Giải Toán 8 sách VNEN bài 2: Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

B. HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Thực hiện các hoạt động sau

- So sánh: - 2 và 3 ;       ( -2).5 và 3.5

- Dự đoán kết quả so sánh ( -2).c và 5.c, với c > 0

Trả lời:

- So sánh: - 2 < 3 ;                 (- 2).5 < 3.5

- Dự đoán: (- 2).c < 5.c, với c > 0

c) Thực hiện các hoạt động sau

- Điền dấu thích hợp (<, >) vào ô vuông:

- Thảo luận để trả lời câu hỏi: "Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được bất đẳng thức cùng chiều hay ngược chiều với bất đẳng thức đã cho? Vì sao?"

Trả lời:

- Điền dấu thích hợp (<, >) vào ô vuông:

- Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

Chứng minh: 

Cho a > b 

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với số $\frac{1}{2}$ 

Theo tính chất 1 đã được học: "Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho" nên ta có:

a . $\frac{1}{2}$  > b . $\frac{1}{2}$ 

$\Leftrightarrow $ $\frac{1}{2}$a > $\frac{1}{2}$b

Hay a : 2 > b : 2

Vậy ta có tính chất: khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương ta được bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho

2. a) Thực hiện các hoạt động sau

- So sánh: (- 2).(- 5) và 3.(- 5)

- Dự đoán kết quả so sánh ( -2).c và 3.c, với c < 0

Trả lời:

- So sánh: (- 2).(- 5) > 3.(- 5)

- Dự đoán: ( -2).c > 3.c, với c < 0

c) Thực hiện các hoạt động sau

- Cho - $\frac{1}{3}$a > - $\frac{1}{3}$b, hãy so sánh a và b.

- Trả lời câu hỏi: 

"Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được bất đẳng thức cùng chiều hay ngược chiều với bất đẳng thức đã cho? Vì sao?"

Trả lời:

- So sánh:

Ta có: - $\frac{1}{3}$a > - $\frac{1}{3}$b 

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với số (- 3) ta được:

- $\frac{1}{3}$a . (- 3) < - $\frac{1}{3}$b . (- 3)

$\Leftrightarrow $ a < b.

- Khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

Chứng minh:

Cho a > b 

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức trên với số - $\frac{1}{2}$ 

Theo tính chất 1 đã được học: "Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho" nên ta có:

a . ( - $\frac{1}{2}$)  < b . (- $\frac{1}{2}$)

$\Leftrightarrow $ - $\frac{1}{2}$a < -$\frac{1}{2}$b

Hay - a : 2 < - b : 2

Vậy ta có tính chất: khi chia cả hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm ta được bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 31 sách VNEN 8 tập 2

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

a) (- 6) . 5 < (- 5) . 5 ;                                                           b) (- 6) . (- 3) < (- 5) . (- 3) ;

c) ( -2015) . ( -2017) $\leq $ ( -2017) . 2016 ;                           d) - 3$x^{2}$ $\leq $ 0.

Trả lời:

a) Ta có: (- 6) < ( - 5) 

Nhân 5 vào 2 vế của bất phương trình ta được: (- 6) . 5 < (- 5) .5

Vậy khẳng định (- 6) . 5 < (- 5) .5 là đúng

b) Ta có:  (- 6) < ( - 5) 

Nhân (- 3) vào 2 vế của bất phương trình ta được: (- 6) . (- 3) > (- 5) . (- 3)

Vậy khẳng định  (- 6) . (- 3) < (- 5) . (- 3) là sai

c) Ta có: (- 2015) $\leq $ 2016

Nhân (- 2017) vào 2 vế của bất phương trình ta được: (- 2015) . (- 2017) $\geq $ (- 2017) . 2016 

Vậy khẳng định (- 2015) . (- 2017) $\leq $ (- 2017) . 2016 là sai

d) Ta có: $x^{2}$  $\geq $ 0 

Nhân (- 3) vào 2 vế của bất phương trình ta được: (- 3) . $x^{2}$ $\leq $  (- 3) . 0 $\Leftrightarrow $ - 3$x^{2}$ $\leq $ 0

 Vậy khẳng định - 3$x^{2}$ $\leq $ 0 là đúng.

Câu 2: Trang 31 sách VNEN 8 tập 2

Cho a < b, hãy so sánh:

a) 3a và 3b ;                       b) 2a và a + b ;                   c) a + b và 2b ;               d) - a và - b.

Trả lời:

a) Ta có: a < b 

Nhân 3 vào 2 vế của bất phương trình ta được:

3 . a < 3 . b $\Leftrightarrow $ 3a < 3b

b) Ta có: a < b 

Cộng a vào 2 vế của bất phương trình ta được:

a + a < a + b $\Leftrightarrow $ 2a < a + b

c) Ta có: a < b 

Cộng b vào 2 vế của bất phương trình ta được: 

a + b < b + b $\Leftrightarrow $ a + b < 2b

d) Ta có: a < b 

Nhân (- 1) vào 2 vế của bất phương trình ta được: 

a . (- 1) > b . (- 1) $\Leftrightarrow $ - a > - b

Câu 3: Trang 31 sách VNEN 8 tập 2

Số a là số âm hay số dương nếu:

a) 8a < 13a ;                      b) 17a < 9a ;                          c) - 3a > - 5a ;                 d) - 4a < - 7a.

Trả lời:

a) Ta có: 8a < 13a $\Leftrightarrow $ 8a - 13a < 0 $\Leftrightarrow $ - 5a < 0 $\Leftrightarrow $ a > 0

Vậy a là số dương

b) Ta có: 17a < 9a $\Leftrightarrow $ 17a - 9a < 0 $\Leftrightarrow $  8a < 0 $\Leftrightarrow $ a < 0

Vậy a là số âm

c) Ta có: - 3a > - 5a $\Leftrightarrow $ - 3a + 5a > 0 $\Leftrightarrow $ 2a > 0 $\Leftrightarrow $ a > 0

Vậy a là số dương

d) Ta có: - 4a < - 7a $\Leftrightarrow $ - 4a + 7a < 0 $\Leftrightarrow $ 3a < 0 $\Leftrightarrow $ a < 0

Vậy a là số âm

Câu 4: Trang 31 sách VNEN 8 tập 2

Cho a < b, chứng tỏ:

a) 2a - 3 < 2b - 3 ;                                                      b) 2a - 3 < 2b + 5.

Trả lời:

a) Ta có:

a < b

Nhân hai vế của bất phương trình trên với số 2 ta được:

2a < 2b 

Cộng hai vế của bất phương trình trên với số (- 3) ta được:

2a - 3 < 2b - 3

Vậy 2a - 3 < 2b - 3

b)  Ta có: 

a < b

Nhân hai vế của bất phương trình trên với số 2 ta được:

 2a < 2b 

Cộng hai vế của bất phương trình trên với số (- 3) ta được:

2a - 3 < 2b - 3 < 2b + 5

Vậy 2a - 3 < 2b + 5

Câu 5: Trang 31 sách VNEN 8 tập 2

Hãy so sánh $a^{2}$ và a trong mỗi trường hợp sau:

a) a > 1;                                                                                               b) 0 < a < 1.

Trả lời:

a) Ta có: a > 1 

Nhân a vào 2 vế của bất phương trình ta được:

a.a > a.1 $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ > a

Vậy $a^{2}$ > a.

b) Ta có 0 < a < 1

Nhân a vào 2 vế của bất phương trình ta được:

0.a < a.a < a.1 $\Leftrightarrow $ 0 <  $a^{2}$ < a

Vậy $a^{2}$ < a.

D. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 32 sách VNEN 8 tập 2

Chứng tỏ rằng a > b khi và chỉ khi $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$, với số dương c bất kì

Áp dụng: Chứng minh quy tắc "lấy nghịch đảo" sau đây:

Nếu a > b > 0 thì $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$

Em hãy lấy thêm ví dụ minh họa.

Trả lời:

* Ta có: $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$ 

Nhân 2 vế của bất đẳng thức trên với c ( c là số dương), ta được:

c . $\frac{a}{c}$ > c . $\frac{b}{c}$  $\Leftrightarrow $ a > b

Vậy a > b khi và chỉ khi $\frac{a}{c}$ > $\frac{b}{c}$, với số dương c bất kì

* Áp dụng:

Xét hiệu $\frac{1}{a}$ - $\frac{1}{b}$ = $\frac{b - a}{ab}$

Nếu a > b > 0 thì b - a < 0 và ab > 0

Suy ra $\frac{1}{a}$ - $\frac{1}{b}$ = $\frac{b - a}{ab}$ < 0 hay $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ 

Vậy Nếu a > b > 0 thì $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$. 

Ví dụ minh họa:

Nếu m > n > 0 thì $\frac{1}{m}$ < $\frac{1}{n}$

Câu 2: Trang 32 sách VNEN 8 tập 2

Chứng minh rằng:

Nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd.

Từ kết quả trên, ta suy ra: 

Nếu a > b > 0 thì $a^{n}$ > $b^{n}$

Em hãy lấy thêm ví dụ minh họa.

Trả lời:

* Nếu a > b :

Nhân hai vế của bất phương trình trên với c (c > 0) ta được: 

a.c > b.c 

c > d > 0

Nhân hai vế của bất phương trình trên với b ( b > 0) ta được:

b.c > b.d

Suy ra a.c > b.d 

Vậy nếu a > b > 0 và c > d > 0 thì ac > bd.

* Áp dụng:

Theo kết quả từ chứng minh trên ta có:

Nếu a > b thì a.a > b.b $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ > $b^{2}$

Cứ tiếp tục ta có được kết quả $a^{n}$ > $b^{n}$

Vậy nếu a > b > 0 thì $a^{n}$ > $b^{n}$.

* Ví dụ:

Nếu m > n > 0 thì $m^{t}$ > $n^{t}$