Giải Toán 8 sách VNEN bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba

A.B. HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG và HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

1. a) Cho $\Delta $ ABC và $\Delta $ A'B'C' như hình 41. Chứng tỏ $\Delta $ ABC $\sim $ $\Delta $ A'B'C'

Điền vào chỗ trống (...) để hoàn thiện lời giải

Lấy E trên AB sao cho AE = A'B'. Từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt Ac tại F.

Suy ra: $\Delta $ AEF $\sim $ $\Delta $...... và $\widehat{AEF}$  = $\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Do $\widehat{A'B'C'}$ =..........( giả thiết) nên $\widehat{AEF}$ = $\widehat{A'B'C'}$.

Vì vậy $\Delta $ AEF = $\Delta $ A'B'C' ( $\widehat{A}$ = $\widehat{A'}$; AE = A'B'; $\widehat{AEF}$ = $\widehat{A'B'C'}$).

Nên $\Delta $ AEF $\sim $ $\Delta $.......

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ ABC $\sim $ $\Delta $.......

Trả lời:

Lấy E trên AB sao cho AE = A'B'. Từ E kẻ đường thẳng song song với BC cắt Ac tại F.

Suy ra: $\Delta $ AEF $\sim $ $\Delta $ ABC và $\widehat{AEF}$  = $\widehat{ABC}$ (hai góc đồng vị).

Do $\widehat{A'B'C'}$ =$\widehat{ABC}$ ( giả thiết) nên $\widehat{AEF}$ = $\widehat{A'B'C'}$.

Vì vậy $\Delta $ AEF = $\Delta $ A'B'C' ( $\widehat{A}$ = $\widehat{A'}$; AE = A'B'; $\widehat{AEF}$ = $\widehat{A'B'C'}$).

Nên $\Delta $ AEF $\sim $ $\Delta $ A'B'C' 

Từ (1) và (2) suy ra $\Delta $ ABC $\sim $ $\Delta $ A'B'C'.

c) Trong các tam giác dưới đây (h.42), những cặp tam giác nào đồng dạng với nhau? Hãy giải thích.

Trả lời:

Trong hình 42d và 42e.

$\Delta $ A'B'C' có $\widehat{A'}$ = $70^{\circ}$ ; $\widehat{B'}$ = $60^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{C'}$ = $50^{\circ}$

$\Delta $ D'E'F' có $\widehat{E'}$ = $60^{\circ}$; $\widehat{F'}$ = $50^{\circ}$ $\Rightarrow $ $\widehat{D'}$ = $70^{\circ}$

Vì $\Delta $ A'B'C' và $\Delta $ D'E'F' có  $\widehat{A'}$ = $\widehat{D'}$ = $70^{\circ}$; $\widehat{B'}$ =$\widehat{E'}$ = $60^{\circ}$ nên $\Delta $ A'B'C' $\sim $ $\Delta $ D'E'F.

2.a) Cho ABC và A'B'C' đồng dạng có đường cao tương ứng là AH và A'H' như hình 43. Gọi tỉ số đồng dạng của hai tam giác là k. Chứng minh: $\frac{AH}{A'H'}$ = k.

Điền vào bảng sau:

Trả lời:

C. HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Câu 1: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Trong hình 44 cho biết AB = 3cm; AC = 4,5cm và $\widehat{ABD}$ = $\widehat{BCA}$.

a) Trong hình vẽ này có bao nhiêu tam giác? Có cặp tam giác nào đồng dạng với nhau không?

b) Hãy tính các độ dài x và y (AD = x, DC = y).

c) Cho biết thêm BD là tia phân giác của góc B. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC và BD. 

Trả lời:

a) Trong hình vẽ có tất cả 3 tam giác

$\Delta $ ABD và $\Delta $ ACB có góc A chung, $\widehat{ABD}$ = $\widehat{ACB}$

Suy ra $\Delta $ ABD $\sim $ $\Delta $ ACB.

b) Theo câu a) $\Delta $ ABD $\sim $ $\Delta $ ACB nên ta có:

$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AB}{AC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{x}{3}$ = $\frac{3}{4,5}$  $\Leftrightarrow $ x = 2 $\Rightarrow $ y = 4,5 - 2 = 2,5.

c) * BD là tia phân giác của góc B nên ta có:

$\frac{BA}{BC}$ = $\frac{AD}{DC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{3}{BC}$ = $\frac{2}{2,5}$ $\Leftrightarrow $ BC = 3,75

*   $\Delta $ ABD $\sim $ $\Delta $ ACB nên ta có:

$\frac{AD}{AB}$ = $\frac{BD}{BC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{2}{3}$ = $\frac{BD}{3,75}$ $\Leftrightarrow $ BD = 2,5

Câu 2: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Chứng minh rằng nếu tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k.

Trả lời:

Ta có: $\Delta $ ABC $\sim $ $\Delta $ A'B'C' nên:

$\widehat{ABC}$ = $\widehat{A'B'C'}$

và $\widehat{BAC}$ = $\widehat{B'A'C'}$ $\Leftrightarrow $ $\widehat{\frac{BAC}{2}}$ = $\widehat{\frac{B'A'C'}{2}}$ $\Leftrightarrow $ $\widehat{BAD}$ = $\widehat{B'A'D'}$

$\Delta $ ABD và $\Delta $ A'B'D' có $\widehat{ABC}$ = $\widehat{A'B'C'}$ và $\widehat{BAD}$ = $\widehat{B'A'D'}$

Suy ra $\Delta $ ABD $\sim $  và $\Delta $ A'B'D'.

$\Rightarrow $ $\frac{AD}{A'D'}$ = $\frac{AB}{A'B'}$ = k

Hay nếu tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k thì tỉ số của hai đường phân giác tương ứng của chúng cũng bằng k.

Câu 3: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Tính độ dài x của đoạn thẳng BD trong hình 45 (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết rằng ABCD là hình thang (AB // CD); AB = 12,5cm, CD = 28,5cm; $\widehat{DAB}$ = $\widehat{DBC}$ 

Trả lời:

Ta có: AB // DC nên $\widehat{ABD}$ = $\widehat{BDC}$ (so le trong)

$\Delta $ ABD và $\Delta $ BDC có $\widehat{ABD}$ = $\widehat{BDC}$ và $\widehat{DAB}$ = $\widehat{DBC}$ nên $\Delta $ ABD $\sim $ $\Delta $ BDC 

Suy ra: $\frac{AB}{BD}$ = $\frac{BD}{DC}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{12,5}{x}$ = $\frac{x}{28,5}$ $\Leftrightarrow $ x = 18,9cm

Vậy BD = x = 18,9cm.

Câu 4: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Hình 46 cho biết $\widehat{EBA}$ = $\widehat{BDC}$.

a) Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác vuông?

Hãy kể tên các tam giác đó.

b) Cho biết AE = 5cm, AB = 7,5cm, BC = 6cm. Hãy tính độ dài các đoạn thẳng CD, BE, BD và ED (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

c) So sánh diện tích tam giác BDE với tổng diện tích của hai tam giác AEB và BCD.

Trả lời:

a) Trong hình có ba tam giác vuông là $\Delta $ AEB, $\Delta $ EBD, $\Delta $ BCD.

b) Ta có theo định lí Py-ta-go: $BE^{2}$ = $AE^{2}$ + $AB^{2}$ = $5^{2}$ + $7,5^{2}$ $\Rightarrow $ BE = 9cm

$\Delta $ AEB $\sim $ $\Delta $ CBD, ta có:

$\frac{AE}{BC}$ = $\frac{AB}{CD}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{5}{6}$ = $\frac{7,5}{CD}$ $\Leftrightarrow $ CD = 9cm.

$\frac{AE}{BC}$ = $\frac{EB}{BD}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{5}{6}$ = $\frac{9}{BD}$ $\Leftrightarrow $ BD = 10,8cm.

$ED^{2}$ = $BE^{2}$ + $BD^{2}$ = $9^{2}$ + $10,8{2}$ $\Rightarrow $ ED = 14,1cm.

c) S$\Delta $BDE = $\frac{1}{2}$.BE.BD

    S$\Delta $AEB = $\frac{1}{2}$.AE.AB

    S$\Delta $BCD = $\frac{1}{2}$.BC.CD

$\Rightarrow $ $\frac{S\Delta BDE}{S\Delta AEB + S\Delta BCD}$ = $\frac{BE.BD}{AE.AB + BC.CD}$ = $\frac{5.7,5}{6.9}$ = 1,06

D.E. HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG và TÌM TÒI, MỞ RỘNG

Câu 1: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Tìm các dấu hiệu để nhận biết hai tam giác cân đồng dạng.

Trả lời:

Ta có: tam giác cân có 2 góc ở đáy bằng nhau

Nên hai tam giác cân đồng dạng khi và chỉ khi hai góc ở đỉnh bằng nhau.

Câu 2: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

So sánh các trường hợp đồng dạng của tam giác với các trường hợp bằng nhau của tam giác (nêu lên những điểm giống nhau và khác nhau).

Trả lời:

* Trường hợp 1:

- Giống nhau: xét 3 cạnh của hai tam giác

- Khác nhau: + Đồng dạng: 3 cạnh tương ứng tỉ lệ

                      + Bằng nhau: 3 cạnh tương ứng bằng nhau

* Trường hợp 2:

- Giống nhau: xét 2 cạnh một góc

- Khác nhau: + Đồng dạng: 2 cạnh tương ứng tỉ lệ

                      + Bằng nhau: 2 cạnh tương ứng và một góc kề với hai cạnh bằng nhau

* Trường hợp 3:

- Giống nhau: xét 2 góc bằng nhau

- Khác nhau: + Đồng dạng: 2 góc tương ứng bằng nhau, không cần có điều kiện cạnh

                      + Bằng nhau: 1 cạnh và hai góc kề tương ứng bằng nhau

Câu 3: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Nêu các dấu hiệu nhận biết hai tam giác vuông đồng dạng.

Trả lời:

Hai tam giác vuông đồng dạng với nhau nếu:

- Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng một góc nhọn của tam giác kia.

- Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia.

Câu 4: Trang 75 sách VNEN 8 tập 2 

Cho hình bình hành ABCD (h.47) có độ dài các cạnh AB = 12cm, BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy một điểm E sao cho BE = 4cm. Đường thẳng DE cắt cạnh CB kéo dài tại F.

a) Trong hình vẽ đã cho có bao nhiêu cặp tam giác đồng dạng với nhau? Hãy viết các cặp tam giác đông dạng với nhau theo các đỉnh tương ứng.

b) Tính độ dài các đoạn thẳng CF và BF.

c) Gọi I là giao điểm của AC và DE. Tính tỉ số $\frac{IA}{IC}$.

d) Chứng minh rằng: FD.EA = DC.DE.

e) Chứng minh rằng: $DI^{2}$ = IE.IF

Trả lời:

a) Các cặp tam giác đông dạng là: $\Delta $ EAD và $\Delta $ EBF, $\Delta $ FEB và $\Delta $ FDC, $\Delta $ DAE và $\Delta $FCD.

b) AE = AB - EB = 12 - 4 = 8cm.

ABCD là hình bình hành nên AD = BC = 6cm

Ta có: $\Delta $ EAD và $\Delta $ EBF nên $\frac{EA}{EB}$ = $\frac{AD}{BF}$ $\Leftrightarrow $ $\frac{8}{4}$ = $\frac{6}{BF}$ $\Leftrightarrow $ BF = 3cm.

CF = CB + BF = 6 + 3 = 9cm.

c) $\Delta $ IAD và $\Delta $ ICF có $\widehat{IAD}$ = $\widehat{ICD}$; $\widehat{IDA}$ = $\widehat{IFC}$ (so le trong) nên $\Delta $ IAD $\sim $và $\Delta $ ICF

$\Rightarrow $ $\frac{IA}{IC}$ = $\frac{AD}{CF}$ = $\frac{2}{3}$

d) Ta có: $\Delta $ DAE $\sim $  $\Delta $ FCD nên

$\frac{DE}{FD}$ = $\frac{EA}{DC}$ $\Leftrightarrow $ FD.EA = DC.DE

e) $\Delta $ IAD $\sim $ $\Delta $ ICF nên $\frac{DI}{IF}$ = $\frac{AD}{FC}$ = $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$

    $\Delta $ IAE $\sim $ $\Delta $ ICD nên $\frac{IE}{DI}$ = $\frac{AE}{DC}$ = $\frac{8}{12}$ = $\frac{2}{3}$

$\Rightarrow $ $\frac{DI}{IF}$ = $\frac{IE}{DI}$  $\Leftrightarrow $ $DI^{2}$ = IE.IF.