1.1. Hoàn thành bảng sau:
Số đo độ | $20^{o}$ | ? | $150^{o}$ | $500^{o}$ | ? | ? |
Số đo radian | ? | $\frac{11\pi}{2}$ | ? | ? | $\frac{-5\pi}{6}$ | $\frac{7\pi}{15}$ |
Hướng dẫn trả lời:
Số đo độ | $20^{o}$ | $990^{o}$ | $150^{o}$ | $500^{o}$ | $-150^{o}$ | $84^{o}$ |
Số đo radian | $\frac{\pi}{9}$ | $\frac{11\pi}{2}$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{25\pi}{9}$ | $\frac{-5\pi}{6}$ | $\frac{7\pi}{15}$ |
1.2. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm Q biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) $\frac{\pi}{6}$
b) $\frac{-5\pi}{7}$
c) $270^{o}$
d) $-415^{o}$
Hướng dẫn trả lời:
a)
b)
c)
d)
1.3. Một đường tròn có bán kính 20 m. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là:
a) $\frac{2\pi}{7}$
b) $36^{o}$
Hướng dẫn trả lời:
a) $l=20.\frac{2\pi}{7}=\frac{40\pi}{7}$ (m)
b) $l = 20.\frac{\pi.36}{180} =4\pi$ (m)
1.4. Cho $cosx = -\frac{5}{13}$ ($90^{o}<x<180^{o}$). Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc x
Hướng dẫn trả lời:
Ta có: $sin^{2}x+cox^{2}x=1$
Nên $sin^{2}x=1-cos^{2}x=1-(-\frac{5}{13})^{2}=\frac{144}{169}$
Mà $90^{o}<x<180^{o}$ nên sinx > 0
Do đó, $sinx=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$
Suy ra, $tanx=\frac{sinx}{cosx}=\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=\frac{-12}{5}$
$cotx = \frac{1}{tanx}=\frac{-5}{12}$
1.5. Cho sin a + cos a = m. Hãy tính theo m.
a) sin a cos a;
b) $sin^{3}a + cos^{3}a$
c) $sin^{4}a + cos^{4}a$
Hướng dẫn trả lời:
a) $sina+cosa = m$ nên $(sina+cosa)^{2}=m^{2}$
$sin^{2}a+cos^{2}a+2sinacosa = m^{2}$ hay $1+2 sinacosa=m^{2}$
Suy ra $sinacosa=\frac{m^{2}-1}{2}$
b) $sin^{3}a+cos^{3}a=(sina+cosa)^{3}-3sinacosa(sina+cosa)$
$=m^{3}-3m.\frac{m^{2}-1}{2}=\frac{3m-m^{3}}{2}$
c) $sin^{4}a+cos^{4}a=(sin^{2}a+cos^{2}a)^{2}-2sin^{2}acos^{2}$
$=1-2(sinacosa)^{2}=1-2.(\frac{m^{2}-1}{2})^{2}=1-\frac{(m^{2}-1)^{2}}{2}$
1.6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) $ cos^{4}x - sin^{4}x = 2 cos^{2}x -1$
b) $tan^{2}x -sin^{2}x = tan^{2}x .sin^{2}x$
c) $(sin x + cos x)^{2} + (sin x -cos x)^{2} = 2$.
Hướng dẫn trả lời:
a) $cos^{4}x -sin^{4}x $
$= (cos^{2} x- sin^{2}x)(cos^{2}x + sin^{2}x) $
$= cos^{2}x -sin^{2}x $
$= cos^{2}x -(1 -cos^{2}x) = 2 cos^{2}x - 1$
b) $tan^{2}x-sin^{2}x$
$=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}-sin^{2}x$
$=\frac{sin^{2}x-sin^{2}xcos^{2}x}{cos^{2}x}$
$=\frac{sin^{2}x(1-cos^{2}x)}{cos^{2}x}$
$=\frac{sin^{2}x}{cos^{2}x}.sin^{2}x$
$=tan^{2}xsin^{2}x$
c) $(sinx+cosx)^{2}+(sinx-cosx)^{2}$
$=sin^{2}x+2sinxcosx+cos^{2}x+sin^{2}x-2sinxcosx+cos^{2}x$
$=2sin^{2}x+2cos^{2}x$
$=2.(sin^{2}x+cos^{2}x)$
$=2.1=2$
1.7. Rút gọn biểu thức
$A = 2cos^{4}x -sin^{4} x + sin^{2}x cos^{2} x + 3 sin^{2} x$.
Hướng dẫn trả lời:
$A = 2cos^{4} x -sin^{4}x + sin^{2}x cos^{2}x + 3 sin^{2}x$
$= cos^{4} x -sin^{4} x + cos^{4} x + sin^{2} x cos^{2} x + 3 sin^{2} x$
$= (cos^{2} x -sin^{2} x)(cos^{2} x + sin^{2}x) + cos^{2}x (cos^{2}x + sin^{2}x) + 3sin^{2} x$
$= cos^{2} x- sin^{2}x + cos^{2}x + 3 sin^{2}x$
$= 2cos^{2} x + 2 sin^{2} x$
$= 2(cos^{2}x + sin^{2} x)$
$= 2 . 1 = 2$
1.8. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính bánh xe đạp là 860 mm.
Hướng dẫn trả lời:
a) Trong 1 giây, bánh xe quay được $\frac{12}{6}=2$ vòng, tức là quay được một góc $4\pi$ (rad) hay $720^{o}$
b) Bán kính xe đạp là: 860 : 2 = 430 (mm).
Trong 1 phút, quãng đường mà người đi xe đã đi được là:
$l = 430 . 4\pi . 60 = 103 200\pi$ (mm).
1.9. Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?
Hướng dẫn trả lời:
Một giờ, kim phút quét được một góc lượng giác $2\pi$; kim giờ quét được một góc $\frac{\pi}{6}$
Hiệu vận tốc giữa kim phút và kim giờ là $2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$
Vào lúc 4 giờ hai kim tạo với nhau một góc là $\frac{2\pi}{3}$ .
Khoảng thời gian ít nhất để hai kim vuông góc với nhau là
$(\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{2}):\frac{11\pi}{6}=\frac{1}{11}$ (giờ).
Vậy sau $\frac{1}{11}$ (giờ) hai kim sẽ vuông góc với nhau.
Tổng quãng đường hai đầu mút kim đi được là
$l=6.\frac{1}{11}.\frac{\pi}{6}+11.\frac{1}{11}.2\pi=\frac{23\pi}{11}$ (cm).