Tải giáo án điện tử dạy thêm Toán 11 KNTT Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC NGÀY HÔM NAY! 

KHỞI ĐỘNG 

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x_o∈(a;b). Hãy nêu định nghĩa của đạo hàm tại điểm x_o? 

CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM 

BÀI 31: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC 

1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và điểm x_0∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn 

lim┬x→x_0 f(x)−f(x_0)/x−x_0 

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0, kí hiệu bởi f^′(x_0) (hoặc ├ y^′(x_0)), tức là 

f^′(x_0)=lim┬x→x_0 f(x)−f(x_0)/x−x_0. 

Các bước: tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0∈(a;b) 

1. Tính f(x)−f(x_0).
2. Lập và rút gọn tỉ số f(x)−f(x_0)/x−x_0 với x∈(a;b),x≠x_0.
3. Tìm giới hạn lim_x→x_0 f(x)−f(x_0)/x−x_0.

Hoặc: Đặt ℎ=x−x_0, khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x_0=1 có thể tính như sau: 

f^′(x_0)=lim┬ℎ→0 f(x_0+ℎ)−f(x_0)/ℎ 

2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y=f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a;b) nếu nó có đạo hàm f^′(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y^′=f^′(x). 

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm (x_1;y_1) và (x_2;y_2), với x_1≠x_2, là 

k=y_2−y_1/x_2−x_1 

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm P(x_0;f(x_0)) là đạo hàm f^′(x_0). 

Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x_0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(x_0;y_0) là y−y_0=f^′(x_0)(x−x_0), trong đó y_0=f(x_0). 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm, trên một khoảng bằng định nghĩa 

Phương pháp giải: Các bước: tính đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x_0∈(a;b): 

1. Tính f(x)−f(x_0).
2. Lập và rút gọn tỉ số f(x)−f(x_0)/x−x_0 với x∈(a;b),x≠x_0.
3. Tìm giới hạn lim_x→x_0 f(x)−f(x_0)/x−x_0.

Hoặc: Đặt ℎ=x−x_0, khi đó đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x_0=1 có thể tính như sau: 

f^′(x_0)=lim┬ℎ→0 f(x_0+ℎ)−f(x_0)/ℎ 

Bài 1. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số 

3. a) y=2x−1/x+1 tại x_0=3;           b) y=√2x−1 tại x_0=1;          c) y=sinx tại x_0=π/3.

Giải: 

2. a) f^′(3)=lim┬x→3f(x)−f(3)/x−3==lim┬x→32x−1/x+1−2.3−1/3+1/x−3=lim┬x→33/4(4+x−3)=3/16

Vậy f^′(3)=3/16. 

1. b) Ta có: Δy=f(1+Δx)−f(1)=√2(1+Δx)−1−1=2Δx/√2Δx+1+1

■(&Δy/Δx=2Δx/Δx(√2Δx+1+1)=2/√2Δx+1+1@& ) 

f^′(1)=lim┬h→0 f(1+ℎ)−f(1)/ℎ=lim┬h→0 √2(1+h)−1−1/ℎ=lim┬h→0 2/√2h+1+1=1. 

Vậy f^′(1)=1. 

1. c) Ta có f(π/3+h)−f(π/3)=sin⁡(π/3+h)−sin⁡π/3=2cos⁡(π/3+ℎ/2)sin⁡ℎ/2

f(π/3+h)−f(π/3)/ℎ=cos⁡(π/3+ℎ/2)sin⁡ℎ/2/ℎ/2 

Do đó f^′(π/3)=lim┬h→0 f(π/3+h)−f(π/3)/ℎ=lim┬h→0cos(π/3+ℎ/2)sinℎ/2/ℎ/2=1/2 

Vì lim┬h→0 sin⁡ℎ/2/ℎ/2=1. Vậy f^′(π/3)=1/2. 

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x)={■((x−1)^2,x≥0@−x^2,x<0)┤ không có đạo hàm tại x=0 nhưng có đạo hàm tại x=2. 

Giải: 

Ta có lim┬x→0^+ f(x)=lim┬x→0^+ (x−1)^2=1;lim┬x→0^− f(x)=lim┬x→0^− (−x^2)=0 

⇒lim┬x→0^+ f(x)≠lim┬x→0^− f(x) 

Suy ra hàm số gián đoạn tại x=0 nên không có đạo hàm tại đó. 

lim┬h→0 f(2+h)−f(2)/ℎ=lim┬h→0 (1+h)^2−1^2/ℎ=lim┬h→0 (2+h)=2 

Vậy hàm số y=f(x) có đạo hàm tại x=2 và f^′(2)=2. 

Bài 3. Chứng minh rằng hàm số f(x)=2x^2+|x+1|/x−1 liên tục tại x=−1 

nhưng không có đạo hàm tại điểm đó. 

Giải: 

Vì f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x=−1 nên nó liên tục tại đó. 

Ta có:   

lim┬x→(−1)^+f(x)−f(−1)/x+1 = lim┬x→(−1)^+2x/x−1=1;lim┬x→(−1)^− f(x)−f(−1)/x+1=lim┬x→(−1)^− 2=2 

Do đó lim┬x→(−1)^+f(x)−f(−1)/x+1 ≠lim┬x→(−1)^− f(x)−f(−1)/x+1  

nên f(x) không có đạo hàm tại x=−1. 

Bài 4. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y=x/x−1  

trên các khoảng (−∞;1) và (−1;+∞). 

Giải: 

lim┬ℎ→0f(x+ℎ)−f(x)/ℎ =lim┬ℎ→0x+h/x+h−1−x/x−1/ℎ 

=lim┬ℎ→0 −1/(x+h−1)(x−1)=−1/(x−1)^2 

Vậy f^′(x)=−1/(x−1)^2. 

Bài 5. Tìm a, b để hàm số f(x)={█(x^2−3x, kℎi x≥2@ax+b,   kℎi x<2)┤ có đạo hàm tại x=2. 

Giải: 

lim┬x→2^+f(x) =lim┬x→2^+ (x^2−3x)=−2;lim┬x→2^− f(x)=lim┬x→2^−(ax+b)=2a+b 

Để hàm số có đạo hàm tại x=2 thì hàm số liên tục tại x=2. 

Do đó 2a+b=−2⇒b=−2a−2. Ta lại có: 

lim┬x→2^+ f(x)−f(2)/x−2=lim┬x→2^+ x^2−3x+2/x−2=lim┬x→2^+ (x−1)=1 

lim┬x→2^− f(x)−f(2)/x−2=lim┬x→2^− ax+b−(−2)/x−2=lim┬x→2^− ax+b+2/x−2 

Do b=−2a−2 nên  

lim┬x→2^− ax+b+2/x−2=lim┬x→2^−ax−2a−2+2/x−2=lim┬x→2^− ax−2a/x−2=a 

Để hàm số có đạo hàm tại x=2 thì 

lim┬x→2^+ f(x)−f(2)/x−2=lim┬x→2^− f(x)−f(2)/x−2⇔{■(a=1@b=−2a−2)⇔{■(a=1@b=−4)┤┤ 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2 

DẠNG 2: Ý nghĩa của đạo hàm 

...