻ IJ//BC với I∈AB,J∈AC 

Kẻ MK//SO với K∈SA 

Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến là tam giác KIJ 

Diện tích tam giác IJK là  

S_ΔJJK=1/2IJ.MK 

Trong tam giác ABC, ta có  

IJ/BC=2/3⇒IJ=2x√3/3 

Tương tự trong tam giác SAO, ta có MK/SO=AM/AO 

Suy ra MK=AM⋅SO/AO=2x√3 

Vậy S_ΔJK=1/2⋅2x√3/3⋅2x√3=2x^2. 

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA= a. 

1. a) Gọi D_1 là trung điểm của SD. Chứng minh rằng AD_1⊥(SCD).
2. b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên SD. Chứng minh rằng hình chiếu của điểm O trên CM thuộc đường tròn    cố định.

...